Lineare Substitution – Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen

Lineare Substitution – Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen Übung

• Bestimme eine Stammfunktion zu der Funktion $h(x)$.

  Tipps

  Zur Kontrolle, ob die Stammfunktion $H(x)$ korrekt ist, kann diese wieder abgeleitet werden. Es muss als Ableitung $h(x)$ heraus kommen.

  Die Kettenregel der Differentiation bei einer linearen inneren Funktion lautet:

  $(f(ax+b))'=f'(ax+b)\cdot a$.

  Lösung

  Die lineare Substitution der Integration lautet:

  $\int f(ax+b)dx=\frac1aF(ax+b)$, dabei

  • ist $a$ die Ableitung der linearen inneren Funktion und
  • $F'(x)=f(x)$.

  Zur Bestimmung der Stammfunktion von $2\cdot \cos\left(\frac12x-1\right)$

  • wird eine Stammfunktion von $\cos(x)$ benötigt. Oder anders gefragt: Welche Funktion abgeleitet ergibt $\cos(x)$? Es gilt $\sin'(x)=\cos(x)$, also ist $\int\cos(x)dx=\sin(x)+c$.
  • Die Ableitung der linearen inneren Funktion ist hier $a=\frac12$.

  Somit ist

  $H(x)= 2\cdot \frac1{\frac12} \sin\left(\frac12x-1 \right)+c=4 \cdot \sin\left(\frac12x-1 \right)+c $.

• Berechne den Inhalt der Fläche unter dem Funktionsgraphen.

  Tipps

  Beachte, dass das Flächenstück unterhalb der $x$-Achse liegt.

  Um den Hautptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden zu können, muss eine Stammfunktion der zu integrierenden Funktion bekannt sein.

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet: $\int\limits_{a}^{b}f(x)~dx=\left[ F(x) \right]_a^b=F(b)-F(a)$. Dabei gilt $F'(X)=f(x)$.

  Lösung

  Um den Flächeninhalt $A$ zu berechnen, wendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, wobei $F'(X)=f(x)$:

  $\int\limits_a^bf(x)~dx= \left[ F(x) \right]_a^b=F(b)-F(a)$.

  Das heißt, man benötigt eine Stammfunktion der zu integrierenden Funktion. Diese ist $g(x)=\sin(2x+2)$. Mit der linearen Substitutionsregel, $\int f(ax+b)~dx=\frac1a\cdot F(ax+b)$. In diesem Falle ist $a=2$ und es gilt:

  $G(x)=-\frac12\cos(2x+2)$, da $\int \sin(x)~dx=-\cos(x)+c$ .

  Nun kann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet werden:

  $\begin{align*} A&=\left| \int\limits_1^2 \sin(2x+2) ~dx \right|\\ &=\left| \left[-\frac12 \cos(2x+2)\right]_1^2\right|\\ &=\left| \left[-\frac12 \cos(2\cdot2+2)\right]-\left[-\frac12\cos(2\cdot1+2)\right]\right|\\ &\approx|-0,807|=0,807~\text{[FE]}. \end{align*}$

• Gib jeweils eine Stammfunktion an.

  Tipps

  Die jeweilige Stammfunktion könntest du auch ableiten, um zu der entsprechenden Funktion zu gelangen.

  Bestimme jeweils die Ableitung der linearen inneren Funktion.

  Durch diese wird geteilt!

  Es gilt $\left( \sin(x) \right)'=\cos(x)$ und $\left( \cos(x) \right)'=-\sin(x)$

  Lösung

  Die lineare Substitutionsregel der Integration lautet: $\int f(ax+b)dx=\frac1a\cdot F(ax+b)$. Im Folgenden ist $c \in \mathbb{R}$ die Integrationskonstante.

  $f(x)=\cos(3x-2)$.

  • Hier ist $a=3$ und
  • $\int\cos(x)~dx=\sin(x)+c$,
  • also $F(x)=\frac13\sin(3x-2)+c$.

  $g(x)=-\sin(-0,5x-2)$.

  • Hier ist $a=-0,5$ und
  • $\int -\sin(x)~dx=\cos(x)+c$,
  • also $G(x)=\frac1{-0,5}\cos(-0,5x-2)+c=-2\cdot \cos(-0,5x-2)+c$.

  $h(x)=3\cdot\sin(0,25x-2)$.

  • Hier ist $a=0,25$ und
  • $\int\sin(x)~dx=-\cos(x)+c$,
  • also $H(x)=-\frac3{0,25}\cos(0,25x-2)+c=-12\cdot \cos(0,25x-2)+c$.

  $k(x)=-2\cdot\cos(-x-2)$.

  • Hier ist $a=-1$ und
  • $\int\cos(x)~dx=\sin(x)+c$,
  • also $H(x)=-\frac2{-1}\sin(-x-2)+c=2\cdot\cdot\sin(-x-2)+c$.

• Ermittle den eingeschlossenen Flächeninhalt.

  Tipps

  Achte darauf, deinen Taschenrechner auf „R“ oder „RAD“ für Bogenmaß einzustellen.

  Hier ist die Ableitung der inneren Funktion $a=-1$ und die Stammfunktion von $\cos(x)$ gegeben durch $\sin(x)+c$.

  Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, wobei $F'(X)=f(x)$:

  $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\left[ F(x) \right]_a^b=F(b)-F(a)$.

