Mindestwahrscheinlichkeiten

Mindestwahrscheinlichkeiten Übung

• Gib an, was bei der Aufgabenstellung gegeben und was gesucht ist.

  Tipps

  Die Ereignisse „Gewinn“ und „kein Gewinn“ sind Gegenereignisse.

  Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis summieren sich immer zu $1$.

  Wenn du von einer Prozentzahl zu einer Kommazahl gelangen willst, teilst du durch $100$.

  Schau dir hierfür ein Beispiel an:

  $70~\%=\frac{70}{100}=0,7$

  Das Glücksrad hat $12$ gleich große Felder. Wenn $3$ Felder zu einem Gewinn führen, erhältst du die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P($Gewinn$)=\frac3{12}=\frac14$.

  Lösung

  Wie so oft in der Mathematik ist es eine gute Idee, zunächst einmal zu sammeln, was gegeben und was gesucht ist.

  Die oben formulierte Aufgabe wird oft auch als Mindestens-mindestens-mindestens-Aufgabe bezeichnet, da in der Aufgabenstellung dreimal das Wort „mindestens“ vorkommt.

  • Bekannt ist die Mindestwahrscheinlichkeit $90~\%=0,9$.
  • Da das Glücksrad $12$ Felder hat, von denen $1$ Feld zu einem Gewinn führt, erhältst du $P($Gewinn$)=\frac{1}{12}$.
  • Wenn du diese Wahrscheinlichkeit von $1$ subtrahierst, erhältst du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $P($kein Gewinn$)=1-\frac1{12}=\frac{11}{12}$.

  Was ist gesucht? Gefragt ist nach der Mindestanzahl $n$ an Drehungen des Glücksrades.

• Bestimme die Anzahl, wie oft Maria das Glücksrad mindestens drehen muss.

  Tipps

  Sei $E$ ein Ereignis und $\overline{E}$ das zugehörige Gegenereignis, dann ist $P(E)+P(\overline{E})=1$.

  Dies ist äquivalent zu $P(E)=1-P(\overline{E})$.

  Beachte: Du löst Ungleichungen ebenso wie Gleichungen. Wenn du jedoch mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, kehrt sich das Relationszeichen um.

  Verwende das Logarithmusgesetz $\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)$.

  Lösung

  Dies ist eine Mindestens-mindestens-mindestens-Aufgabe. Diese kommen sehr häufig in Klausuren vor. Du gehst dabei immer gleich vor. Es unterscheiden sich je nach Aufgabenstellung einzig die Mindestwahrscheinlichkeit $a$ (hier gilt $a=0,9$) sowie die Treffer- bzw. Gewinnwahrscheinlichkeit $p$ (hier gilt $p=\frac1{12}$).

  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn bei $n$ Drehungen. Du verwendest hierfür die Gegenwahrscheinlichkeit. Es gilt:

  $P($mindestens ein Gewinn bei $n$ Drehungen$)=1-P($kein Gewinn bei $n$ Drehungen)$=1-\left(\frac{11}{12}\right)^n$

  Die rechte Seite erhältst du mit folgender Wahrscheinlichkeit:

  $P($kein Gewinn$)=1-P($Gewinn$)=1-\frac1{12}=\frac{11}{12}$

  Diese Wahrscheinlichkeit soll größer oder gleich der Mindestwahrscheinlichkeit sein. Du erhältst so die Ungleichung $1-\left(\frac{11}{12}\right)^n\ge 0,9$. Diese löst du durch Äquivalenzumformungen sowie Logarithmieren:

