Quotientenregel – Beispiele mit gebrochenrationalen Funktionen

Quotientenregel – Beispiele mit gebrochenrationalen Funktionen Übung

• Bestimme den Definitionsbereich der Funktion.

  Tipps

  Verwende die 2. binomische Formel

  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

  zur Umformung des Nenners.

  Eine Quotientenfunktion ist nicht definiert, wenn der Nenner $0$ wird.

  Anders ausgedrückt: Die Nennernullstellen müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

  Der Definitionsbereich ist in zwei verschiedenen Schreibweisen angegeben.

  Lösung

  Um den Definitionsbereich der Funktion

  $f(x)=\frac{3x^2}{9x^2-18x+9}$

  zu bestimmen, könnten mit Hilfe der p-q-Formel die Nennernullstellen berechnet werden. Bei genauerem Hinsehen kann man erkennen, dass sich im Nenner die 2. binomische Formel verbirgt.

  $9x^2-18+9=(3x-3)^2$.

  In dieser faktorisierten Schreibweise ist die Nullstelle des Nenners ablesbar. Diese ist $x=1$.

  Somit ist der Definitionsbereich dieser Funktion

  $\mathbb{D}_f=\{x\in\mathbb{R}|x \neq1\}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

• Berechne die erste Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Verwende die Quotientenregel:

  $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.

  Die Nennerfunktion kann mit der Kettenregel

  $(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$

  abgeleitet werden.

  Die innere Funktion der Nennerfunktion ist $3x-3$ und die äußere ist das Quadrieren.

  Lösung

  Gegeben sei die Funktion

  $f(x)=\frac{3x^2}{(3x-3)^2}$.

  Diese soll abgeleitet werden. Um die Quotientenregel

  $\large{\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}}$

  anzuwenden, müssen Zähler und Nenner abgeleitet werden:

  • $u(x)=3x^2$,
  • $u'(x)=6x$,
  • $v(x)=(3x-3)^2$, dies ist eine verkettete Funktion. Deshalb wird zur Ableitung die Kettenregel verwendet, wobei $3x-3$ die innere Funktion ist und das Quadrieren die äußere:
  • $v'(x)=2(3x-3)\cdot 3=6(3x-3)$.

  Nun kann die Quotientenregel angewendet werden:

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac{6x\cdot (3x-3)^2-3x^2\cdot 6(3x-3)}{(3x-3)^4}\\ &=\frac{(3x-3)\cdot(6x\cdot (3x-3)-18x^2)}{(3x-3)^4}\\ &=\frac{6x\cdot (3x-3)-18x^2}{(3x-3)^3}\\ &=\frac{18x^2-18-18x^2}{(3x-3)^3}\\ &=-\frac{18}{(3x-3)^3}. \end{align*}$

• Leite die gebrochen rationale Funktion einmal ab und vereinfache so weit als möglich.

  Tipps

  Verwende die Quotientenregel

  $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

  Die Ableitung des Nenners ist gegeben durch $2x$.

  Der Nenner wird nicht ausmultipliziert.

  Lösung

  Gegeben ist die Funktion

  $f(x)=\frac{3x-2}{x^2+1}$

  mit $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$.

  Um diese Funktion abzuleiten, wird die Quotientenregel verwendet:

  $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

  In diesem Beispiel ist

  • $u(x)=3x-2$ und $u'(x)=3$ sowie
  • $v(x)=x^2+1$ und $v'(x)=2x$.

  Nun kann die Quotientenregel angewendet werden:

  $f'(x)=\frac{3(x^2+1)-(3x-2)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$.

  Im Zähler können die Klammer ausmultipliziert und Terme mit gleicher Variable und Exponenten zusammengefasst werden:

  $f'(x)=\frac{3x^2+3-6x^2+4x}{(x^2+1)^2}=\frac{-3x^2+4x+3}{(x^2+1)^2}$.

