Produktregel – Übung

Produktregel – Übung Übung

• Gib die erste Ableitung der Funktion mithilfe der Produktregel an.

  Tipps

  Potenzen werden folgendermaßen abgeleitet:

  $f(x) = a \cdot x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$

  Beispiel: $f(x)=4x^2+8$ und $f^\prime(x)=8x$

  Im letzten Schritt musst du die Teilfunktionen anhand der Produktregel zusammenbringen.

  Lösung

  Die gegebene Funktion besteht aus zwei Faktoren $u(x)=(3x+7)$ und $v(x)=(2x^2+5x)$, die beide von $x$ abhängen. Somit können wir sie mithilfe der Produktregel ableiten.

  Als erstes ordnen wir die Teilfunktionen $u$ und $v$ zu und leiten sie einzeln ab. Anschließend führen wir die Teilfunktionen mit ihren Ableitungen anhand der Produktregel zusammen, um die Ableitung von $f$ zu erhalten.

  $u(x)=(3x+7)$
  $u^\prime(x)=3$
  $v(x)=(2x^2+5x)$
  $v^\prime(x)=4x+5$

  Korrekte Ableitung:

  $f^\prime(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 3 \cdot (2x^2+5x) + (3x+7) \cdot (4x+5)$

  In einem weiteren Schritt können wir die Funktion weiter zusammenfassen. Das Endergebnis wäre hier

  $f^\prime(x)=18x^2+58x+35$.

• Beschreibe die Produktregel.

  Tipps

  Beispiel: $f(x)= x^2 \cdot (1-x)$ kannst du mit der Produktregel ableiten.

  Beispiel: Die Funktion $f(x)= x^2 + (1-x)$ kannst du nicht mit der Produktregel ableiten.

  Lösung

  Die Produktregel ist eine der Regeln, die wir zur Ableitung von Funktionen benötigen, deren Funktionsterm ein Produkt ist, bei dem beide Faktoren von $x$ abhängen.

  Zuerst müssen wir die einzelnen Faktoren erkennen, anschließend leiten wir sie einzeln ab. Um auf das Ergebnis zu kommen, wenden wir dann die Produktregel an.

  Sie lautet für $f(x) = u(x) \cdot v(x)$:

  $ f^\prime(x) = \color{#99CC00}{\mathbf{u^\prime(x)}} \color{black}{~\cdot~ v(x)~} \color{#99CC00}{\mathbf{+}} \color{#99CC00}{\mathbf{~u(x)}} \color{black}{~\cdot~} \color{#99CC00}{\mathbf{v^\prime(x)}}$

  Das bedeutet, wir multiplizieren zuerst die Ableitung des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor und addieren dann das Produkt des ersten Faktors mit der Ableitung des zweiten Faktors.

• Ermittle die Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Die Produktregel lautet:

  $ \Bigl(u(x) \cdot v(x) \Bigr)^\prime = u^\prime(x) \cdot ~ v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$.

  Brüche können folgendermaßen zu Potenzen umgewandelt werden:

  $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$

  Beispiel: $\dfrac{1}{x^5} = x^{-5}$

  Bei vielen Produkten kann der Term zunächst so vereinfach werden, dass er auch ohne die Produktregel abgeleitet werden kann. Trotzdem ist auch in diesen Fällen eine Ableitung durch Anwendung der Produktregel möglich.

  Lösung

  Bevor wir die Ableitung von $f(x)=x^5 \cdot \frac{1}{x^2}$ bestimmen, betrachten wir zunächst den Funktionsterm genauer.

  Das Produkt $x^5 \cdot \frac{1}{x^2}$ lässt sich beispielsweise mithilfe der Potenzgesetzte zusammenfassen:

  $x^5 \cdot \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3$

  Die Ableitung lässt sich nun direkt mit der Potenzregel bestimmen: $\color{#99CC00}{f^\prime(x) = 3x^2}$

  Da es sich bei $x^5 \cdot \frac{1}{x^2}$ um ein Produkt aus zwei Faktoren handelt, die beide von $x$ abhängen, können wir die Ableitung natürlich auch durch Anwendung der Produktregel bestimmen:

  $f(x)= x^5 \cdot \dfrac{1}{x^2}$ mit

  $u(x)=x^5$
  $v(x)=\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$

  Mit den Ableitungen:

  $u^\prime(x)=5x^4$
  $v^\prime(x)=-2x^{-3}$

  Einsetzten in die Produktregel liefert:

  $\color{#99CC00}{f^\prime(x) = 5x^4 \cdot x^{-2} + x^5 \cdot (-2x^{-3})}$

  Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen erhalten wir ebenfalls $f^\prime(x) = 3x$:

  $\begin{array}{ll} f^\prime(x) &= 5x^4 \cdot x^{-2} + x^5 \cdot (-2x^{-3}) \\ &= 5x^2-2x^2 \\ &= 3x^2 \end{array}$

• Bestimme die Ableitungen mit der Produktregel.