  • Subtrahiere $1$. Das ergibt $-\left(\frac{11}{12}\right)^n\ge -0,1$.
  • Dividiere durch $-1$. Achte darauf, dass das Relationszeichen sich bei der Division durch eine negative Zahl umkehrt. Du erhältst $\left(\frac{11}{12}\right)^n\le 0,1$.
  • Nun kannst du logarithmieren. Du erhältst $\log\left(\left(\frac{11}{12}\right)^n\right)\le \log(0,1)$.
  • Verwende das Logarithmusgesetz $\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)$. Dies führt zu $n\cdot \log\left(\frac{11}{12}\right)\le \log(0,1)$.
  • Schließlich dividierst du durch $\log\left(\frac{11}{12}\right)$. Da dieser Wert negativ ist, kehrt sich auch hier das Relationszeichen um. Du erhältst $n\ge \frac{\log(0,1)}{\log\left(\frac{11}{12}\right)}\approx 26,46$.

  Da $n$ eine natürliche Zahl ist, musst du das Ergebnis immer aufrunden. Wenn du in diesem Beispiel $n\ge 26$ als Lösung nehmen würdest, wäre dies falsch, da bei $26$ Drehungen des Glücksrades die Mindestwahrscheinlichkeit noch nicht erreicht ist.

  Maria muss also mindestens $27$-mal das Glücksrad drehen, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $90~\%$ mindestens einen Gewinn zu erzielen.

  Anmerkung: Bei $27$-maligem Drehen hat Maria bereits $27~€$ bezahlt. Der Gutschein hat einen Wert von $30~€$. Nun ist es an Maria zu entscheiden, ob sie dieses Glücksspiel spielt.

• Leite her, wie viele Krapfen Paul mindestens kaufen muss.

  Tipps

  Achte darauf, dass sich bei Ungleichungen das Vorzeichen umkehrt, wenn du

  • entweder mit einer negativen Zahl multiplizierst
  • oder durch eine negative Zahl dividierst.

  Du verwendest das Logarithmusgesetz für Potenzen:

  $\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)$

  Du kannst also den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen.

  Achte auf die Reihenfolge bei der Divison.

  Lösung

  Paul will mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ermitteln, wie viele Krapfen er kaufen muss, um mit hoher Wahrscheinlichkeit mindestens einen Krapfen mit Erdbeerfüllung zu bekommen. Es gilt:

  • Die Mindestwahrscheinlichkeit ist $a=0,85$.
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit ist $p=0,2$. So erhält er auch die Wahrscheinlichkeit, nicht zu treffen, nämlich $1-p=0,8$.

  Gesucht ist die Anzahl $n$ der gekauften Krapfen.

  Jetzt kann es losgehen:

  • Es muss gelten $P(X\ge 1)\ge 0,85$.
  • Paul verwendet das Gegenereignis. Es gilt $1-P(X=0)\ge 0,85$.
  • Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist gegeben durch $P(X=0)=0,8^n$.
  • So kommt er zu der Ungleichung $1-0,8^n\ge 0,85$. Diese löst er mit Äquivalenzumformungen sowie Logarithmieren.

  Beachte, dass sich bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl oder der Division durch eine negative Zahl das Relationszeichen umkehrt:

  $\begin{array}{crclll} &1-0,8^n&\ge& 0,85&|&-1\\ \Leftrightarrow&-0,8^n&\ge &-0,15&|&:(-1)~~ (<0)\\ \Leftrightarrow&0,8^n&\le &0,15&|&\log()\\ \Leftrightarrow&\log\left(0,8^n\right)&\le &\log(0,15)&|&\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)\\ \Leftrightarrow&n\cdot \log(0,8)&\le &\log(0,15)&|&:\log(0,8)~~(<0)\\ \Leftrightarrow&n&\ge &\frac{\log(0,15)}{\log(0,8)} \end{array}$

  Dies kann Paul nun in seinen Taschenrechner eingeben und erhält $n\ge8,5...$.

  Er muss also mindestens $9$ Krapfen kaufen, damit mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $85~\%$ mindestens einer mit Erdbeerfüllung dabei ist.

  Paul lehnt sich vergnügt zurück und knabbert an seinem Erdbeerkrapfen, den er extra für solche besonderen Momente aufgehoben hat.

