Mittlere Änderungsrate – Mit einem Steigungsdreieck bestimmen

Mittlere Änderungsrate – Mit einem Steigungsdreieck bestimmen Übung

• Beschreibe, was eine mittlere Änderungsrate ist.

  Tipps

  Für spezielle Geraden gilt:

  • Eine Tangente berührt das Objekt (hier: den Graphen) in einem Punkt.
  • Eine Passante verläuft am Objekt vorbei.
  • Eine Sekante schneidet das Objekt in zwei Punkten.

  Achte bei der Subtraktion auf die Reihenfolge.

  Lösung

  Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Sekante. Was bedeutet das?

  Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneidet. Deren Steigung kannst du wie folgt berechnen:

  • Du zeichnest ein Steigungsdreieck ein.
  • In diesem ist die Steigung gegeben als die Differenz der $y$-Koordinaten dividiert durch die Differenz der entsprechenden $x$-Koordinaten der beiden Punkte.

  Für den Monat Dezember bedeutet dies dann: Du kannst die Steigung der Geraden (Sekante), die durch die beiden Punkte $P(47|72000)$ sowie $Q(52|98000)$ verläuft, bestimmen. Achte dabei darauf, dass die Reihenfolge der Subtraktion im Zähler und im Nenner übereinstimmt.

  Du erhältst also ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\overline{PQ}$. Die Katheten haben die Längen $\Delta_y$ (Differenz der $y$-Koordinaten) und $\Delta_x$ (Differenz der $x$-Koordinaten).

  Übrigens steht der griechische Großbuchstabe $\Delta$ (Delta) für „D“ wie Differenz.

  Es ist $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{98000-72000}{52-47}=\frac{26000}{5}=5200$.

  Im Monat Dezember wurden also durchschnittlich $5200~\text{t}$ Lebkuchen pro Kalenderwoche verkauft.

• Bestimme die mittlere Verkaufsmenge an Lebkuchen in den Monaten August bis November.

  Tipps

  Du berechnest jeweils $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}$.

  Dabei ist

  • $\Delta_y$ die Differenz der $y$-Koordinaten und
  • $\Delta_x$ die Differenz der $x$-Koordinaten

  der gegebenen Punkte.

  Achte bei der Subtraktion unbedingt auf die Reihenfolge.

  Schau dir den Monat Dezember mit den Punkten $P(47|72000)$ sowie $Q(52|98000)$ an:

  $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{98000-72000}{52-47}=\frac{26000}{5}=5200$.

  Im Monat Dezember werden somit durchschnittlich $5200~\text{t}$ Lebkuchen pro Kalenderwoche verkauft.

  Lösung

  Um die mittlere Änderungsrate bei einem gegebenen Zusammenhang zu bestimmen, betrachtest du jeweils zwei Punkte. Du berechnest dann die Differenzen der $y$-Koordinaten $(\Delta_y)$ und der $x$-Koordinaten $(\Delta_x)$ dieser Punkte. Schließlich berechnest du den Quotienten aus diesen Differenzen.

  In diesem Beispiel ist der Zusammenhang zwischen der Verkaufsmenge an Lebkuchen in Tonnen sowie der Kalenderwoche gegeben. Dabei ist die $x$-Koordinate die Kalenderwoche und die $y$-Koordinate die bisherige Verkaufsmenge.

  Wir betrachten nun immer Punkte, die den gegebenen Zeitraum sowie die Verkaufsmenge beschreiben.

  August: $L(30|0)$ und $M(34|1000)$

  $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{1000-0}{34-30}=\frac{1000}{4}=250$

  Das bedeutet, dass im Monat August im Schnitt $250~\text{t}$ Lebkuchen pro Kalenderwoche verkauft wurden.

  September: $M(34|1000)$ und $N(39|9000)$

  $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{9000-1000}{39-34}=\frac{8000}{5}=1600$

  Im Monat September sind also im Schnitt $1600~\text{t}$ Lebkuchen pro Kalenderwoche verkauft worden.

