Logarithmusgleichungen

Hallo, schön, dich mal wieder hier zu sehen. Heute werden wir uns mit dem Lösen von Logarithmengleichungen beschäftigen. Dazu müssen wir erst einmal wissen, was Logarithmengleichungen sind.

Was sind Logarithmengleichungen?

Die Erklärung hierfür ist sehr einfach, dies sind Gleichungen, in denen die Variable im Argument des Logarithmus auftritt. Hier siehst du einige Beispiele.

• Logarithmus zur Basis 10 von x gleich 2
• 2 mal Logarithmus zur Basis 2 von 2 mal x gleich 6
• Logarithmus zur Basis 2 von 4 mal x gleich 10
• Logarithmus zur Basis 25 von x gleich einhalb

Logarithmengleichung Beispiellösung 1

Zum Lösen dieser vier Gleichungen muss man eigentlich nur die Definition des Logarithmus anwenden. Wenn a hoch b gleich c ist, dann gilt, dass der Logarithmus zur Basis a von c, b ist . a ist also die Basis, b ist der Exponent und c ist das Ergebnis der Potenz.

Logarithmengleichungen kann man auf diese Weise umwandeln und lösen. Machen wir das doch einmal bei unserer ersten Beispielaufgabe.

Der Logarithmus zur Basis 10 von x gleich 2 entspricht der Gleichung 10 hoch 2 gleich x10 hoch 2 gleich 100, also ist 100 gleich x. Als Ergebnis erhalten wir somit x gleich 100.

Logarithmengleichung Beispiellösung 2

Schauen wir uns die zweite Gleichung an. 2 mal Logarithmus zur Basis 2 von 2 mal x gleich 6. Zunächst dividieren wir die Gleichung durch 2 und erhalten Logarithmus zur Basis 2 von 2 mal x gleich 3. Jetzt formen wir die Gleichung um und erhalten 2 hoch 3 gleich 2 mal x2 hoch 3 gleich 8, also 8 gleich 2 mal x.

Nun dividieren wir die Gleichung durch 2 und erhalten 4 gleich x. Die Gleichung gilt also für x gleich 4.

Logarithmengleichung Beispiellösung 3

Bei der dritten Gleichung geht es wieder etwas schneller. Logarithmus zur Basis 2 von 4 mal x gleich 10. Wir wandeln diese Gleichung um, zu: 2 hoch 10 gleich 4 mal x. 2 hoch 10 gleich 1024, also 1024 gleich 4 mal x. Nun dividieren wir die Gleichung durch 4 und erhalten x gleich 256.

Logarithmengleichung Beispiellösung 4

Jetzt kommen wir zum letzten unserer Beispiele: Logarithmus zur Basis 25 von x gleich 1 Halb, auch hier formen wir zunächst wieder um. 25 hoch ein Halb gleich x Hoch ein Halb ist das gleiche wie die Wuadratwurzel. Also Wurzel aus 25 gleich x. Die Wurzel von 25 ist 5. Also gilt: x gleich 5.

Logarithmengleichung Beispiellösung 5

Nun haben wir bereits alle vier Beispielaufgaben gelöst und du hast vielleicht auch schon ein Gefühl dafür bekommen, wie man Logarithmusgleichungen löst. Die Methode, die du eben kennengelernt hast, kannst du bei jeder einfachen Logarithmengleichung anwenden. Wir wollen dies noch an zwei letzten Beispielen vorführen.

2 mal Logarithmus zur Basis 27 von x gleich zwei Drittel. Hier müssen wir die Gleichung erst wieder durch 2 dividieren und erhalten Logarithmus zur Basis 27 von x gleich ein Drittel. Nun formen wir dies wieder um. 27 hoch ein Drittel gleich x. Hoch ein Drittel ist dasselbe wie die dritte Wurzel, also muss man die dritte Wurzel von 27 ziehen. Man erhält 3 = x. x ist also 3.

Logarithmengleichung Beispiellösung 6

2 mal Logarithmus zur Basis 16 von 2 mal x gleich ein Halbes ist nun das zweite und letzte Beispiel: Zunächst dividieren wir die Gleichung durch 2 und erhalten. Logarithmus zur Basis 16 von 2 mal x gleich ein Viertel. Jetzt kommt wieder die Umformung nach Definition.

16 hoch ein Viertel gleich 2 mal x. Hoch ein Viertel ist gleichbedeutend mit der vierten Wurzel, also müssen wir aus 16 die vierte Wurzel ziehen und erhalten 2. 2 gleich 2 mal x, diese Gleichung dividieren wir durch 2 und erhalten 1 gleich x. Die Lösung der Gleichung ist also x = 1

Zusammenfassung

So nun haben wir bereits sechs Beispielaufgaben gerechnet. Das dürfte erst einmal genügen. Eigentlich müssten wir bei jeder Aufgabe noch eine Probe durchführen. Da unsere Logarithmengleichungen aber so einfach waren, verzichten wir diesmal auf die Probe. Du wirst allerdings noch anspruchsvollere Gleichungen kennenlernen, bei denen eine Probe dann unverzichtbar ist.

Das üben wir dann beim nächsten Mal! Tschüss!