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Mindestwahrscheinlichkeiten

Anzahl der Versuche, Mindestwahrscheinlichkeit, Zufallsexperimente

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Kernidee der Mindestwahrscheinlichkeit

Bei Bernoulli-Versuchen wird häufig die interessante Frage gestellt, wie oft man den Versuch durchführen muss, um mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen. Bevor wir dieser Frage nachgehen, wollen wir zunächst klären, was ein Bernoulli-Versuch ist.

Definition Bernoulli-Versuch

Ein nn-stufiger Bernoulli-Versuch ist ein nn-stufiges Zufallsexperiment, bei dem ein bestimmtes Ereignis (Erfolg, Treffer) eintreten kann oder nicht (Misserfolg, Niete). Dabei ändert sich die Wahrscheinlichkeit pp für das Eintreten eines Ereignisses, die sogenannte Erfolgswahrscheinlichkeit, während der Versuchsreihe nicht. Dies gilt auch für die Misserfolgswahrscheinlichkeit q=1pq = 1– p.

Ein nn-stufiger Bernoulli-Versuch kann 00, 11, 22, ..., nn Erfolge haben. Die Zufallsgröße XX gibt die Anzahl der Erfolge an. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau kk Erfolge bei einem nn-stufigen Bernoulli-Experiment eintreten, beträgt

P(X=k)=(nk)pkqnkP (X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße XX heißt Binomialverteilung.

Beispiel Bernoulli-Versuch

Das Werfen eines Würfels ist der klassische Bernoulli-Versuch. Als Erfolg könnte das Ereignis definiert sein, eine 66 zu würfeln. Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt dann p=16p = \frac16 und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q=1p=56q = 1 – p = \frac56.

Mindestwahrscheinlichkeit und Komplementärregel

Wir stellen uns nun noch einmal die Frage: Wie oft muss ein nn-stufiger Bernoulli-Versuch durchgeführt werden, damit mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit MM mindestens ein Erfolg eintritt?

Diese Frage lässt sich mithilfe der Komplementärregel beantworten, welche die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, also nur Misserfolge, untersucht:

P(X=0)=qnP(X=0) = q^n.

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg beträgt dann

P(X1)=1qnP(X \ge 1) = 1 - q^n.

Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens MM betragen, sodass diese Ungleichung erfüllt sein muss:

P(X1)=1qnMP(X \ge 1) = 1 - q^n \ge M.

Wie wir diese Ungleichung durch Logarithmieren lösen können, wollen wir anhand eines Beispiels verstehen.

Beispiel

Wie oft muss gewürfelt werden, damit mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von M=90%M = 90\% mindestens einmal die Augenzahl 66 auftritt? Gesucht ist also die Anzahl nn der Versuchsdurchführungen.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt p=16p = \frac16, die Misserfolgswahrscheinlichkeit also q=56q = \frac56. Die Wahrscheinlichkeit für 00 Erfolge bei nn Versuchen kann so berechnet werden:

P(X=0)=(56)nP(X=0)=\left( \frac56 \right) ^n.

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg beträgt dann

P(X1)=1(56)nP(X \ge 1) = 1 - \left( \frac56 \right) ^n.

Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens M=90%M = 90\% betragen. Daraus ergibt sich folgende Ungleichung:

P(X1)=1(56)n0,9(56)n0,1P(X \ge 1) = 1 - \left( \frac56 \right)^n \ge 0,9 \Leftrightarrow \left( \frac56 \right) ^n \le 0,1.

Diese Ungleichung wollen wir mithilfe des Logarithmus lösen:

 (56)n0,1nln(56)ln(0,1)nln(0,1)ln(56)12,6\begin{array}{llll} &~& \left( \frac56 \right) ^n & \le 0,1\\ &\Leftrightarrow& n \cdot \ln \left( \frac56 \right) & \le \ln \left(0,1 \right)\\ &\Leftrightarrow& n & \ge \frac{\ln \left(0,1 \right) }{\ln \left( \frac56 \right)} \approx 12,6 \end{array}

Weil ln(56)\ln \left( \frac56 \right) eine negative Zahl ist und wir durch diese dividieren, kehrt sich das Ungleichheitszeichen im letzten Schritt um.

Es muss also mindestens 13-mal gewürfelt werden, damit mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit eine 66 geworfen wird.

Erfolgswahrscheinlichkeit und Sigma-Regeln

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens kk Erfolge bei einem nn-stufigen Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit pp kann durch die Sigma-Regeln abgeschätzt werden.

Dazu benötigen wir den Erwartungswert μ=np \mu = n \cdot p und die Standardabweichung einer Binomialverteilung σ=npq\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}.

Dann treten Ergebnisse

  • oberhalb von μ1,28σ\mu – 1,28 \sigma mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%90\% ein,
  • oberhalb von μ1,64σ\mu – 1,64 \sigma mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%95\% ein,
  • oberhalb von μ2,33σ\mu – 2,33 \sigma mit einer Wahrscheinlichkeit von 99%99\% ein.

Wenn die Sicherheitswahrscheinlichkeiten von 90%90\%, 95%95\% oder 99%99\% und eine Mindestanzahl von kk Erfolgen gegeben sind, kann man den notwendigen Stichprobenumfang nn bereits berechnen.

Betrachten wir dazu ein Beispiel.

Beispiel Erfolgswahrscheinlichkeit und Sigma-Regeln

Für eine repräsentative Umfrage werden 600600 ausgefüllte Fragebögen benötigt, erfahrungsgemäß kommen im Schnitt aber nur 70%70\% der verschickten Fragebogen zurück. Wie viele Fragebogen muss man nun verschicken, um mit 95%95\% Mindestwahrscheinlichkeit 600600 ausgefüllte Fragebogen zu erhalten?

Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist hier p=0,7p = 0,7, der Erwartungswert μ=n0,7\mu = n \cdot 0,7 und die Standardabweichung σ=n0,70,3\sigma = \sqrt{n \cdot 0,7 \cdot 0,3}.

Die Anzahl der verschickten Fragebögen nn muss also diese Ungleichung erfüllen:

μ1,64σ=n0,71,64n0,70,3600\mu - 1,64 \sigma = n \cdot 0,7 - 1,64 \cdot \sqrt{n \cdot 0,7 \cdot 0,3} \ge 600.

Diese Gleichung kann mithilfe der p-q-Formel gelöst werden. Man erhält die Ungleichung n876,525n \ge 876,525. Es müssen also mindestens 877877 Fragebögen verschickt werden.

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