• Ermittle die Anzahl der befragten Personen.

  Tipps

  Die Aufgabenstellung kannst du in einen mathematischen Ausdruck „übersetzen“:

  $P(X \geq 1) \geq 0,95$

  Dabei ist $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen zählt, die regelmäßig Sport treiben.

  Diese Ungleichung kannst du umformulieren. Du erhältst:

  $P(X = 0) \leq 0,05$

  In dieser Aufgabe gilt $P(X=0) = 0,65^n$.

  Beachte, dass du immer aufrunden musst.

  Wenn du zum Beispiel $n\ge 4,21...$ erhältst, lautet die Antwort: ... mindestens $5$ ...

  Du kannst auch direkt die Formel verwenden:

  $n\ge\frac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$

  $a$ ist die gegebene Mindestwahrscheinlichkeit und $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit.

  Hinweis: Es kann sein, dass du in einer Klassenarbeit den ausführlichen Weg vorstellen musst und die Formel nicht erlaubt ist.

  Lösung

  Aufgaben dieser Art lassen sich immer mit den gleichen Mitteln lösen:

  1. Du „übersetzt“ die Aufgabenstellung in eine Ungleichung.
  2. Du löst diese Ungleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und dem Logarithmus nach $n$ auf.

  Anschließend rundest du den Wert auf und schreibst einen Antwortsatz.

  Wenden wir dies auf die Aufgabe an:

  1. Die Übersetzung lautet $P(X\geq 1) \geq 0,95$. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens $1$ ist, soll also größer oder gleich $0,95$ sein.
  2. Diese Ungleichung löst du durch Einsetzen der Gegenwahrscheinlichkeit, Subtraktion und Logarithmieren. Als ersten Schritt erhältst du $1 - P(X=0) \geq 0,95$. Subtraktion von $1$ und Division durch $-1$ ergeben $P(X=0) \leq 0,05$. Da $P(X=0) = (1-0,35)^n$, ergibt sich $0,65^n \leq 0,05$. Nun wendest du den Logarithmus an und dividierst. Das ergibt $n \geq \frac{\log(0,05)}{\log(0,65)}$.

  Auf dasselbe Ergebnis kommst du auch mit der Formel $n\ge\frac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$.

  Dabei sind die Mindestwahrscheinlichkeit $a$ und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gegeben. Hier ist $a=0,95$, also $1-a=0,05$, und $p=0,35$ und somit $1-p=0,65$.

  Hinweis: Es kann sein, dass du in Klassenarbeiten und Hausaufgaben die ausführliche Lösung können musst.

  Beide Wege führen dich zu $n\ge\frac{\log(0,05)}{\log(0,65)}=6,95...$.

  Du musst nun (das gilt immer!) aufrunden. Marie und Lisa müssen also mindestens $7$ Personen befragen, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $95~\%$ mindestens eine Person zu treffen, die regelmäßig Sport treibt.

• Benenne die Größen in der Formel zur Bestimmung der Mindestanzahl.

  Tipps

  $n$ ist eine natürliche Zahl und steht für die Mindestanzahl an Durchführungen.

  Sowohl $a$ als auch $p$ sind Wahrscheinlichkeiten.

  Vielleicht hilft dir diese Eselsbrücke:

  „M“ (für Mindestwahrscheinlichkeit) kommt im Alphabet vor „T“ (für Trefferwahrscheinlichkeit). Ebenso kommt „a“ vor „p“.

