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Kumulierte Häufigkeiten

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Was ist eine kumulierte Häufigkeit?

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Kumulierte Häufigkeiten
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Grundlagen zum Thema Kumulierte Häufigkeiten

Was ist kumulierte Häufigkeit?

Eine kumulierte Häufigkeit, auch Summenhäufigkeit, gibt die Häufigkeit an, dass ein Merkmal kleiner gleich einem bestimmten Wert kk ist. Es handelt sich also um die Summe aus der Häufigkeit dieses Werts mit den Häufigkeiten aller Werte darunter.

Wir können kumulierte Häufigkeiten nutzen, wenn uns zum Beispiel nicht nur interessiert, wie viele Schüler in der letzten Arbeit eine ganz bestimmte Note hatten, sondern wie viele Schüler die Note 33 oder besser erreicht haben. Das kann besonders dann interessant sein, wenn es sehr viele verschiedene Ausprägungen des Merkmals gibt. Wenn wir zum Beispiel die Akkulaufzeiten von Smartphones in Minuten messen, dann kann man so bestimmen, wie viele Geräte eine Akkulaufzeit unter einem bestimmten Grenzwert haben.

Kumulierte Häufigkeit – Definition

Der Begriff kumuliert kommt vom lateinischen Wort cumulare, was „anhäufen“ bedeutet. Bei der kumulativen Häufigkeit werden die Häufigkeiten aller Werte addiert, die kleiner oder gleich einem bestimmten Wert kk sind. Eine Voraussetzung ist dabei, dass die Daten geordnet sind, also in kleiner oder gleich bzw. größer kk unterteilt werden können.

Wir unterscheiden zwischen kumulierter absoluter Häufigkeit, kumulierter relativer Häufigkeit und kumulierter prozentualer Häufigkeit. Dabei werden jeweils die Werte der entsprechenden Häufigkeiten bis kk zusammengerechnet.

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Kumulierte Häufigkeiten berechnen

Wir wissen bereits, dass sich die kumulierten Häufigkeiten als Summe der Häufigkeiten ergeben, für die die Ausprägung eines Merkmals kleiner oder gleich kk ist. In der folgenden Tabelle sind z. B. die Daten eines Mathetests dargestellt. In der linken Spalte stehen die Werte der Noten kk, in der mittleren Spalte die absoluten Häufigkeiten hkh_k und rechts die kumulierten absoluten Häufigkeiten hckhc_k.

kk hkh_k hckhc_k
11 33 33
22 1212 1515
33 2222 3737
44 77 4444
55 66 5050

Aus der Tabelle sehen wir zum Beispiel, dass die absolute Häufigkeit h3h_3 für k=3k = 3 bei 2222 liegt. Das bedeutet: 2222 Schülerinnen und Schüler haben bei dem Test genau die Note 33 erhalten. Die kumulierte Häufigkeit hc3=37hc_3 = 37 für k=3k = 3 können wir ebenfalls ablesen. Dieser Wert besagt, dass 3737 Schülerinnen die Note 33 oder eine bessere Note bekommen haben. Berechnen lässt sich der Wert hc3hc_3, indem wir die absoluten Häufigkeiten für h1h_1, h2h_2 und h3h_3 addieren: hc3=h1+h2+h3=3+12+22=37hc_3 = h_1 + h_2 + h_3 = 3 + 12 + 22 = 37

Nach demselben Prinzip lassen sich auch die Werte für die kumulierten relativen und die kumulierten prozentualen Häufigkeiten berechnen. Es werden jeweils die Werte der entsprechenden Häufigkeiten addiert. Beispielsweise ergibt sich der Wert für pc2=30pc_2 = 30 aus der unteren Tabelle auch, wenn wir p1+p2=6+24=30p_1 + p_2 = 6 + 24 = 30 rechnen.

kk hkh_k fkf_k pkp_k hckhc_k fckfc_k pckpc_k
11 33 0,060,06 66 33 0,060,06 66
22 1212 0,240,24 2424 1515 0,30,3 3030
33 2222 0,440,44 4444 3737 0,740,74 7474
44 77 0,140,14 1414 4444 0,880,88 8888
55 66 0,120,12 1212 5050 11 100100

Kumulierte Häufigkeit – Eigenschaften

kumulierte Häufigkeit Beispiel

Hier siehst du zwei Säulendiagramme, die die prozentuale Häufigkeit pkp_k und die kumulierte prozentuale Häufigkeit pckpc_k aus der Tabelle von oben zeigen. Daran können wir zwei Eigenschaften von kumulierten Häufigkeiten erkennen:

  • Die kumulierte prozentuale Häufigkeit nimmt nach rechts, also für größere Werte von kk, immer weiter zu. Im Vergleich dazu hat die prozentuale Häufigkeit bei k=3k = 3 ein Maximum und sinkt danach wieder.
  • Die letzte Säule hat den Wert 100100, repräsentiert also 100%100\% der Daten. Diese Säule steht immer für alle Daten, da sie den höchsten möglichen Wert und alle kleineren Werte beinhaltet.

Diese beiden Eigenschaften gelten auch für die kumulierte absolute und die kumulierte relative Häufigkeit. Das kannst du auch in der Tabelle oben ablesen:

  • Bei hckhc_k, fckfc_k und pckpc_k werden die Werte mit jeder Zeile größer, da wir etwas addieren.
  • In der letzten Zeile steht jeweils der Wert, den alle Daten zusammen ergeben. Bei hckhc_k ist das immer die Anzahl der Datenwerte nn, bei fckfc_k ist es 11 und bei pckpc_k entsprechend 100100.

