Koordinatensystem – Aufbau

Koordinatensystem – Aufbau Übung

• Überprüfe die Aussagen zum Koordinatensystem.

  Tipps

  Oben rechts im Koordinatensystem ist der $\text{I}$. Quadrant. Dort sind beide Koordinaten eines Punktes stets positiv.

  Lösung

  Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu beschreiben. Wir betrachten dazu den Aufbau des Koordinatensystems in der Mathematik und überprüfen die Aussagen:

  Die $\mathbf{x}$-Achse und die $\mathbf{y}$-Achse stehen senkrecht aufeinander.

  Diese Aussage ist richtig: Die waagerechte $x$-Achse und die senkrechte $y$-Achse stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$. Die Fläche des Koordinatensystems wird dadurch in vier Teilflächen gegliedert.

  Die $\mathbf{x}$-Achse nennt man auch Ordinate und die $\mathbf{y}$-Achse Abszisse.

  Diese Aussage ist falsch. Denn die Begriffe werden genau andersherum verwendet: Die $x$-Achse nennt man auch Abszisse und die $y$-Achse Ordninate.

  Die Quadranten werden im Uhrzeigersinn mit römischen Ziffern nummeriert.

  Diese Aussage ist falsch. Die vier Teilflächen, die durch das Schneiden der beiden Achsen entstehen, nennt man Quadranten. Sie werden mit römischen Ziffern nummeriert. Allerdings erfolgt die Nummerierung gegen den Uhrzeigersinn.

  Die Koordinaten im $\text{III}$. Quadranten sind negativ.

  Diese Aussage ist richtig. Allgemein gilt:

  • Die Koordinaten im $\text{I}$. Quadranten sind beide positiv: $(+ \vert +)$.
  • Im $\text{II}$. Quadranten ist die $x$-Koordinate immer negativ und die $y$-Koordinate immer positiv: $(- \vert +)$.
  • Die Koordinaten im $\text{III}$. Quadranten sind beide negativ: $(- \vert -)$.
  • Im $\text{IV}$. Quadranten ist die $x$-Koordinate immer positiv und die $y$-Koordinate immer negativ: $(+ \vert -)$.

• Gib die Koordinaten der Punkte an.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel.

  Bei einem Punkt $P(x \vert y)$ gibt die erste Zahl immer die $x$-Koordinate und die zweite Zahl immer die $y$-Koordinate an.

  Lösung

  Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu beschreiben. Dazu verwenden wir die Beschriftung an der waagerechten $x$-Achse und der senkrechten $y$-Achse:

  Ein Punkt besteht immer aus zwei Zahlen, z. B. $P(3 \vert 5)$. Die erste Zahl, die $3$, gibt den $x$-Wert des Punktes an. Die zweite Zahl, die $5$, gibt den den $y$-Wert an.

  Beim Ablesen eines Punktes betrachten wir also zuerst den zugehörigen $x$-Wert, welchen wir an der $x$-Achse ablesen können, indem wir von dem Punkt senkrecht nach unten oder oben bis zu $x$-Achse gehen. Danach betrachten wir den zugehörigen $y$-Wert. Diesen können wir an der $y$-Achse ablesen, indem wir von dem Punkt waagerecht nach rechts oder links bis zu $y$-Achse gehen.

  Somit sind das die Koordinaten der Punkte:

  • $D(-3 \vert {-}2)$
  • $E(4 \vert 4)$
  • $F(-1 \vert 1)$

• Bestimme die Koordinaten der Punkte.

  Tipps

  • Die Koordinaten im $\text{I}$. Quadranten sind beide positiv: $(+ \vert +)$.
  • Im $\text{II}$. Quadranten gilt: Die $x$-Koordinate ist immer negativ und die $y$-Koordinate immer positiv: $(- \vert +)$.
  • Die Koordinaten im $\text{III}$. Quadranten sind beide negativ: $(- \vert -)$.
  • Im $\text{IV}$. Quadranten gilt: Die $x$-Koordinate ist immer positiv und die $y$-Koordinate immer negativ: $(+ \vert -)$.

  Lösung

  Punkte im Koordinatensystem

  Ein Punkt besteht immer aus zwei Koordinaten, z. B. $P(3 \vert 5)$:

  • Die erste Zahl in den Klammern, die $3$, gibt die $x$-Koordinate des Punktes an.
  • Die zweite Zahl in den Klammern, die $5$, gibt die $y$-Koordinate des Punktes an.

  Beim Ablesen eines Punktes betrachten wir daher zuerst die $x$-Koordinate, welche wir an der $x$-Achse ablesen können. Dazu gehen wir von dem Punkt senkrecht nach unten oder oben bis zur $x$-Achse und lesen den Wert ab. Danach betrachten wir die $y$-Koordinate des Punktes. Diesen können wir an der $y$-Achse ablesen, indem wir von dem Punkt waagerecht nach rechts oder links bis zur $y$-Achse gehen.

  In der Abbildung oben sind die Punkte korrekt eingetragen.

• Untersuche, welche Punkte den gleichen Abstand zur $x$-Achse bzw. $y$-Achse haben.

  Tipps

  Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
  Untersuche dann die Lage der Punkte:

  • Punkte, die auf einer Parallelen zur $x$-Achse liegen, haben denselben Abstand zur $x$-Achse.
  • Punkte, die auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen, haben denselben Abstand zur $y$-Achse.

  Die Punkte $P(-3 \vert 2)$ und $P(-5 \vert 2)$ haben den gleichen Abstand zur $x$-Achse.