  Tipps

  Die Ableitung von $2e^x$ ist wieder $2e^x$.

  Faktoren, die in mehreren Summanden vorkommen, können wir ausklammern.

  Beispiel:

  $e^x \cdot 3 + e^x \cdot 4 = e^x \cdot (3+4)$

  Die allgemeine Potenzregel lautet:

  $f(x) = a \cdot x^n \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$

  Lösung

  Um mit der Produktregel abzuleiten, müssen die beiden Faktoren von $x$ abhängig sein. Die Produktregel lautet: $ \Bigl(u(x) \cdot v(x) \Bigr)^\prime = u^\prime(x) \cdot ~ v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$.

  Hinweis: Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$.

  Lösung Aufgabe 1:
  $\begin{array}{rl} f(x) &= x^2 \cdot \sin(x) \\ f^\prime(x) &= 2x \cdot \sin(x)+x^2 \cdot \cos(x) \end{array}$

  Lösung Aufgabe 2:
  $\begin{array}{rl} f(x) &= 3e^x \cdot \cos(x) \\ f^\prime(x) &= 3e^x \cdot \cos(x)+3e^x \cdot (-\sin(x)) \\ f^\prime(x) &= 3e^x \cdot ( \cos(x) - \sin(x) ) \end{array}$

  Lösung Aufgabe 3:
  $\begin{array}{rl} f(x) &= x^5 \cdot e^x \\ f^\prime(x) &=5x^4 \cdot e^x + x^5 \cdot e^x \\ f^\prime(x) &= e^x \cdot (5x^4+x^5) \end{array}$

  Lösungen Aufgabe 4:
  $\begin{array}{rl} f(x) &= 2x^3 \cdot 2e^x \\ f^\prime(x) &= 6x^2 \cdot 2e^x + 2x^3 \cdot 2e^x \\ f^\prime(x) &= 2e^x \cdot (6x^2+2x^3) \end{array}$

• Berechne die Ableitungen der Faktoren.

  Tipps

  Potenzen werden folgendermaßen abgeleitet:

  $f(x) = a \cdot x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$

  Beispiel: Die Funktion $f(x)=5x^2+9x$ hat die Ableitung:

  $f^\prime(x)=10x+9$

  Konstante Terme fallen beim Ableiten weg.

  Beispiel: Die Funktion $f(x) = 2x + 5$ hat die Ableitung:

  $f'(x) = 2$

  Lösung

  Die Produktregel ist eine der Regeln, die wir zur Ableitung von Funktionen benötigen. Wenn in einer Funktion beide Faktoren von $x$ abhängen, können wir sie mithilfe der Produktregel ableiten.

  Sie lautet: $\Bigl(u(x) \cdot v(x) \Bigr)^\prime = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$.

  Zuerst musst du die beiden Teilfunktionen $u$ und $v$ identifizieren.
  Bei der Funktion $f(x)= (2x^2+4) \cdot (5x-0{,}75) $ ist

  $u(x)=(2x^2+4)$ und

  $v(x)=(5x-0{,}75)$

  Potenzen werden folgendermaßen abgeleitet:

  $f(x)\, = a \cdot x^n$

  $f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$

  Damit erhalten wir die folgenden Ableitungen der Teilfunktionen:

  $u^\prime(x)=4x$
  $v^\prime(x)=5$

  Für die Ableitung von $f$ setzten wir diese in die Produktregel ein und erhalten:

  $\begin{array}{ll} f^\prime(x) &= 4x \cdot (5x-0{,}75) + (2x^2+4) \cdot 5 \\ &= 20x^2 - 3x + 10x^2 + 20 \\ &= 30x^2 - 3x + 20 \end{array}$

• Berechne die Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Finde die Faktoren und leite sie einzeln ab.

