Mit Matrizen lineare Gleichungssysteme lösen – Einführung

Mit Matrizen lineare Gleichungssysteme lösen – Einführung Übung

• Stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix zu dem Gleichungssystem auf.

  Tipps

  Beachte, dass $A\cdot \vec x=\vec b$ gilt. $A$ hat ebensoviele Zeilen wie das Gleichungssystem und so viele Spalten wie die Anzahl der Variablen in dem Gleichungssystem.

  Die Matrix $A$ wird auch als Koeffizientenmatrix bezeichnet.

  Wenn man den Vektor $\vec b$ als vierte Spalte rechts an die Koeffizientenmatrix schreibt, erhält man die erweiterte Koeffizientenmatrix.

  Lösung

  Man kann lineare Gleichungssysteme mit

  • dem Additionsverfahren,
  • dem Einsetzungsverfahren oder
  • dem Gleichsetzungsverfahren lösen.

  Bei jedem dieser Verfahren schreibt man immer wieder die gesamte Gleichung auf. Um mit etwas weniger Schreibaufwand ein solches Gleichungssystem zu lösen, schreibt man dies in der Form

  $A\cdot \vec x=\vec b$.

  Dabei ist

  • $A$ die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems. Sie hat im konkreten Fall drei Zeilen und drei Spalten.
  • $\vec x$ ist der Spaltenvektor mit den Variablen $x$, $y$ und $z$.
  • $\vec b$ ist der Spaltenvektor, welcher die jeweils rechten Seiten der drei Gleichungen beinhaltet.

  Am Beispiel des obigen Gleichungssystems erhält man

  $A=\begin{pmatrix} 2&-3&4 \\ -1&2&-2\\ 0&3&-1 \end{pmatrix}$

  In dieser Matrix befinden sich die Koeffizienten der Variablen in der jeweiligen Zeile. Diese Matrix wird als Koeffizientenmatrix bezeichnet. Außerdem ist

  $\vec x=\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}$

  und

  $\vec b=\begin{pmatrix} 3 \\ -1\\ 2 \end{pmatrix}$

  Wenn man den Vektor $\vec b$ als vierte Spalte rechts an die Koeffizientenmatrix schreibt, erhält man die erweiterte Koeffizientenmatrix:

  $\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 4 & 3 \\ -1 & 2 & -2 & -1\\ 0 & 3& -1 & 2 \end{array}\right)$

• Berechne die Lösung des linearen Gleichungssystems.

  Tipps

  Das Ziel ist es, die Elemente, welche unterhalb der Diagonalen stehen, zu $0$ zu machen.

  Die erweiterte Koeffizientenmatrix soll am Schluss die Form

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& * & * & *\\ 0&1& * & *\\ 0&0& 1&c \end{array}\right)$

  haben.

  Du darfst jede Zeile mit einer beliebigen Zahl, ungleich $0$, multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl, ungleich $0$, dividieren.

  Du darfst zwei beliebige Zeilen addieren oder subtrahieren.

  Solche Umformungen sind elementare Zeilenumformungen. Sie ändern weder die Lösbarkeit noch die Lösung eines Gleichungssystems.

  Lösung

  Mit Hilfe der erweiterten Koeffizientenmatrix

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 2&-3&4&3\\ -1&2&-2&-1\\ 0&3&-1&2 \end{array}\right)$

  kann das lineare Gleichungssystem

  $\begin{array}{rcrcrcc} 2x &-& 3y &+& 4z &=& 3\\ -x &+& 2y &-& 2z &=& -1\\ & & 3y &-& z &=& 2 \end{array}$

  gelöst werden. Hierzu werden zunächst alle Elemente außer dem Diagonalelement in der ersten Spalte durch elementare Zeilenumformungen zu $0$ gemacht.

  Um das erste Element in der zweiten Zeile zu $0$ zu machen, verdoppelt man die zweite Zeile. Dadurch steht an in der ersten Spalte der ersten und zweiten Zeile das gleiche Element, jedoch mit verschiedenen Vorzeichen. Durch Addition der ersten beiden Zeilen erhält man

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 2&-3&4&3\\ 0&1&0&1\\ 0&3&-1&2 \end{array}\right)$

  Die erste Zeile bleibt so stehen. In der dritten Zeile steht an der entsprechenden Stelle bereits eine $0$.

  Nun macht man auch das Element in der zweiten Spalte der dritten Zeile zu $0$. Hierfür addiert man das $-3$-fache der zweiten Zeile zu der dritten. Die ersten beiden Zeilen bleiben stehen:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 2&-3&4&3\\ 0&1&0&1\\ 0&0&-1&-1 \end{array}\right)$

  Diese Matrix besitzt eine obere Dreiecksgestalt. Wenn man noch jede Zeile so durch eine Zahl teilt, dass auf der Diagonalen nur noch Einsen stehen, kann man lösen. (Anmerkung: Man muss diese Division nicht durchführen, sondern kann auch bereits so lösen.)

