Kreis – Umfang und Flächeninhalt

Kreis – Umfang und Flächeninhalt Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften eines Kreises.

  Tipps

  Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie.

  Die Formeln für Flächeninhalt und Umfang enthalten beide den Radius $r$ des Kreises. Dieser kann wiederum durch den Durchmesser $d$ ausgedrückt werden.

  Lösung

  Dieses Aussagen sind falsch:

  • Der Radius eines Kreises ist doppelt so lang wie sein Durchmesser.

  Der Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.

  • Die Länge der Kreislinie heißt Flächeninhalt des Kreises.

  Die Länge der Kreislinie wird Umfang genannt.

  Dieses Aussagen sind wahr:

  • Alle Punkte des Kreises haben den gleichen Abstand $r$ vom Kreismittelpunkt.

  • Flächeninhalt und Umfang eines Kreises können entweder durch den Durchmesser oder den Radius des Kreises ausgedrückt werden.

  Die Formeln für Flächeninhalt und Umfang enthalten beide den Radius $r$ des Kreises. Dieser kann wiederum durch den Durchmesser $d$ ausgedrückt werden:

  $d=2r$

  Durch Einsetzen können die beiden Größen auch durch den Durchmesser ausgedrückt werden.

  • Die Formel für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises lautet $A= \pi r^2$.

• Berechne den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises.

  Tipps

  Der Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.

  Die Länge der Kreislinie heißt Umfang des Kreises und wird berechnet, indem man den Durchmesser des Kreises mit $\pi$ multipliziert. Du kannst den Umfang aber auch über den Radius ausrechnen.

  Um das Quadrat einer Länge zu bestimmen, musst du die Zahl und die Einheit quadrieren:

  $(2~\text{m})^2=2^2~\text{m}^2 = 4~\text{m}^2$.

  Lösung

  Der Lückentext kann folgendermaßen ausgefüllt werden:

  • Der Durchmesser $d$ eines Sumoringes beträgt $4,55~\text{m}$. Daraus kann der Radius $r$ berechnet werden, denn es gilt:

  • $r=\frac{d}{2}$, also $r=\frac{4,55~\text{m}}{2} = 2,275~\text{m}$.

  Der Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.

  • (...) Dazu kann der Umfang eines Kreises berechnet werden:

  Die Länge der Kreislinie heißt Umfang des Kreises und wird so berechnet:

  • $U=2 \pi \cdot r$, hier also $U= 2 \pi \cdot 2,275~\text{m}\approx14,29~\text{m}$.

  Die Fläche eines Kreises berechnet sich folgendermaßen:

  • (...) $A= \pi r^2$, in unserem Fall also $A= \pi \cdot (2,275~\text{m})^2= 16,26~\text{m}^2$.

• Bestimme den Flächeninhalt eines Kreises aus seinem Umfang.

  Tipps

  Mit dem gegebenen Umfang kannst du den Radius bestimmen, den du wiederum in die Formel des Flächeninhalts einsetzen kannst.

  Lösung

  Hier ist nach einer Möglichkeit gesucht, den gegebenen Umfang mit der Fläche eines Kreises in Verbindung zu bringen. Da wir wissen, dass der Radius $r$ in den Formeln für beide Größen vorkommt, können wir ihn als „Bindeglied“ nutzen, indem wir über einen Zwischenschritt erst den Radius und mit diesem dann die Kreisfläche berechnen.

  • Zuerst setzt du den gegebenen Umfang in die Gleichung ein: $U=106,81~\text{cm}=2 \pi \cdot r$.

  Mit dem gegebenen Umfang kannst du den Radius bestimmen, den du wiederum in die Formel des Flächeninhalts einsetzen kannst.

  • Dann teilst du durch $2\pi$:

  $\begin{array}{llll} 106,81~\text{cm}&=2 \pi \cdot r & \vert : 2 \pi \\ \frac{106,81~\text{cm}}{2 \pi} &=& r & \end{array}$

  • Und berechnest den Radius $r$: $r\approx 17 ~\text{cm}$.

  Um den Radius aus dieser Formel zu berechnen, teilst du durch $2 \pi$ und rechnest aus.

  Mit dem so bestimmten Radius kannst du anschließend den Flächeninhalt berechnen.

  • Den Radius kannst du in die Formel des Flächeninhalts einsetzen: $A=\pi \cdot r^2=\pi \cdot (17 ~\text{cm})^2$.

  • Und schließlich ausrechnen: $A\approx908 ~\text{cm}^2$.

• Bestimme die Kenngrößen der Kreise.