  Oktober: $N(39|9000)$ und $O(43|26000)$

  $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{26000-9000}{43-39}=\frac{17000}{4}=4250$

  Im Monat Oktober sind somit im Schnitt $4250~\text{t}$ Lebkuchen pro Kalenderwoche verkauft worden.

  November: $O(43|26000)$ und $P(47|72000)$

  $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{72000-26000}{47-43}=\frac{46000}{4}=11500$

  Du kannst also folgern, dass im Monat November durchschnittlich $11500~\text{t}$ Lebkuchen pro Kalenderwoche verkauft worden sind.

  Im Monat Dezember werden durchschnittlich $5200~\text{t}$ Lebkuchen pro Kalenderwoche verkauft. Das bedeutet, dass im Monat November durchschnittlich am meisten Lebkuchen pro Kalenderwoche verkauft wird.

• Ermittle die mittlere Änderungsrate.

  Tipps

  Teile die Differenz der $y$-Koordinaten der beiden Punkte durch die der $x$-Koordinaten.

  Achte darauf: Wenn du von der $y$-Koordinate des Punktes $Q$ die des Punktes $P$ abziehst, musst du diese Reihenfolge auch bei der Differenz der $x$-Koordinaten beibehalten.

  Die mittlere Änderungsrate ist gegeben als $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}$.

  Lösung

  Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Sekanten, also einer Geraden.

  Du berechnest die mittlere Änderungsrate aus zwei Punkten eines Graphen. Dabei gehst du wie folgt vor:

  • Berechne die Differenz der $y$-Koordinaten. Du erhältst $\Delta_y=5-2=3.$
  • Berechne nun die Differenz der $x$-Koordinaten. Du erhältst $\Delta_x=3-2=1.$

  Die mittlere Änderungsrate ist der Quotient dieser beiden Differenzen:

  $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac31=3$.

• Bestimme zu den jeweils gegebenen Intervallen die mittlere Änderungsrate.

  Tipps

  Betrachte jeweils Punkte auf dem Funktionsgraphen:

  Dabei ist die $x$-Koordinate der linke bzw. der rechte Intervallrand.

  Die $y$-Koordinate erhältst du durch Einsetzen der $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung.

  Schau dir ein Beispiel an:

  $x=1$ führt zu der $y$-Koordinate $y=1^{2}-2\cdot 1+2=1$.

  Das bedeutet, dass der Punkt $(1|1)$ ein Punkt des Funktionsgraphen ist.

  Dies kannst du auch in dem obigen Bild erkennen.

  Du kannst auch so vorgehen: Zeichne jeweils die Sekante in den Funktionsgraphen ein und bestimme die mittlere Änderungsrate mit Hilfe eines Steigungsdreiecks.

  Wenn du die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ auf einem gegebenen Intervall $[a;b]$ ermitteln sollst, verwendest du die folgende Formel:

  $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sollst du zu verschiedenen vorgegebenen Intervallen mittlere Änderungsraten bestimmen. Dies kannst du mit Hilfe eines Steigungsdreiecks machen. Du dividierst die $y$-Koordinaten-Differenz durch die $x$-Koordinaten-Differenz.

  Du verwendest dabei Punkte $(x|f(x))$ auf dem Funktionsgraphen.

  Bei gegebenem Intervall $[a;b]$ kannst du auch die folgende Formel verwenden:

  $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Im Folgenden siehst du jeweils das Intervall und die Berechnung der Steigung.

  • Das Intervall $[{-1};1]$: Du erhältst hier $m=\frac{f(1)-f({-1})}{1-({-1})}=\frac{1-5}2={-2}$.
  • Das Intervall $[{-1};2]$: Hier kommst du zu $m=\frac{f(2)-f({-1})}{2-({-1})}=\frac{2-5}3={-1}$.
  • Das Intervall $[{-1};3]$: Dies führt zu $m=\frac{f(3)-f({-1})}{3-({-1})}=\frac{5-5}4=0$. Die mittlere Änderungsrate kann also auch durchaus $0$ sein.
  • Das Intervall $[0;1]$: Hier erhältst du $m=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{1-2}1={-1}$.
  • Das Intervall $[0;2]$: Dies führt zu $m=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{2-2}2=0$.
  • Das Intervall $[0;3]$: Du erhältst $m=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{5-2}3=1$.