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 2&-3&4&3\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&1 \end{array}\right)$

  Die letzte Zeile liefert $z=1$.

  Die zweite Zeile führt zu $y=1$.

  In der ersten Zeile können die bereits bekannten Größen eingesetzt werden:

  $\begin{align*} x-\frac32+2&=\frac32&|&-\frac12\\ x&=1. \end{align*}$

• Bestimme die erweiterte Koeffizientenmatrix für das lineare Gleichungssystem.

  Tipps

  Achte auch auf die Vorzeichen.

  Wenn vor der Variablen kein Faktor steht, so kannst du dir da eine $1$ als Faktor denken.

  In der vierten Spalte, hinter dem Strich, stehen die entsprechenden rechten Seiten der Gleichungen.

  Lösung

  Um ein lineares Gleichungssystem mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen von Matrizen zu lösen, muss man zunächst die erweitere Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems aufstellen.

  Diese besteht in den ersten drei Spalten aus den Koeffizienten, d.h. den Faktoren vor den Variablen des Gleichungssystems. Diese sind zum Beispiel in der ersten Zeile $-4$, $1$ und $-2$. Wenn man keinen Faktor vor einer Variablen sehen kann, kann man sich dort eine $1$ vorstellen.

  In der vierten Spalte steht die rechte Seite der Gleichung. Für die erste Gleichung also $-8$.

  Beachte: Die Vorzeichen gehören zu den Koeffizienten dazu.

• Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems.

  Tipps

  Beachte, dass die Zeilen oberhalb der Zeile, in welcher ein Element zu $0$ gemacht werden soll, abgeschrieben werden.

  Die Matrix, welche du jeweils siehst, ist entstanden aus der jeweils vorherigen.

  Um die erweiterte Koeffizientenmatrix in die obere Dreiecksgestalt zu bringen, wendet man elementare Zeilenumformungen an:

  • die Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl, ungleich $0$,
  • die Division einer Zeile durch eine Zahl, ungleich $0$, sowie
  • die Addition oder Subtraktion zweier Zeilen.
  • Dazu gehört auch das Vertauschen zweier Zeilen.

  Lösung

  Man kann ein lineares Gleichungssystem mit der erweiterten Koeffizientenmatrix lösen. Diese bringt man auf eine obere Dreiecksgestalt

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& * & * & *\\ 0&1& * & *\\ 0&0&?& c \end{array}\right)$

  Um dies zu erreichen, wendet man elementare Zeilenumformungen an:

  • die Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl, ungleich $0$,
  • die Division einer Zeile durch eine Zahl, ungleich $0$, sowie
  • die Addition oder Subtraktion zweier Zeilen.
  • Dazu gehört auch das Vertauschen zweier Zeilen.

  Man beginnt mit der erweiterten Koeffizientenmatrix

  $\left( \begin{array}{ccc|c} -4& 1 & -2 & -8\\ 1&1& 1 & 6\\ 2&-1&1& 3 \end{array}\right)$

  Indem man zur ersten Zeile das $4$-fache der zweiten Zeile addiert, erhält man:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} -4& 1 & -2 & -8\\ 0&5& 2 & 16\\ 2&-1&1& 3 \end{array}\right)$

  Nun kann man zu dem Doppelten der dritten Zeile die erste addieren:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} -4& 1 & -2 & -8\\ 0&5& 2 & 16\\ 0&-1&0& -2 \end{array}\right)$

  Die beiden Nullen in der zweiten und dritten Zeile der ersten Spalte sind somit erreicht.

  Die Addition des $5$-fachen der dritten Zeile zu der zweiten Zeile führt zu

  $\left( \begin{array}{ccc|c} -4& 1 & -2 & -8\\ 0&5& 2 & 16\\ 0&0&2& 6 \end{array}\right)$

  Zuletzt wird jede Zeile durch das entsprechende Diagonalelement, von oben nach unten $-4$, $5$ und $2$, dividiert:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -0,25 & 0,5 & 2\\ 0&1& 0,4 & 3,2\\ 0&0&1& 3 \end{array}\right)$

  Die letzte Zeile liefert $z=3$.

  Mit $z=3$ erhält man in der zweiten Zeile $y+0,4\cdot 3=3,2$. Subtraktion von $1,2$ führt zu $y=2$.

