Punktspiegelung im Koordinatensystem

Punktspiegelung im Koordinatensystem Übung

• Benenne die gespiegelten Punkte und das Spiegelzentrum.

  Tipps

  Der Punkt $A'$ ist der am Spiegelzentrum gespiegelte Bildpunkt von $A$.

  Bei einer Spiegelung am Punkt $(0|0)$ haben die gespiegelten Punkte die negativen Koordinaten der Ursprungspunkte.

  Für einen weiteren Punkt $E(2|3)$ wäre der gespiegelte Punkt $E'(-2|-3)$.

  Lösung

  Bei einer Punktspiegelung trägst du jeden Punkt auf der anderen Seite des Spiegelzentrums ab. Jeder gespiegelte Punkt hat denselben Abstand vom Spiegelzentrum wie sein Ursprungspunkt. In dem Bild hier ist $(0|0)$ das Spiegelzentrum. Du kannst ein Geodreieck an den Punkt $A$ und den Punkt $(0|0)$ anlegen, um den Abstand zwischen $A$ und $(0|0)$ von $(0|0)$ aus nach links unten abzutragen.

  Im Koordinatensystem kannst du die Koordinaten der gespiegelten Punkte aber auch direkt ausrechnen. Ist das Spiegelzentrum $Z$ der Punkt $(0|0)$, so sind die Koordinaten der gespiegelten Punkte die Gegenzahlen der Koordinaten der Ursprungspunkte. Der Punkt $A'$ im Bild hier hat also die Koordinaten $(-5|-4)$, denn der Punkt $A$ hat die Koordinaten $(5|4)$.

  Du findest das Spiegelzentrum auch, wenn du dir statt der Spiegelung eine Drehung um $180^\circ$ vorstellst: Das Spiegelzentrum ist der Mittelpunkt, um den herum die Figur gedreht ist. Du kannst das Spiegelzentrum mit $Z$ bezeichnen. Im Bild ist das Spiegelzentrum der Punkt $Z(0|0)$.

  Für die Punkte in der Aufgabe oben findest du die gespiegelten Punkte, indem du jeweils die Koordinaten der Ursprungspunkte durch ihre Gegenzahlen ersetzt:

  • $A'(2|0)$
  • $B'(-1|3)$
  • $C'(-5|-1)$
  • $D'(-2|-4)$

• Gib die Koordinaten der gespiegelten Punkte an.

  Tipps

  Bei einer Spiegelung an $(0|0)$ haben die Koordinaten der Punkte und die Koordinaten der Spiegelbilder dieselben Beträge, aber verschiedene Vorzeichen.

  Der gespiegelte Punkt eines gespiegelten Punktes ist wieder der Ursprungspunkt.

  Die Spiegelpunkt zu $(-2|-3)$ ist $(2|3)$.

  Lösung

  Ein Punkt und sein Spiegelbild liegen immer auf einer Geraden durch das Spiegelzentrum und haben den gleichen Abstand zum Spiegelzentrum. Bei einer Spiegelung im Koordinatensystem mit Spiegelzentrum $(0|0)$ haben die gespiegelten Punkte als Koordinaten die Gegenzahlen der Koordinaten der Ursprungspunkte. Die Gegenzahl einer negativen Zahl ist die zugehörige positive Zahl, und die Gegenzahl von $0$ ist ebenfalls $0$. So findest du folgende Paare gespiegelter Punkte:

  • $(9|8)$ wird gespiegelt zu $(-9|-8)$.
  • $(-1|3)$ hat den Spiegelpunkt $(1|-3)$.
  • Das Spiegelbild von $(5|4)$ ist $(-5|-4)$.
  • $(8|1)$ wird gespiegelt zu $(-8|-1)$.
  • Der Punkt $(-12|-4)$ wird zu $(12|4)$ gespiegelt.

• Erschließe die Spiegelbilder.

  Tipps

  Die $x$-Koordinate des gespiegelten Punktes ist das Negative der $x$-Koordinate des ungespiegelten Punktes.

  Eine Punktspiegelung entspricht einer Drehung um $180^\circ$.

  Hier im Bild siehst du ein Dreieck und seine Punktspiegelung am Punkt $(0|0)$.

  Lösung

  Im Bild siehst du exemplarisch ein Fünfeck von oben und seine Spiegelung an $(0|0)$ in einem gemeinsamen Koordinatensystem. Du findest die Koordinaten jedes gespiegelten Punktes, indem du die Koordinaten der Ursprungspunkte durch ihre Gegenzahlen ersetzt. Dem Punkt $A (8|9)$ entspricht so der Punkt $A'(-8|-9)$ usw.

  Für die Zuordnung der Spiegelbilder zu den Figuren kannst du dich zuerst grob an der Zahl der Eckpunkte orientieren: Das Spiegelbild hat immer die gleiche Anzahl Eckpunkte wie die Ursprungsfigur. In dieser Aufgabe kommen nur Fünfecke vor, sodass dir diese grobe Unterscheidung nicht hilft. Als nächstes kannst du nach der Lage der Fünfecke im Koordinatensystem schauen: Liegt die Ursprungsfigur oben rechts, so liegt das Spiegelbild unter einer Punktspiegelung an $(0|0)$ unten links im Koordinatensystem. Außerdem haben eine Figur und ihr Spiegelbild unter einer Punktspiegelung stets dieselbe Orientierung.

• Erstelle die Punktspiegelung.

  Tipps

  Das Spiegelbild eines Dreiecks ist wieder ein Dreieck.