  Die lineare Substitution der Integration lautet:

  $\int f(ax+b)dx=\frac1aF(ax+b)$, dabei

  • ist $a$ die Ableitung der linearen inneren Funktion und
  • $F'(x)=f(x)$

  Lösung

  Um den Flächeninhalt $A$ zu berechnen, wendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, wobei $F'(X)=f(x)$:

  $\int\limits_{a}^{b}f(x)~dx=\left[ F(x) \right]_a^b=F(b)-F(a)$

  Die lineare Substitution der Integration lautet: $\int f(ax+b)~dx=\frac1aF(ax+b)$, dabei

  • ist $a$ die Ableitung der linearen inneren Funktion und
  • $F'(x)=f(x)$

  Hier ist $h(x)=\frac12\cos(-x+3)+1$ die zu integrierende Funktion.

  • Somit ist $a=-1$.
  • Eine Stammfunktion von $\cos(x)$ ist gegeben durch $\sin(x)+c$.
  • Mit der linearen Substitutionsregel gilt: $H(x)=-\frac12\sin(-x+3)+x+c$.

  Nun kann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet werden:

  $\begin{align*} A&=\int\limits_2^5 \left(\frac12\cos(-x+3)+1\right)~dx \\ &=\left[-\frac12\sin(-x+3)+x\right]_2^5\\ &=\left[ -\frac12\sin(-5+3)+5 \right] -\left[-\frac12\sin(-2+3)+2\right]\\ &\approx3,88~\text{[FE]}. \end{align*}$

• Ergänze die Erklärung zur linearen Substitutionsregel der Integration.

  Tipps

  Die Kettenregel der Differentiation lautet $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Bei einer linearen inneren Funktion gilt dann:

  $(f(ax+b))'=f'(ax+b)\cdot a$.

  Die lineare Substitution der Integration ist die Analogie zur Kettenregel der Differentiation bei linearer innerer Funktion.

  Wenn die Stammfunktion abgeleitet wird, muss wieder die Funktion $f(ax+b)$ heraus kommen.

  Lösung

  Die lineare Substitutionsregel der Integration ist eine Regel mittels derer man Stammfunktionen von verketteten Funktionen bestimmen kann, deren innere Funktion eine lineare Funktion ist. Darüber hinaus muss die Stammfunktion der äußeren Funktion bekannt sein.

  Die lineare Substitutionsregel der Integration lautet:

  $\int f(ax+b)~dx=\frac1a\cdot F(ax+b)$.

  Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$, das heißt $F'(x)=f(x)$.

  Zum Beispiel ist

  $\int \sin(2x)~dx=-\frac12 \cos(2x)+c$,

  denn umgekehrt ist $\left(-\frac12 \cos(2x)+c\right)'=-\frac12 -\sin(2x)\cdot 2=\sin(2x)$.

• Berechne den Inhalt der Fläche unter dem Funktionsgraphen.

  Tipps

  Beachte, dass die Funktion auf dem Intervall $I$ eine Nullstelle hat. Diese liegt bei $x_N=1$. Du kannst sie an dem Bild oben ablesen.

  Berechne den Inhalt der Fläche $A_1$ und den von $A_2$.

  Die gesuchte Fläche ergibt sich als Summer der beiden Flächenstücke.

  Berechne:

  • $A_1=\left|\int\limits_{0,5}^1\sin(3x-3)~dx\right|$ und
  • $A_2=\left|\int\limits_1^2\sin(3x-3)~dx\right|$.

  Verwende die Lineare Substitutionsregel:

  $\int f(ax+b)~dx=\frac1aF(ax+b)+c$

  Lösung

  Zunächst benötigt man eine Stammfunktion von $g(x)=\sin(3x-3)$. Mit $a=3$ und $\int \sin(x)=-\cos(x)+c$ ist

  $G(x)=-\frac13\cdot \cos(3x-3)+c$.

  Da auf dem Intervall gegebenenfalls Nullstellen existieren könnten, müssten diese noch berechnet werden:

  $\sin(3x-3)=0$.

  Die Nullstellen von Sinus sind die ganzzahligen Vielfachen von $\pi$, also $3x-3=k\cdot \pi;~k\in\mathbb{Z}$. Die einzige, die auf dem betrachteten Intervall $I$ liegt ist $x_N=1$.

  Nun können die beiden Flächenstücke mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnet werden:

  $\begin{align*} A_1&=\left|~\int\limits_{0,5}^1 sin(3x-3)~dx\right| \\ &=\left|\left[-\frac13\cos(3x-3)\right]_{0,5}^1\right|\\ &=\left|\left[-\frac13\cos(3\cdot1-3)\right]-\left[-\frac13\cos(3\cdot 0,5-3)\right]\right|\\ &\approx\left|-0,390322\right|=0,390322~\text{[FE]} \end{align*}$

  und

  $\begin{align*} A_2&=\left|\int\limits_1^2 sin(3x-3)~dx\right| \\ &=\left|\left[-\frac13\cos(3x-3)\right]_1^2\right|\\ &=\left|\left[-\frac13\cos(3\cdot2-3)\right]-\left[-\frac13\cos(3\cdot 1-3)\right]\right|\\ &\approx\left|0,623766\right|= 0,623766~\text{[FE]}. \end{align*}$

  Somit ist $A=A_1+A_2\approx 0,390322+0,623766\approx1,014088 \approx 1,01 \text{[FE]}$.