  Lösung

  Du kannst die Mindestanzahl an Durchführungen eines Zufallsexperimentes bei gegebener Mindestwahrscheinlichkeit $a$ und Trefferwahrscheinlichkeit $p$ mit Hilfe der folgenden Formel berechnen:

  $n\ge\frac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$

  Das können wir einmal an einem Beispiel üben. Dabei geht es um ein Glücksrad, welches $12$ gleich große Felder hat. Auf einem Feld steht „Gewinn“. Wir wollen wissen, wie oft das Glücksrad mindestens gedreht werden muss, damit man mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $a=0,9$ mindestens einen Gewinn erhält. Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ erhält man durch Division. Es gilt $p=\frac{1}{12}$. Insgesamt berechnet man dies so:

  $\begin{array}{rcl} n\ge\frac{\log(1-0,9)}{\log\left(1-\frac1{12}\right)}&=&\frac{\log(0,1)}{\log\left(\frac{11}{12}\right)} \\ &\approx &26,46 \end{array}$

  Da $n$ eine Anzahl ist und somit $n\in\mathbb{N}$ gilt, muss $n\ge 27$ sein.

• Berechne die Mindestanzahl der schwarzen Kugeln in der Urne.

  Tipps

  Beachte: In dieser Aufgabe ist $n$ gegeben sowie $a$. Gesucht ist diesmal $p$.

  Sei $s$ die Anzahl der schwarzen Kugeln, dann ist $p=\frac{s}{10}$ die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen.

  Da Tim die Kugel immer wieder zurücklegt, ändert sich diese Wahrscheinlichkeit nicht.

  Du erhältst auch in dieser Aufgabe eine Ungleichung. Diese löst du mit Äquivalenzumformungen.

  Du musst allerdings nicht logarithmieren, sondern du musst die $10$-te Wurzel ziehen.

  Ansonsten ist der Lösungsweg analog zu dem bei der Bestimmung der Mindestanzahl.

  Lösung

  Manchmal wird statt nach der Mindestanzahl an Durchführungen eines Zufallsexperimentes auch nach der Mindest-Trefferwahrscheinlichkeit gefragt. Du gehst dann so ähnlich vor wie bei den Mindestanzahl-Aufgaben.

  Sammle zunächst, was du bereits weißt. Es gilt $a=0,88$ und $n=10$.

  Gesucht ist die Anzahl der schwarzen Kugeln $s$. Dazu finden wir zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ heraus.

  Im Folgenden steht „$X\ge 1$“ für „mindestens eine schwarze Kugel bei $10$-maligem Ziehen“ und „$X=0$“ für „keine schwarze Kugel bei $10$-maligem Ziehen“.

  $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^{10}$.

  Nun kannst du die Ungleichung aufstellen, welche sich dadurch ergibt, dass diese Wahrscheinlichkeit größer oder gleich der Mindestwahrscheinlichkeit sein soll:

  $1-(1-p)^{10}\ge0,88$

  Löse diese Ungleichung durch Äquivalenzumformungen sowie Ziehen der $10$-ten Wurzel.

  $\begin{array}{crclll} &1-(1-p)^{10}&\ge&0,88&|&-1\\ \Leftrightarrow&-(1-p)^{10}&\ge &-0,12&|&:(-1)~~(<0)\\ \Leftrightarrow&(1-p)^{10}&\le &0,12&|&\sqrt[10]{~~~}\\ \Leftrightarrow&1-p&\le &\sqrt[10]{0,12}\approx0,81&|&-1\\ \Leftrightarrow&-p&\le &-0,19&|&:(-1)~~(<0)\\ \Leftrightarrow&p&\ge &0,19 \end{array}$

  Bei unbekannter Anzahl $s$ der schwarzen Kugeln ist $p=\frac{s}{10}$. So erhältst du $\frac{s}{10}\ge 0,19$. Multiplikation mit $10$ führt zu $s\ge 1,9$. Da die Anzahl der schwarzen Kugeln sicher eine natürliche Zahl ist, erhältst du $s\ge 2$.

  Es müssen sich also mindestens $2$ schwarze Kugeln in der Urne befinden, damit Tim mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $88~\%$ bei $10$-maligem Ziehen mit Zurücklegen mindestens eine schwarze Kugel zieht.