Hypothesentest – Fehler erster und zweiter Art

Hypothesentest – Fehler erster und zweiter Art Übung

• Verorte den Fehler erster und zweiter Art in der Tabelle.

  Tipps

  Setze ein Häkchen, wenn kein Fehler passiert.

  Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die $H_0$ angenommen wird, obwohl $H_0$ nicht zutrifft.

  Lösung

  Bei einem Hypothesentest wird mit einer Entscheidungsregel über die Nullhypothese $H_0$ entschieden:
  Entweder wird $H_0$ angenommen oder $H_0$ wird (zugunsten der Alternativhypothese $H_1$) verworfen.

  Da nicht bekannt ist, ob die Nullhypothese zutrifft oder nicht, kann diese Entscheidung fehlerhaft sein:

  • Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie zutrifft.
  • Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie nicht zutrifft.
  • Kein Fehler liegt vor, wenn die $H_0$ angenommen wird und zutrifft oder wenn $H_0$ nicht zutrifft und abgelehnt wird.

• Definiere die folgenden Begriffe.

  Tipps

  Ein Fehler erster Art wird auch $\alpha$-Fehler genannt.

  Ein Fehler zweiter Art liegt vor, wenn $x \in A$, obwohl $H_0$ nicht zutrifft.

  Lösung

  Trifft $H_0$ zu und liegt die Trefferzahl $x$ in der Stichprobe im Annahmebereich $A$, ist die Schlussfolgerung korrekt. Dasselbe gilt, wenn $H_0$ nicht zutrifft und $x$ im Ablehnungsbereich $ \overline A$ ist.

  Ist jedoch $x$ im Ablehnungsbereich $\overline A$, obwohl $H_0$ zutrifft, ist die Schlussfolgerung aus dem Test falsch. Man spricht von einem Fehler 1. Art ($\alpha$-Fehler).
  Ist umgekehrt $x$ nicht im Annahmebereich $A$, obwohl $H_0$ nicht zutrifft, liefert die Entscheidungsregel einen Fehler 2. Art ($\beta$-Fehler).
  Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art wird mit $\alpha$ bezeichnet, die für einen Fehler 2. Art mit $\beta$.
  Außerdem ist $P(\overline A)=\alpha$ und $P(A)=1-\alpha$.
  Für $\beta$ gibt es keine solche Formel, weil im Fall, dass $H_0$ nicht zutrifft, der korrekte Wert von $p$ unbekannt ist.

  Wir erhalten also folgende korrekte Zuordnung:

  • Wahrscheinlichkeit, dass $x \in \overline A$, obwohl $H_0$ zutrifft: Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$
  • Wahrscheinlichkeit, dass $x \in A$, obwohl $H_0$ nicht zutrifft: Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$
  • Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie zutrifft: Fehler 1. Art
  • Nullhypothese wird beibehalten, obwohl sie nicht zutrifft: Fehler 2. Art

• Interpretiere das Testergebnis.

  Tipps

  Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist höchstens so groß wie das Signifikanzniveau $S$.

  Um die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ zu berechnen, müssten wir die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit $p$ kennen. Aber dieser Wert ist unbekannt, wenn ${p \neq 0,\!7}$ ist.

  Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ kannst du verkleinern, indem du den Stichprobenumfang $n$ vergrößerst.

  Lösung

  Bei jedem Hypothesentest ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ des Fehlers erster Art höchstens so groß wie das Signifikanzniveau $S$. In unserem Test ist $S=5~\%$, also $\alpha \leq 5~\%$. Vergrößerst du den Annahmebereich $A$, wird die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ kleiner. Änderst du den Annahmebereich zu $A=[0;65]$, wird $A$ größer und $\alpha$ kleiner.

  
  

  Um die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ eines Fehlers 2. Art zu berechnen, müssten wir die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit $p$ kennen. Bei einem Fehler 2. Art wissen wir aber nur, welchen Wert $p$ nicht annimmt, nämlich $p \neq 0,7$. Daher ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ unbekannt. Wir wissen allerdings: $\beta$ wird größer, wenn du den Ablehnungsbereich verkleinerst. Aus dem Histogramm kannst du ablesen: ${\overline A=[64;80]}$. Änderst du den Ablehnungsbereich zu ${\overline A = [66;80]}$, wird $\overline A$ kleiner und $\beta$ größer.

  
  

  Erhöhst du den Stichprobenumfang von $n=80$ auf $n=100$, verändern sich sowohl der Annahmebereich als auch der Ablehnungsbereich. Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ wird dabei kleiner.

