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Null als Exponent

Jede Zahl mit Null im Exponenten ergibt eins. Aber warum ist das so? Erfahre mehr über Potenzen mit Exponent Null und Potenzgesetze. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Null als Exponent
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung zum Video Null als Exponent

Hast du dich schon einmal gefragt, was das Besondere an dem Exponenten Null ist? Oder wie man eine solche Potenz berechnen kann? Du weißt schon, dass man dazu normalerweise Zahlen mehrmals mit sich selbst multipliziert – aber wie soll das mit der Null funktionieren? Genau das erfährst du in diesem Video. Du lernst, welchen Wert jede Potenz mit dem Exponenten Null ergibt und warum das so ist. Außerdem zeigen wir dir, wie du dieses Wissen in komplizierten Rechnungen anwenden kannst.

Grundlagen zum Thema Null als Exponent

Exponent Null – Potenzen berechnen

Wie man Potenzen berechnet, weißt du schon. Das Quadrat einer Zahl ist die Zahl mit sich selbst multipliziert. Die fünfte Potenz einer Zahl ist ein Produkt mit fünf Faktoren, die alle dieselbe vorgegebene Zahl sind. Aber was passiert, wenn eine Null im Exponenten steht? Kann man eine Zahl nullmal mit sich selbst multiplizieren?

Wusstest du schon?
Die Zahl Null als Exponent klingt vielleicht kompliziert, aber sie hat eine ganz einfache und coole Bedeutung: Egal welche Zahl du nimmst, wenn du sie hoch Null setzt, dann ist das Ergebnis immer Eins! Also ist 50=15^0 = 1, 1000=1100^0 = 1 und sogar (1234567)0=1(1234567)^0 = 1.

Aber warum ist das so? Damit wollen wir uns im Folgenden beschäftigen.

Wir betrachten zunächst Potenzen zur Basis 22:
Setzt du 11 als Exponenten, so erhältst du 21=2{2^{1} =2}. Dann geht es weiter mit 22=4{2^{2}=4}, 23=8{2^{3}=8}, 24=16{2^{4}=16} usw. Wächst der Exponent der Potenz um 11, so ändert sich der Wert der Potenz um den Faktor 22. Denn bei einer Potenz der Basis 22 gibt der Exponent an, wie oft die Zahl 22 mit sich selbst multipliziert wird.
Umgekehrt wird der Wert der Potenz durch 22 dividiert, wenn wir den Exponenten um 11 verkleinern:

24:2=232^4 : 2 = 2^{3}

Denn 24=16{2^{4} = 16} und 16:2=8=23{16:2 = 8 = 2^{3}}. Setzen wir die Folge der Potenzen fort, indem wir die Exponenten verkleinern, so erhalten wir 2:2=1{2:2=1}. Da 21=2{2^{1} = 2} ist, muss 20=1{2^{0} = 1} sein. Wir können die Reihe der Potenzen nach links verlängern, indem wir bei jedem Schritt nach links den Exponenten um 11 verkleinern und den Wert der Potenz durch 22 dividieren.

Potenzen von 2 Exponenten bei Multiplikation und Division

Null als Exponent – Potenzgesetze

Für das Rechnen mit Potenzen gelten verschiedene Potenzgesetze.

Dividierst du zwei Potenzen derselben Basis, so musst du die Exponenten subtrahieren:

5753=57  3=54\dfrac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7~-~3} = 5^{4}

Dividierst du eine Potenz durch sich selbst, so erhältst du nach diesem Potenzgesetz eine Potenz mit dem Exponenten 00:

5353=53  3=50\dfrac{5^{3}}{5^{3}} = 5^{3~-~3} = 5^{0}.

Andererseits ist jede Zahl durch sich selbst geteilt stets 11. Es ist also:

  • 5353=1{\dfrac{5^{3}}{5^{3}}=1} und
  • 5353=50{\dfrac{5^{3}}{5^{3}}=5^{0}}.

Demnach muss 50=15^{0}=1 sein.

Wir können diesen Zusammenhang mathematisch auch allgemein formulieren:

Ist x0x \neq 0 eine beliebige Zahl (außer 00) und mm ein beliebiger Exponent, so gilt nach dem Potenzgesetz für die Division von Potenzen gleicher Basis:

1=xmxm=xm  m=x01 = \dfrac{x^m}{x^m} = x^{m~-~m} = x^{0}

Denn einen Bruch, bei dem Zähler und Nenner gleich sind, kannst du stets zu 11 kürzen.

Also gilt für jede Basis x0x \neq 0 das Gesetz über den Exponenten 00:

x0=1x^{0} = 1

Dabei fällt dir vielleicht auf, dass wir den Fall x=0x = 0 ausgeschlossen haben.