• Gib die anschauliche Bedeutung der mittleren Änderungsrate an.

  Tipps

  Du kannst die mittlere Änderungsrate mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

  • Die grüne Gerade schneidet die blaue Parabel in zwei Punkten. Dies ist ein Sekante.
  • Die rote Gerade berührt die blaue Parabel in einem Punkt. Dies ist eine Tangente.

  Um die mittlere Änderungsrate zu bestimmen, benötigst du zwei Punkte.

  Lösung

  Merke dir: Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Sekante.

  Was bedeutet dies? Wenn du von einem Funktionsgraphen zwei Punkte kennst, kannst du eine Gerade durch diese Punkte zeichnen. Diese Gerade wird als Sekante bezeichnet, da sie den Funktionsgraphen in zwei Punkten schneidet („secare“ aus dem Lateinischen für „schneiden").

  Dies kannst du hier sehen. Die grüne Gerade ist eine Sekante. Du kannst hier die Punkte $(1|0)$ sowie $(3|4)$ erkennen. Die Steigung der Sekante ist die mittlere Änderungsrate der entsprechenden quadratischen Funktion bezüglich des Intervalls $[1;3]$.

  Du berechnest sie wie folgt:

  $m = \frac{4-0}{3-1} = 2$.

  Die Steigung $m$ der Sekanten ist also für das Beispiel $2$.

• Leite die fehlende Intervallgrenze her.

  Tipps

  Auf einem Intervall $[a;b]$ berechnest du die mittlere Änderungsrate bei gegebener Funktion $f$ wie folgt:

  $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Achte bei den Differenzen unbedingt auf die Reihenfolge.

  Die Lösung ist eindeutig.

  Die $pq$-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen $x^2+px+q=0$ lautet:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Lösung

  Gegeben ist die quadratische Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung:

  $f(x)=x^{2}-2x+2$.

  Die mittlere Änderungsrate auf einem Intervall $[a;b]$ ist wie folgt definiert:

  $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Gesucht ist die Intervallgrenze $a$, so dass die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall $[a;3]$ gerade $m=2$ ist.

  Es ist $m=\frac{f(3)-f(a)}{3-a}$.

  Verwende die gegebene Funktionsgleichung. So erhältst du:

  $m=\frac{5-\left(a^2-2a+2\right)}{3-a}=\frac{-a^2+2a+3}{3-a}$.

  Du weißt, dass $m=2$ sein muss. Dies führt zu einer Gleichung, die du zu einer quadratischen Gleichung umformen kannst. Beachte, dass nach Voraussetzung $a\neq 3$ sein soll. Ansonsten ist die obige Division auch nicht möglich.

  $\begin{array}{rclll} \frac{-a^2+2a+3}{3-a}&=&2&|&\cdot\, (3-a)\\ -a^2+2a+3&=&2(3-a)&|&\text{Distributivgesetz}\\ -a^2+2a+3&=&6-2a&|&-6~|~+2a\\ -a^2+4a-3&=&0&|&\cdot ({-1})\\ a^2-4a+3&=&0 \end{array}$

  Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform, die du mit der $pq$-Formel lösen kannst.

  $\begin{array}{rclll} a_{1,2}&=&-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3}\\ &=&2\pm\sqrt{4-3}\\ &=&2\pm1\\ a_1&=&2+1=3\\ a_2&=&2-1=1 \end{array}$

  Dies sind zwar beides Lösungen der quadratischen Gleichung, jedoch löst $a=3$ nicht die Ausgangsgleichung. In dieser gilt $a\neq 3$.

  Damit ist der linke Intervallrand $a=1$ gefunden. Das gesuchte Intervall ist $[1;3]$.