  Mit $y=2$ und $z=3$ erhält man in der ersten Zeile $x-0,25\cdot 2+0,5\cdot 3=2$. Subtraktion von $1$ führt zu $x=1$.

• Beschreibe das allgemeine Vorgehen beim Lösen von linearen Gleichungssystem mit Hilfe von Matrizen.

  Tipps

  Du kannst die letzte Zeile der obigen Matrix wieder in eine Gleichung übersetzen. Da steht dann: Irgendetwas mal $z$ ist $c$.

  Setze mal für das Irgendetwas $1$ oder $0$ ein.

  Was fällt dir auf?

  Eine lineares Gleichungssystem kann

  • entweder genau eine,
  • keine oder
  • unendlich viele Lösungen

  besitzen.

  Lösung

  Ganz allgemein geht man beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen wie folgt vor:

  • Man erstellt zu dem linearen Gleichungssystem die erweiterte Koeffizientenmatrix.
  • Mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen bringt man diese in obere Dreiecksgestalt.
  • Mit dieser oberen Dreiecksgestalt kann man durch Rückwärtseinsetzen die Lösung, sofern vorhanden, bestimmen.

  Die obere Dreiecksgestalt sieht wie folgt aus

  $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & * & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & ? & c \end{array}\right)$

  Auf der Diagonalen stehen Einsen. Die Lösbarkeit des Gleichungssystems hängt von der letzten Zeile ab. Dies führt zu der folgenden Unterscheidung:

  • Steht an der Stelle, an welcher sich das Fragezeichen befindet, ebenfalls eine $1$, dann ist $z=c$. Alle übrigen Lösungen erhält man durch Rückwärtseinsetzen: Es existiert somit eine eindeutige Lösung.
  • Steht an der Stelle, an welcher sich das Fragezeichen befindet, eine $0$ und ist $c\neq 0$, dann lautet die letzte Zeile $0=c$. Dies gilt aber für $c\neq 0$ nicht. Das bedeutet, dass keine Lösung existiert.
  • Steht an der Stelle, an welcher sich das Fragezeichen befindet, eine $0$ und ist $c$ ebenfalls $0$, dann lautet die letzte Zeile $0=0$. Dies gilt immer. Das bedeutet, dass unendlich viele Lösungen existieren.

• Entscheide, ob die einzelnen Schritte korrekt sind.

  Tipps

  Führe elementare Zeilenumformungen durch, um die erweiterte Koeffizientenmatrix auf eine obere Dreiecksgestalt zu bringen.

  Durch Addition des $-2$-fachen der ersten Zeile zur zweiten Zeile und dem $-5$-fachen der ersten Zeile zur dritten Zeile bekommt man

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -1 & 1 & 0\\ 0&-1& 1 & 0\\ 0&-2&0& a \end{array}\right)$.

  Du kannst die vorgegebenen Lösungen zur Probe in das Gleichungssystem einsetzen.

  Lösung

  Es soll das Gleichungssystem

  $\begin{array}{rcrcrcc} x &-& y&+&z&=&0\\ 2x&-&3y&+&3z&=&0\\ 5x&-&7y&+&5z&=&a \end{array}$

  gelöst werden. Die zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix lautet

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -1 & 1 & 0\\ 2&-3& 3 & 0\\ 5&-7&5& a \end{array}\right)$

  Durch Addition des $-2$-fachen der ersten Zeile zur zweiten Zeile und dem $-5$-fachen der ersten Zeile zur dritten Zeile bekommt man

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -1 & 1 & 0\\ 0&-1& 1 & 0\\ 0&-2&0& a \end{array}\right)$.

  Nun kann man das $-2$-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile addieren und erhält

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -1 & 1 & 0\\ 0&-1& 1 & 0\\ 0&0&-2& a \end{array}\right)$.

  Indem man jede Zeile durch das Diagonalelement teilt, erhält man die obere Dreieckform mit Einsen auf der Diagonalen

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -1 & 1 & 0\\ 0&1& -1 & 0\\ 0&0&1& -\frac a2 \end{array}\right)$

  mit welcher man rückwärts lösen kann:

  $z=-\frac a{2}$.

  Dieses $z$ kann man in der zweiten Zeile einsetzen und erhält $y-\left( -\frac a{2}\right)=0$ und durch Subtraktion von $\frac a2$: $y=-\frac a2$.

  Einsetzen von $y=-\frac a2$ sowie $z=-\frac a{2}$ in der ersten Zeile führt zu $x+\frac a2-\frac a{2}=0$ bzw. $x=0$.

  Wenn man hier $a=0$ einsetzt, gelangt man zu der eindeutigen Lösung $x=y=z=0$ des obigen Gleichungssystems.