Exponent und Basis Null

Wenn wir den Wert einer Potenz berechnen wollen, bei der Exponent und Basis den Wert Null haben, funktioniert die betrachtete Herleitung nicht mehr, da die Division durch Null nicht definiert ist. Es wäre also naheliegend zu vermuten, dass 00=00^0 = 0 ist, da ein Produkt mit Null stets den Wert Null liefert.
Wenn du 000^0 in deinen Taschenrechner eingibst, wird dir dieser allerdings das Ergebnis 11 oder einen „mathematischen Error“ liefern.

Der Wert von 000^0 ist tatsächlich je nach Teilgebiet der Mathematik festgelegt als 11 oder der Ausdruck ist nicht definiert.

Potenzen mit dem Exponenten Null berechnen

Du kannst die Gleichung x0=1x^{0}=1 für jede beliebige Zahl xx anwenden. Setzt du zum Beispiel x=y6{x=y^{6}} ein, so erhältst du:

(y6)0=x0=1\left(y^6\right)^{0} = x^0 =1

Du kannst aber auch die Potenzgesetze verwenden, um den Term auszurechnen. Nach dem Gesetz über die Potenz von Potenzen kannst du die Exponenten multiplizieren und erhältst:

(y6)0=y(6  0)=y0=1\left(y^6\right)^{0} = y^{(6 ~\cdot~ 0)} = y^0 =1

Die Gleichung x0=1x^{0}=1 gilt also auch dann, wenn x=y6x=y^{6} selbst bereits eine Potenz ist.

Betrachten wir ein anderes Beispiel:

(5x2y3)0\left(5x^2y^3\right)^0

Nach dem Gesetz über Null als Exponent ist dieser Term 11. Mit den Potenzgesetzen kannst du nachrechnen, dass das stimmt. Du verwendest zuerst das Gesetz über die Multiplikation von Potenzen, dann das Gesetz über Potenzen von Potenzen und schließlich für jeden einzelnen Term das Gesetz über Null als Exponent:

Potenzgesetz Null als Exponent

Du kannst also für jeden Ausdruck, der mit 00 potenziert wird, die Zahl 11 einsetzen – egal wie kompliziert der Ausdruck ist. Das vereinfacht manche kompliziert aussehenden Rechnungen sehr.

Fehleralarm
Ein häufiger Fehler beim Arbeiten mit Null als Exponent ist die Annahme, dass jede Zahl für die Variable xx wie bei x0x^0 einsetzbar ist. In Wirklichkeit ist die Null im Exponenten für jede Zahl außer der Null definiert. Wenn mit Variablen gearbeitet wird, muss der Fall, dass die Null eingesetzt werden kann, ausgeschlossen werden (x0)(x \neq 0).

Potenzen mit dem Exponenten Null – Übung

Berechne die folgenden Terme um die Anwendung des Exponenten Null zu üben.

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Vorschaubild einer Übung

Ausblick – das lernst du nach Null als Exponent

Als nächstes geht es um Potenzgesetze, ein wichtiger Aspekt in der Mathematik. Vertiefe dein Wissen mit den Lerneinheiten zur Division von Potenzen und zur Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis.

Exponent Null – Zusammenfassung

  • Potenzen mit Exponent Null haben den Wert 11:
    x0=1 x^0 = 1~ für  x0~x \neq 0
  • Begründung durch Verringern des Exponenten:
    x1:x=x0=1x^1 : x = x^0 = 1
  • Begründung durch Potenzgesetz:
    1=xn:xn=xn  n=x01 = x^n : x^n = x^{n ~-~ n} = x^0
  • Die Regel gilt auch in Verbindung mit anderen Potenzgesetzen.