Kumulierte Häufigkeit – Zusammenfassung

In diesem Video erfährst du, was kumulierte Häufigkeiten sind und wie du sie bestimmen und interpretieren kannst. Wir unterscheiden dabei zwischen kumulierter absoluter, kumulierter relativer und kumulierter prozentualer Häufigkeit.

Transkript Kumulierte Häufigkeiten

Auch wenn es nicht jedermanns Lieblingstätigkeit ist, hin und wieder muss man einfach mal wieder klar Schiff in der Bude machen! Die einen machen das schön gründlich und die anderen sind da eher flott unterwegs. Statistiken zu dem Thema können wir uns prima mit "kumulierten Häufigkeiten" in einer Häufigkeitstabelle anschauen. Fünfzig Personen wurden nach der Zeit gefragt, die sie durchschnittlich pro Woche für's Saubermachen aufbringen. Die Ergebnisse sind in dieser Häufigkeitstabelle zusammengefasst. In dieser Spalte können wir die absoluten Häufigkeiten ablesen. Sechs der befragten Personen putzen also normalerweise höchstens eine Stunde pro Woche, vierzehn nehmen sich ungefähr ein bis zwei Stunden, und so weiter. HIER stehen die relativen Häufigkeiten, die wir berechnen, indem wir die ABSOLUTEN Häufigkeiten durch die Gesamtzahl aller befragten Personen (sprich fünfzig) teilen, und in DIESER Spalte ist dann jeweils noch der prozentuale Anteil eingetragen. So weit, so gut. Wie sieht es jetzt aber mit den KUMULIERTEN Häufigkeiten aus? Kumulierte Häufigkeiten anzugeben, ist immer dann sinnvoll, wenn wir das betrachtete Merkmal (in unserem Fall die wöchentliche Putzdauer) in eine sinnvolle Rangordnung bringen können. Wir betrachten eine Rangordnung von "kurz" nach "lang". Die Idee ist jetzt folgende: Anstatt die Häufigkeiten von jeder Merkmalsausprägung einzeln zu betrachten, summieren wir die Häufigkeiten von der ersten Ausprägung bis zu einer bestimmten Ausprägung auf. Im ersten Fall ist die kumulierte absolute Häufigkeit einfach gleich der absoluten Häufigkeit für diese Ausprägung. Interessant wird es ab der nächsten Stufe: Um die kumulierte Häufigkeit für die zweite Merkmalsausprägung, also wöchentlichen Putzdauern von BIS ZU zwei Stunden, zu bestimmen, addieren wir die Häufigkeiten der ersten Ausprägung mit der der zweiten Ausprägung. Insgesamt zwanzig Personen putzen also zwei Stunden ODER WENIGER pro Woche. Um als nächstes die Anzahl an Personen zu bestimmen, die maximal drei Stunden putzt, addieren wir zu diesen zwanzig Personen weitere neun und kommen so schon auf neunundzwanzig. Dieses Prinzip setzen wir jetzt weiter fort, bis wir schließlich bei der letzten Merkmalsausprägung alle fünfzig teilnehmenden Personen der Befragung abgedeckt haben. Kumulierte RELATIVE Häufigkeiten beziehungsweise kumulierte Prozentangaben funktionieren nach derselben Grundidee. Um zum Beispiel die kumulierte relative Häufigkeit für Personen zu bestimmen, die maximal vier Stunden pro Woche putzen, addieren wir die relativen Häufigkeiten der ersten vier Merkmalsausprägungen. Am Ende kommen wir bei diesen Spalten somit immer zur Eins beziehungsweise zu einhundert Prozent, weil ja alle Häufigkeiten aufsummiert wieder die Grundgesamtheit ergeben müssen. Wir schauen uns die kumulierten Häufigkeiten auch nochmal kurz am Säulendiagramm an. In diesem Diagramm siehst du die absoluten Häufigkeiten. Um die KUMULIERTEN absoluten Häufigkeiten in einem Säulendiagramm einzutragen, müssen wir jetzt nur noch Säule für Säule übereinanderstapeln, anstatt sie ALLEIN nebeneinander stehen zu lassen. Bei unserem Diagramm für KUMULIERTE Häufigkeiten setzt sich also die zweite Säule aus den ersten beiden Säulen des linken Diagramms zusammen. Die dritte Säule dann aus den ersten drei Säulen und so weiter. Für relative Häufigkeiten sieht der Spaß dann genauso aus, nur, dass wir die y-Achse dafür anders beschriften. Bei kumulierten Häufigkeiten werden die Säulen also von Ausprägung zu Ausprägung immer höher, da ja alle Häufigkeiten der vorangegangenen Säulen in der nächsten Säule enthalten sind. Alles klar, wir fassen nochmal kurz und knapp zusammen, was du dir zu kumulierten Häufigkeiten merken solltest. Kumulierte Häufigkeiten geben an, wie häufig eine bestimmte Merkmalsausprägung und alle niedrigeren Ausprägungen eines Merkmals beobachtet wurden. Damit man kumulierte Häufigkeiten angeben kann, muss das betrachtete Merkmal daher in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden können. Dann summiert man einfach alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf. So setzt sich dann zum Beispiel die Häufigkeit der vierten Merkmalsausprägung aus der Summe der ersten vier Häufigkeiten zusammen. Das gilt sowohl für ABSOLUTE, als auch RELATIVE kumulierte Häufigkeiten und funktioniert auch bei prozentualen Angaben nach diesem Prinzip! Und wann hast du das letzte Mal dein Zimmer aufgeräumt? Naja, es hieß ja auch 4 Stunden ODER WENIGER!

2 Kommentare
  1. Echt tolles Video und der Hund ist richtig lustig:)

    Von Friedrich , vor 8 Monaten
  2. gestern und cooles vidio

    Von ZaTa7, vor mehr als einem Jahr

Kumulierte Häufigkeiten Übung

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