  Tipps

  Den Radius $r$ kannst du aus dem Durchmesser $d$ bestimmen:

  $r=\frac{d}{2}$.

  Den Radius kannst du auch aus dem Umfang bestimmen.

  $\begin{array}{llll} U&=&2 \pi \cdot r & \vert : 2 \pi \\ r &=& \frac{U}{2 \pi} &\\ \end{array}$

  Lösung

  Die fehlenden Größen der Tabelle kannst du wie folgt berechnen.

  Den Radius $r$ bestimmst du aus dem Durchmesser $d$

  $r=\frac{d}{2}$, $r_1=\frac{6 ~\text{cm}}{2}=3 ~\text{cm}$

  oder aus dem Umfang $U$.

  $\begin{array}{llll} U_3= 15~\text{cm}&=&2 \pi \cdot r_3 & \vert : 2 \pi \\ \frac{15~\text{cm}}{2 \pi} &=& r_3 &\\ 2,39~\text{cm} &\approx & r_3 \end{array}$

  Den Durchmesser $d$ bestimmt du aus dem Radius:

  $d=2r$, z.B. $d_3=2\cdot 2,39~\text{cm}= 4,78~\text{cm}$.

  Den Umfang aus dem Radius:

  $U=2 \pi r$, also

  $\begin{array}{lll} U_1&=&2 \pi \cdot 3~\text{cm}\\ U_1&\approx&18,85 ~\text{cm}\\ U_2&=&2 \pi \cdot 6~\text{cm}\\ U_2&\approx&37,70~\text{cm}\\ \end{array}$

  Und den Flächeninhalt $A$ aus dem Radius:

  $A=\pi r^2$, also

  $\begin{array}{lll} A_2&=&\pi(6~\text{cm})^2\\ A_2&\approx&113,10~\text{cm}^2\\ A_3&\approx&\pi (2,39~\text{cm})^2\\ A_3&\approx& 17,95~\text{cm}^2\\ \end{array}$

  Um $A_3$ zu berechnen, setzt du hier den vorher aus dem Umfang $U_3$ bestimmten Radius $r_3\approx2,39~\text{cm}$ ein.

• Forme die Gleichungen um.

  Tipps

  Der Durchmesser $d$ ist das Doppelte des Radius $r$:

  $d=2r$.

  Lösung

  Folgende Ausdrücke gehören zusammen.

  • Der Radius ist der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie.

  Der Durchmesser $d$ ist das Doppelte des Radius $r$:
  $d=2r$.

  • Der Durchmesser ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie und somit gleich dem doppelten Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie.

  Durch Einsetzen von $d=2r$ erhältst du außerdem die folgenden Gleichungen für Umfang und Flächeninhalt:

  • Für den Umfang $U$ gilt $U= 2 \pi r= \pi d$.

  • Für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises gilt $A=\pi r^2=\frac{\pi}{4} d^2$.

• Erarbeite die Berechnung von Kreissektoren.

  Tipps

  Nach einer Konvention wird der Innenwinkel eines Kreises in $360$ gleich große Teile zerlegt. Jedes dieser Teile nennt man ein „Grad“.

  Lösung

  Die Lücken können so vervollständigt werden:

  • Ein Anteil einer Kreisfläche heißt Kreissektor. Diese Fläche bestimmst du über den dabei aufgespannten Winkel $\alpha$. Der komplette Kreis spannt dabei einen Winkel von $360^{\circ}$ auf.

  Nach einer Konvention wird der Innenwinkel eines Kreises in $360$ gleich große Teile zerlegt. Jedes dieser Teile nennt man ein „Grad“.

  • Die Fläche des Kreissektors $A_{S}$ bestimmst du, indem du den Anteil des aufgespannten Winkels $\alpha$ am Gesamtwinkel von $360^{\circ}$ mit der normalen Formel der Kreisfläche multiplizierst. $A_{S}=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$

  • Ein Viertel eines Kreises hat einen aufgespannten Winkel von $90^{\circ}$.

  Ein Viertel von $360^{\circ}$ beträgt $90^{\circ}$.

  • Setzt du das in die obige Formel ein, erhältst du: $A_{S}=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$.

  Den Radius des Kreises berechnest du mit der bekannten Formel:

  • (...) $r=\frac{d}{2}=\frac{30~\text{cm}}{2}=15~\text{cm}$.

  Durch Einsetzen erhältst du das Kreissegment:

  • (...) $A_{S}=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi (15~\text{cm})^2=\frac{1}{4} \cdot \pi (15~\text{cm})^2\approx 176,71~\text{cm}^2$.