  Im Nenner könnte sicher das Quadrat mit der 1. binomischen Formel ausgerechnet werden. Dies bringt jedoch nichts.

• Entscheide, welche der Ableitungen richtig ist.

  Tipps

  Verwende die Quotientenregel:

  $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

  Vereinfache jeweils die Ableitung so weit als möglich.

  Achte darauf, dass die Reihenfolge im Zähler wichtig ist.

  Es sind zwei Ableitungen richtig.

  Lösung

  Bei jeder der folgenden Funktionen wird die Quotientenregel angewendet:

  $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

  • $f(x)=\frac{2x}{(x-1)^2}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$:

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2(x-1)^2-2x\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}\\ &=\frac{2(x-1)-4x}{(x-1)^3}\\ &=\frac{-2x-2}{(x-1)^3}. \end{align*}$

  • $f(x)=\frac{2x^2-1}{x}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$:

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac{4x\cdot x-(2x^2-1)\cdot 1}{x^2}\\ &=\frac{2x^2+1}{x^2}. \end{align*}$

  • $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$:

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x\cdot(x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{4x}{(x^2+1)^2}. \end{align*}$

  • $f(x)=\frac{x^2}{(x+1)^3}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$:

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x\cdot(x+1)^3-x^2\cdot3\cdot(x+1)^2}{(x+1)^6}\\ &=\frac{2x\cdot(x+1)-3x^2}{(x+1)^4}\\ &=\frac{-x^2+2x}{(x+1)^4}. \end{align*}$

• Ergänze die Erklärung zur Quotientenregel.

  Tipps

  Der Definitionsbereich einer Funktion gibt an, für welche $x$ die Funktion definiert ist.

  Der Wertebereich beinhaltet alle Funktionswerte, welche durch die Funktion angenommen werden.

  Du kannst dir die Quotientenregel in Worten behalten:

  „... Ableitung des Zählers mal den Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch Nenner im Quadrat.“

  Lösung

  Um die Quotientenregel auf die Funktion

  $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

  anwenden zu können, müssen

  • $u$ und $v$ auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbare Funktionen und
  • $v$ im gesamten Definitionsbereich ungleich $0$ sein.

  Dann ist:

  $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

• Gib die erste Ableitung so weit als möglich vereinfacht an.

  Tipps

  Die Ableitung des Nenners ist gegeben durch

  $\left((x-c)^n\right)'=n\cdot (x-c)^{n-1}$.

  Der Faktor $(x-c)^{n-1}$ kann gekürzt werden.

  Lösung

  Bei der Funktion

  $f(x)=\frac{ax+b}{(x-c)^n}$

  mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{c\}$ ist

  • die Ableitung des Zählers $(ax+b)'=a$ und
  • die des Nenners $\left((x-c)^n\right)'=n\cdot (x-c)^{n-1}$.

  Nun kann die Quotientenregel zur Ableitung der Funktion verwendet werden:

  $f'(x)=\frac{a\cdot (x-c)^n-(ax+b)\cdot n\cdot (x-c)^{n-1}}{x^2n}$.

  Der Faktor $(x-c)^{n-1}$ steht sowohl im Minuenden als auch im Subtrahenden und kann deshalb gekürzt werden:

  $f'(x)=\frac{a\cdot (x-c)-(ax+b)\cdot n}{(x-c)^{n+1}}$.

  Nun können noch die Klammern ausmultipliziert und die Terme zusammengefasst werden zu

  $f'(x)=\frac{a\cdot x-a\cdot c-a\cdot n\cdot x-b\cdot n}{(x-c)^{n+1}}=\frac{a\cdot (1-n)\cdot x-a\cdot c-b\cdot n}{(x-c)^{n+1}}$.

  Der Nenner bleibt in der Potenzschreibweise stehen.

  Allgemein kann festgestellt werden, dass durch Kürzen immer erreicht werden kann, dass der Nennerexponent um $1$ größer wird.