  Die Seiten der gespiegelten Vielecke haben dieselben Längen wie die Seiten der ursprünglichen Vielecke.

  Lösung

  Im Koordinatensystem findest du bei einer Punktspiegelung an $(0|0)$ die Koordinaten der gespiegelten Punkte, indem du die Koordinaten der ungespiegelten Punkte durch ihre Gegenzahlen ersetzt. Zur Kontrolle kannst du auch die Form bzw. die Längen und Winkel der gespiegelten Figur jeweils mit der ungespiegelten Figur vergleichen. Die Figuren sind kongruent zueinander, sie haben daher dieselbe Anzahl an Eckpunkten und dieselben Abstände zwischen den Eckpunkten. Dasselbe gilt für die Abstände der Eckpunkte jeweils in $x$- bzw. in $y$-Richtung.

  Im Bild hier siehst du das gelbe Sechseck und sein Spiegelbild.

  Die gespiegelten Figuren haben die folgenden Koordinaten:

  Viereck:

  • $(2,3)$
  • $(-5,2)$
  • $(-3,-6)$
  • $(1,-5)$

  Fünfeck:

  • $(-6,-1)$
  • $(-9,-4)$
  • $(-6,-6)$
  • $(-7,-10)$
  • $(-1,-7)$

  Sechseck:

  • $(-1,-4)$
  • $(3,-8)$
  • $(6,-5)$
  • $(10,-6)$
  • $(9,2)$
  • $(4,-3)$

• Gib die korrekt gespiegelten Figuren an.

  Tipps

  Das Spiegelbild eines Vielecks hat dieselbe Anzahl an Eckpunkten wie die Ursprungsfigur.

  Diese beiden Figuren sind deckungsgleich, aber nicht Punktspiegelungen voneinander, sondern gegeneinander parallel verschoben.

  Lösung

  Eine Punktspiegelung um ein Spiegelzentrum $Z$ entspricht einer Drehung um $180^\circ$ um das Drehzentrum $Z$. Jede Figur und ihr Spiegelbild unter einer Punktspiegelung sind zueinander kongruent. Insbesondere haben sie dieselbe Anzahl an Eckpunkten. Anders als bei einer Achsenspiegelung wird bei einer Punktspiegelung auch die Orientierung der Figur erhalten.

  Im Bild siehst du in der oberen Reihe die Paare von Figuren, die Punktspiegelungen voneinander sind, jeweils mit dem Spiegelzentrum.

  In der unteren Reihe siehst du Paare von Figuren, die nicht Punktspiegelungen voneinander sind: Die beiden Figuren links haben nicht dieselbe Orientierung, sind aber zueinander kongruent. Sie sind Achsenspiegelungen voneinander an der eingezeichneten Spiegelachse. Die beiden mittleren Figuren sind um $90^\circ$ gegeneinander verdreht. Eine Punktspiegelung entspricht aber einer Drehung um $180^\circ$. Rechts im Bild siehst du ein Siebeneck und ein Achteck. Die beiden Figuren sind nicht kongruent zueinander. Sie sind also insbesondere keine Spiegelbilder voneinander.

• Analysiere die Aussagen über Punktspiegelungen.

  Tipps

  Eine Drehung verändert die Orientierung einer Figur nicht.

  Wenn du Figuren im Koordinatensystem veränderst, um zum Beispiel eine Achsenspiegelung durchzuführen, musst du diese Veränderung danach auch wieder rückgängig machen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Liegt das Spiegelzentrum im Inneren der zu spiegelnden Figur, so liegt es auch im Inneren der gespiegelten Figur.“ Bei der Spiegelung wird jeder Punkt einer Figur auf die andere Seite des Spiegelzentrums abgebildet. Umgeben die Punkte der Ursprungsfigur das Spiegelzentrum, so gilt dasselbe für die gespiegelten Punkte.

  • „Ist das Spiegelzentrum ein Punkt der zu spiegelnden Figur, so ist dieser Punkt mit dem gespiegelten Punkt identisch.“ Das Spiegelzentrum ist der einzige Punkt, der bei einer Punktspiegelung nicht verändert wird. Gehört dieser Punkt zu einer zu spiegelnden Figur, so wird er als einziger Punkt der Figur bei der Spiegelung nicht verändert.

  • „Ist ein Punkt mit dem gespiegelten Punkt identisch, so handelt es sich um das Zentrum der Punktspiegelung.“ Denn der einzige Punkt, der bei einer Punktspiegelung mit seinem Spiegelbild identisch ist, ist das Spiegelzentrum.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Um die Punktspiegelung an einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem durchzuführen, kannst du alle Punkte der Figur und das Spiegelzentrum so verschieben, dass das Spiegelzentrum $(0|0)$ wird, und die Punktspiegelung dann ausführen. So erhältst du das Spiegelbild.“ Die Idee, das Spiegelzentrum zu verschieben, ist gut. Du darfst aber nicht vergessen, nach der Spiegelung die gespiegelte Figur wieder in der entgegengesetzten Richtung zu verschieben.

  • „Die Orientierung einer Figur wird unter einer Punktspiegelung vertauscht.“ Eine Punktspiegelung entspricht einer Drehung um $180^\circ$. Bei einer Drehung bleibt die Orientierung erhalten. Dagegen wird bei einer Achsenspiegelung die Orientierung einer Figur geändert.

  • „Führst du nacheinander zwei Punktspiegelungen durch, so erhältst du wieder die ursprüngliche Figur.“ Das gilt nur, wenn du bei beiden Punktspiegelungen dasselbe Spiegelzentrum verwendest.