Partielle Integration mit Sinus- und Cosinustermen

Herzlich willkommen zu dem Video über Partielle Integration mit sin und cos Termen. Da gibt es nämlich ein paar hilfreiche Tipps und Tricks, mit denen man die lösen kann. Zur Erinnerung noch einmal die Formel zur Partiellen Integration.

∫u´(x)×v(x)dx=[u(x)×v(x)]-∫u(x)×v´(x) Und das besondere an der Formel ist ja immer, dass man ein bisschen kreativ sein muss, was ist nun das u´und was das v. Bei uns geht es jetzt um das Ingetral aus cos x × sin x. Und der wesentliche Trick war, dass wir nach dem partiellen Integrieren das Integral das wir suchen einmal zur Gleichung dazu addieren.Also probieren wie es einfach mal mit cos=u´ und sin=v. Da wäre also u(x)=sin x und v´(x)=cos x.  Da kommt in die eckige Klammer u×v, also sin x×sin x und dann -∫u×v`, also sin x×cos x. Und siehe da, da haben wir hinten das gleiche Integral wie das was wir auf der anderen Seite stehen haben, was wir eigentlich ausrechnen wollen. D.h. wenn wir jetzt noch mal partiell integrieren, dann drehen wir uns eigentlich nur im Kreis. Aber, und das ist jetzt der Trick, können wir die Gleichung äquivalent umformen, indem wir eben das Integral einmal zur Gleichung hinzuaddieren. Dann steht also auf der linken Seite 2mal unser Integral und auf der rechten Seite hebt es sich weg, d.h. es bleibt nur der Term von vorne, nämlich sin² x übrig. Und wenn wir die Gleichung noch durch 2 teilen, dann sind wir eigentlich schon fertig. Dann ist also das Integral aus cos x×sin x=½(sin x)²+C. Und der wesentliche Trick war, dass wir nach dem partiellen Integrieren das Intregral das wir suchen einmal zur Gleichung dazu addieren. Als Nächstes versuchen wir uns mal an der ∫sin^2x×cos x. Soll ich hier sin² als u´ nehmen? Ne davon kenn ich die Stammfunktion nicht. Also nehme ich cos als u´ und sin² als v. Dann ist also u(x)=sin x und v´(x) ist die Ableitung von sin², also 2×sin x×cos x. Her mit der Kettenregel. In die eckige Klammer kommt u×v, also sin mal sin²-∫u×v´, also sin x×2×sin x×cos x. Die 2 ziehen wir aus dem Integral raus und dann fassen wir die Terme noch mal etwas zusammen. Da haben wir also vorne sin^3x und dann -2×∫sin^2x×cos x. Aha, da haben wir also wieder genau das Integral, das wir suchen, nur diesmal steht eine 2 davor, also addieren wir es 2mal zu der Gleichung. So, da haben wir also links 3mal das Integral und rechts nur noch sin x³. Das teilen wir noch durch 3 und dann haben wir also ∫sin^2x×cos x=1/3sin^3x+C.   So als Letztes berechnen wir das ∫sin^2x dx, das schreiben wir erstmal als sin x×sin x, damit man deutlicher das Produkt sieht. Und jetzt ist auch egal was ich als u´ und was ich als v wähle, das sind ja sowieso die gleichen Funktionen. Jedenfalls ist dann u(x) die Stammfunktion von sin also -cos x und v´(x) ist die Ableitung, also cos x. So jetzt kommt in die Klammer u×v, also -cos×sin und da ein -∫u×v´ also -cos×cos. So die beiden Minuszeichen hier ergeben zusammen ein +. An dieser Stelle versuchen wir jetzt nochmal partiell zu integrieren. Natürlich mit anderen Funktion u und v. Wobei aber wieder egal ist, welche Funktion welche Rolle übernimmt, da ja beide gleich sind. Dann wäre also das neue u=sin x und das neue v´=-sin x. Der Teil vorne bleibt stehen und wir wenden die Regel auf das hintere Integral an. u×v=sin×cos-∫u×v´, das ist sin x×(-sin x). So, -×- ergibt + und sin×sin ergibt sin². Jetzt sind wir weider soweit, dass wir das gleiche Integral haben wie oben. Wenn wir das Integral aber jetzt von der Gleichung abziehen, damit es auf der rechten Seite wegfällt, dann steht auf der linken Seite eine 0, weil wir ja das Ingetral - das Integral rechnen. Und rechts würde übrigens auch eine 0 stehen, weil -cos×sin+sin×cos=0 ist. Diese Gleichung wäre dann zwar richtig, aber die hilft uns überhaupt nicht weiter. Hier war es also schon falsch, noch ein 2mal partiell zu integrieren. Deswegen gehen wir mal zurück und schreiben diesen Term als cos^2x und da benutzen wir jetzt die Gleichung cos²=1-sin² und ersetzen also den Term im Integral entsprechend. Jetzt können wir die Summenregel anwenden. Die Stammfunktion von 1=x und dann haben wir wieder unser ursprüngliches Integral dastehen und diesmal können wir es wirklich dazu addieren, weil ein - davor steht. Dann krieg ich also auf der linken Seite 2mal das Integral und auf der rechten Seite fällt das Integral weg, dann teile ich die Gleichung noch durch 2 und kriege raus ∫sin^2x=½(x-sin x×cos x)+C. Und die entscheidenden Tricks waren: cos²/1-sin² zu ersetzen und danach das gesuchte Integral wieder zur Gleichung dazu zu addieren. Meistens kommt man mit dem Addierentrick hin, und wenn das nicht reicht, dann braucht man halt noch den anderen. Okay und das wars.