Zusammenfassung Potenzgesetze

Häufig gestellte Fragen zum Thema Null als Exponent

Transkript Null als Exponent

Vaughn, ein griechischer Gelehrter in Ausbildung, befindet sich mitten in seinem täglichen Unterricht. Er weiß schon fast alles über Potenzen, möchte aber noch wissen, was geschieht, wenn man eine Zahl hoch 0 nimmt. Sein Lehrmeister hat ihm erzählt, dass jede Zahl, die nicht 0 ist, und die man hoch 0 rechnet, 1 ergibt. Aber Vaughn ist Wissenschaftler, ein Mann der Logik. Ohne Beweis akzeptiert er eine solche Aussage nicht. Mit ein wenig Logik, ein paar Zahlenmustern und der Hilfe von Potenzgesetzen finden wir mit Vaughn sicher eine Antwort auf die Frage "was ist x hoch 0". Schauen wir uns erst einmal die Potenzen von 2 an. 2 hoch 1 ist 2. 2 hoch 2 ist 4. 2 hoch 3 ist 8. Und 2 hoch 4 ist 16. Erkennst du da in der unteren Zeile unserer Tabelle ein Muster? Während unsere Exponenten von links nach rechts anwachsen, erhöht sich der Wert jeweils um den Faktor 2. Das ergibt Sinn, denn 2 ist die Basis und der Exponent zeigt uns an, wie oft diese Basis mit sich selbst multipliziert wird. Was aber, wenn wir uns von rechts nach links bewegen? Schau, wir gehen jetzt in die entgegengesetzte Richtung der Multiplikation. Deswegen teilen wir jedes Mal durch 2. Setzen wir also unsere Zahlenfolge nach links fort. 2 geteilt durch 2 ist 1. 1 geteilt durch 2 ist 1/2. 1/2 geteilt durch 2 ist 1/4. Jetzt fügen wir noch die Potenzschreibweise hinzu, wobei sich der Exponent mit jedem Schritt nach links um 1 verringert. So erhalten wir 2 hoch 0 2 hoch -1 und 2 hoch -2. Beide Zahlenfolgen zeigen, dass 2 hoch Null Eins ergibt. Soweit scheint der Lehrmeister also recht zu haben. Das eben war allerdings vielleicht nur ein Einzelfall. Wir können aber auch Potenzgesetze für unsere Beweisführung nutzen. Du erinnerst dich vielleicht, dass das Gesetz der Division von Potenzen folgendes besagt: Wenn man zwei Potenzen mit identischer Basis dividiert, muss man die Exponenten subtrahieren. 5 hoch 7' geteilt durch '5 hoch 3' ist zum Beispiel 5 hoch '7 minus 3', also 5 hoch 4. Was ist aber mit folgendem Ausdruck: '5 hoch 3' geteilt durch '5 hoch 3'. Nun, wir wissen ja, dass eine Zahl geteilt durch sich selbst stets 1 ergibt. Und wenn wir das Gesetz für die Division von Potenzen anwenden, können wir 3 minus 3 rechnen und erhalten 5 hoch 0. 5 hoch 0 ergibt also 1. Nutzen wir also die Variable x, um jede Basis ungleich 0 zu repräsentieren und damit das Gesetz der Null als Exponent zu formulieren. Die Variable m steht dann für jeden beliebigen Exponenten. Wie schon gesagt, ergibt jede Zahl geteilt durch sich selbst 1. Wir wenden das Gesetz der Division von Potenzen mit gleicher Basis an, kürzen und sehen, dass jede Zahl ungleich 0 hoch 0 gleich 1 ergibt. Der Lehrmeister hat also Recht und dank unseres Beweises können ihm jetzt auch glauben! Was wir jetzt über Potenzen mit dem Exponenten 0 wissen können wir auf allerlei Ausdrücke anwenden – auch auf solche, für die wir andere Potenzgesetze brauchen. Schauen wir uns folgenden Ausdruck an: y hoch 6, in Klammern, hoch 0. Welches Potenzgesetz erkennst du hier? Laut dem Gesetz für Potenzen von Potenzen können wir die Exponenten multiplizieren. So erhalten wir y hoch 0 gleich 1. Das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten 0 wurde also einmal mehr bestätigt. Jede Zahl ungleich 0 hoch 0 ergibt 1. Okay, was ist aber mit 5x hoch 2 mal y hoch 3, in Klammern, hoch 0? Wir können das mit dem Gesetz der Multiplikation von Potenzen erweitern. Dann multiplizieren wir die Exponenten und wenden das Gesetz für Potenzen von Potenzen an. Wir vereinfachen und sehen, dass am Ende jeder Term aufgrund des Gesetzes für Potenzen mit dem Exponenten Null Eins ergibt. Und damit erhalten wir auch als Endergebnis 1. Wir hätten diese langen Rechnungen aber gar nicht durchführen müssen – denn jede Zahl hoch 0 muss immer 1 ergeben, auch die komplizierten Ausdrücke in den Klammern. Wenn du erkennst, dass sich das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten 0 anwenden lässt, kannst du schneller mit Potenzen rechnen. Fassen wir noch mal zusammen, was wir gelernt haben: Was ist denn nun x hoch 0? Jede Zahl ungleich 0 hoch 0 ergibt 1. Dieses Gesetz trifft zu, ganz egal, welches andere Potenzgesetz noch im Spiel ist. Sei es das Gesetz für Potenzen von Potenzen das für die Multiplikation von Potenzen oder das für die Division von Potenzen. Vaughn hat mit logischen Überlegungen und mit unserer Hilfe das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten 0 bewiesen. Er setzt seine Studien fort und wird schließlich zu einem herausragenden Gelehrten, weil er die Dinge stets hinterfragt und sie mit Logik und Vernunft angeht. Die Leute kommen von nah und fern, um seinen Vorträgen zu lauschen. Er wird sicherlich als einer der Großen in die Geschichte eingehen.

8 Kommentare
  1. I say :-)

    Von Ismail, vor etwa einem Jahr
  2. 🤔Ist ok.

    Von Ismail, vor etwa einem Jahr
  3. Daneschööööööööön

    Von Sakina, vor mehr als 2 Jahren
  4. toll :-)

    Von Patricklausch, vor etwa 4 Jahren
  5. Sehr gutes Video. Einfache verständliche Erklärung.
    Danke

    Von Ma Na Wi, vor mehr als 4 Jahren
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Null als Exponent Übung

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