  Ist die $x$-Koordinate mehrerer Punkte gleich, so haben sie den gleichen Abstand zur $y$-Achse.

  Lösung

  Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu definieren. Dabei können wir Punkte auch entsprechend ihres Abstandes zu den Achsen beschreiben:

  • Punkte, die auf einer Geraden liegen, welche parallel zur $x$-Achse verläuft, haben den gleichen Abstand zur $x$-Achse. Sie haben alle die gleiche $y$-Koordinate.
  • Punkte, die auf einer Geraden liegen, welche parallel zur $y$-Achse verläuft, haben den gleichen Abstand zur $y$-Achse. Sie haben alle die gleiche $x$-Koordinate.

  
  

  Wir können also allein anhand der Koordinaten der gegebenen Punkte erkennen, dass ...

  • ... die Punkte $A$, $D$, $E$ und $L$ alle den gleichen Abstand zur $x$-Achse haben. Der Abstand beträgt $4$, da die gemeinsame $y$-Koordinate der Punkte $-4$ ist.
  • ... die Punkte $C$, $F$ und $G$ alle den gleichen Abstand zur $y$-Achse haben. Der Abstand beträgt $2$, da das die gemeinsame $x$-Koordinate der Punkte ist.

  
  

  In der Abbildung können wir sehen, dass die Punkte $A$, $D$, $E$ und $L$ auf einer Parallelen zur $x$-Achse liegen. Die Punkte $C$, $F$ und $G$ liegen auf einer Parallelen zur $y$-Achse.

  Hinweis: Auch der Punkt $C'(-2 \vert {-}2)$ hat, wie die Punkte $C$, $F$ und $G$, den Abstand $2$ zur $y$-Achse, da seine $x$-Koordinate $-2$ ist. Allgemein gilt, dass alle Punkte, die dieselbe $x$-Koordinate mit positivem oder negativem Vorzeichen haben, denselben Abstand zur $y$-Achse haben. Ebenso haben alle Punkte mit einer identischen $y$-Koordinate mit positivem oder negativem Vorzeichen denselben Abstand zur $x$-Achse.

• Vervollständige die Beschriftung des Koordinatensystems.

  Tipps

  Bei einem Punkt gilt allgemein:

  $(x \vert y)$

  Die $x$-Achse ist die waagerechte Achse.

  Lösung

  Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu beschreiben.

  Der Aufbau des Koordinatensystems

  Die waagerechte Achse ist die $x$-Achse. Sie wird auch Abszisse genannt. Die senkrechte Achse ist die $y$-Achse. Diese wird auch Ordinate genannt. Die beiden Achsen stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$. Beide Achsen beginnen bei der Null und sind in Einer-Abständen durchnummeriert.

  Punkte im Koordinatensystem

  Zur Angabe von Punkten verwenden wir die Beschriftung an der waagerechten $x$-Achse und der senkrechten $y$-Achse: Ein Punkt besteht immer aus zwei Zahlen, z. B. $P(2 \vert 5)$. Die erste Zahl, die $2$, gibt den $x$-Wert des Punktes an. Die zweite Zahl, die $5$, gibt den $y$-Wert an. Beim Ablesen eines Punktes betrachten wir also zuerst den zugehörigen $x$-Wert, welchen wir an der $x$-Achse ablesen können, indem wir von dem Punkt senkrecht nach unten oder oben bis zur $x$-Achse gehen. Danach betrachten wir den zugehörigen $y$-Wert. Diesen können wir an der $y$-Achse ablesen, indem wir von dem Punkt waagerecht nach rechts oder links bis zur $y$-Achse gehen.

  Somit ist der eingetragene Punkt $P(2 \vert 3)$.

• Entscheide, in welchem Quadranten die Punkte liegen.

  Tipps

  In welchem Quadranten ein Punkt liegt, kannst du bereits an den Vorzeichen der Koordinaten erkennen.

  Du kannst auch die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen und überprüfen, in welchem Quadranten sie liegen.

  Lösung

  Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu definieren.

  Die waagerechte $x$-Achse und die senkrechte $y$-Achse gliedern das Koordinatensystem in vier Teilflächen. Diese werden Quadranten genannt. Sie werden mit römischen Ziffern durchnummeriert:

  • Der $\text{I}$. Quadrant liegt oben rechts. Beide Koordinaten sind positiv: $(+ \vert +)$.
  • Der $\text{II}$. Quadrant liegt oben links. Die $x$-Koordinate ist negativ und die $y$-Koordinate positiv: $(- \vert +)$.
  • Der $\text{III}$. Quadrant liegt unten links. Beide Koordinaten sind negativ: $(- \vert -)$.
  • Der $\text{IV}$. Quadrant liegt unten rechts. Die $x$-Koordinate ist positiv und die $y$-Koordinate negativ: $(+ \vert -)$.

  Somit können wir die Punkte wie folgt zuordnen:

  $\mathbf{\text{I}}$. Quadrant:

  • $(2 \vert 5)$
  • $(1 \vert 3)$
  • $(11 \vert 5)$

  $\mathbf{\text{II}}$. Quadrant:

  • $(-2 \vert 3)$
  • $(-6 \vert 8)$
  • $(-1 \vert 1)$

  $\mathbf{\text{III}}$. Quadrant:

  • $(-2 \vert {-}3)$
  • $(-9 \vert {-}5)$

  $\mathbf{\text{IV}}$. Quadrant:

  • $(1 \vert {-}4)$
  • $(3 \vert {-}7)$
  • $(5 \vert {-}5)$