  Auch bei der Ableitung eines Faktors kannst du wieder die verschiedenen Ableitungsregeln verwenden.

  Mithilfe der Potenzgesetze kannst du einen Quotienten als Produkt schreiben:

  $\dfrac{5}{x^2} = 5 \cdot x^{-2}$

  Bruchterme können durch Erweiterung auf einen gemeinsamen Nenner zusammengefasst werden.

  Beispiel:

  $\begin{array}{ll} 2x -7 + \dfrac{5}{x +9} &= \dfrac{(2x - 7) \cdot (x+9)}{x+9} + \dfrac{5}{x+9} \\ &= \dfrac{2x^2 + 18x -7x -63 + 5}{x +9} \\ &= \dfrac{2x^2 + 11x -58}{x+9} \end{array}$

  Lösung

  Wenn wir den Term von $f$ betrachten, sehen wir, dass es sich um ein Produkt von Funktionen handelt:

  $\begin{array}{rcccc} f(x) &=& \underbrace{\dfrac{x^2+3}{(x - 7)^3}} &\cdot& \underbrace{e^x} \\ &=& u(x) &\cdot& v(x) \end{array}$

  Wir können also die Produktregel anwenden. Dazu betrachten wir die Faktoren einzeln:

  $u(x) = \dfrac{x^2+3}{(x - 7)^3} = (x^2+3) \cdot (x-7)^{-3}$

  $\begin{array}{rcl} u^\prime(x) &=& 2x \cdot (x-7)^{-3} + (x^2+3) \cdot (-3) \cdot (x-7)^{-4} \\ &=& (x-7)^{-3} \cdot \left[2x - 3(x^2+3)(x-7)^{-1}\right] \end{array}$

  $v(x) = e^x$

  $v^\prime(x) = e^x$

  Für die Ableitung von $u$ haben wir den Quotienten zunächst mithilfe der Potenzgesetze als Produkt geschrieben und dann die Produktregel angewendet. Hinweis: Hier kannst du auch die Quotientenregel für die Ableitung nutzen.

  Wir bilden nun die Ableitung von $f$, indem wir in die Produktregel einsetzen und zusammenfassen:

  $\begin{array}{rcl} f^\prime(x) &=& u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x) \\ \\ &=& (x-7)^{-3} \cdot [2x - 3(x^2+3)(x-7)^{-1}] \cdot e^x + (x^2+3) \cdot (x-7)^{-3} \cdot e^x \\ \\ &=& (x-7)^{-3} \cdot e^x \cdot \left[2x - 3(x^2+3)(x-7)^{-1} +x^2 +3\right] \\ \\ &=& (x-7)^{-3} \cdot e^x \cdot \left[x^2 + 2x + 3 - (3x^2+9)(x-7)^{-1} \right] \\ \\ &=& \dfrac{e^x}{(x-7)^3} \cdot \left[\dfrac{(x^2 + 2x +3) \cdot(x-7)}{x-7} - \dfrac{3x^2+9}{x-7}\right] \\ \\ &=& \dfrac{e^x}{(x-7)^3} \cdot \left[\dfrac{x^3 -7x^2 + 2x^2 -14x +3x -21}{x-7} - \dfrac{3x^2+9}{x-7}\right] \\ \\ &=& \dfrac{e^x}{(x-7)^3} \cdot \left[\dfrac{x^3 -5x^2 -11x -21 -(3x^2+9)}{x-7}\right] \\ \\ &=& \dfrac{e^x}{(x-7)^3} \cdot \left[\dfrac{x^3 -8x^2 -11x -30}{x-7}\right] \\ \\ &=& \dfrac{x^3 - 8x^2 - 11x - 30}{(x - 7)^4}~e^x \end{array}$

  Durch Erweiterung auf den Hauptnenner $(x-7)$ können wir die Terme in der Klammer zu einem Bruch zusammenfassen und mit dem Vorfaktor verrechnen.

  Wir erhalten für die erste Ableitung von $f$:

  $f^\prime(x) = \dfrac{x^3 - \color{#99CC00}{8}\color{black}{x^2} \color{#99CC00}{~-~ 11}\color{black}{x} \color{#99CC00}{~-~ 30}}{(x - 7)^\color{#99CC00}{4}}~e^\color{#99CC00}{x}$