• Ermittle die Art des Fehlers.

  Tipps

  Ist $k \geq 103$, wird die Nullhypothese verworfen, auch wenn sie zutrifft.

  Wird die Nullhypothese angenommen, obwohl sie nicht zutrifft, liegt ein Fehler 2. Art vor.

  Lösung

  Wir wissen, dass der Annahmebereich $A=[0;102]$ und der Ablehnungsbereich $\overline A=[103;120]$ ist. Die Entscheidungsregel besagt also:

  • Ist $k \in [0;102]$, wird $H_0$ angenommen.
  • Ist $k \in [103;120]$, wird $H_0$ verworfen.

  Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn $k \in \overline A$, obwohl $H_0$ zutrifft. Bei einem Fehler 2. Art ist $k \in A$, obwohl $H_0$ nicht zutrifft. Wir erhalten somit folgende Beurteilung:

  • Die Trefferzahl beträgt $k=80$ und $H_0$ trifft nicht zu: Fehler 2. Art
  • Die Trefferzahl beträgt $k=102$ und $H_0$ trifft zu: ✔
  • Die Trefferzahl beträgt $k=103$ und $H_0$ trifft nicht zu: ✔
  • Die Trefferzahl beträgt $k=111$ und $H_0$ trifft zu: Fehler 1. Art

• Vervollständige die Abbildung zum Hypothesentest.

  Tipps

  Der Annahmebereich ist im Histogramm grün markiert.

  Das Signifikanzniveau wird als Prozentsatz angegeben.

  Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereiches.

  Lösung

  Ein Hypothesentest ist durch vier wichtige Größen bestimmt:

  • Das Signifikanzniveau $\boldsymbol{S}$ wird vor der Durchführung des Tests festgelegt und bestimmt den Annahme- und den Ablehnungsbereich. In unserem Beispiel ist $S=5~\%$.
  • Der Annahmebereich $\boldsymbol{A}$ besteht aus denjenigen Werten der Stichprobe, die zur Annahme der Nullhypothese führen. Im Histogramm ist der Annahmebereich $A$ grün dargestellt. In diesem Beispiel ist $A=[0;86]$.
  • Der Ablehnungsbereich $\boldsymbol{\overline A}$ besteht aus denjenigen Werten der Stichprobe, bei denen wir die Nullhypothese verwerfen. Dieser Bereich wird rot dargestellt. Im Beispiel ist $\overline A=[87;100]$.
  • Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\boldsymbol{\alpha}$ ist die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereiches, also $\alpha = P(\overline A)$. Der Test wird so eingerichtet, dass gilt: $\alpha \leq S$.

• Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr sind oder nicht.

  Tipps

  Für die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ kann es keine einfache Formel geben.

  Der genaue Wert von $\alpha$ hängt nicht nur von $S$ ab, sondern auch von $n$ und $p$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind wahr:

  
  

  • Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ hängt von dem unbekannten Wert $p$ ab.

  Denn wenn $H_0$ nicht zutrifft, ist der korrekte Wert von $p$ unbekannt. Von diesem Wert hängt aber die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ direkt ab.

  
  

  • Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ wird größer, wenn $\alpha$ kleiner wird.

  Je kleiner der Ablehnungsbereich $\overline A$ ist, desto eher kann es passieren, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie nicht zutrifft. Der Fehler 2. Art wird also wahrscheinlicher.

  
  
  

  Folgende Aussagen sind unwahr:

  
  

  • Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$.

  Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ ist nicht durch eine einfache Formel berechenbar, denn sie hängt von dem Wert $p$ ab. Trifft jedoch $H_0$ nicht zu, ist dieser Wert unbekannt.

  
  

  • Um die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ berechnen zu können, wird nur der Wert $p$ aus der Nullhypothese benötigt.

  Stattdessen wird der korrekte Wert von $p$ benötigt. Im Fall eines Fehlers 2. Art wissen wir aber nur, dass der Wert aus der Nullhypothese falsch ist. Den korrekten Wert kennen wir im Allgemeinen nicht.

  
  

  • Wird der Stichprobenumfang $n$ erhöht, wird automatisch die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ kleiner.

  Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist durch das Signifikanzniveau $S$ und den Stichprobenumfang $n$ festgelegt. Der Wert von $\alpha$ ändert sich kaum, wenn $n$ erhöht und $S$ festgehalten wird. Er kann allerdings etwas größer oder kleiner werden.