Rechnen mit Längeneinheiten

Rechnen mit Längeneinheiten Übung

• Gib die Maßeinheiten an.

  Tipps

  Beispiel: $4,\!5~\text{cm} = 45\text{mm}$

  Willst Du Angaben in $\text{km}$ und Angaben in $\text{m}$ zusammenrechnen, so kannst Du z. B. für beide Angaben die Einheit $\text{m}$ wählen.

  Lösung

  Morten hat zwei verschiedene Haarwuchsmittel zur Auswahl: "Magic Max" verspricht ein baldiges Haarwachstum um $45~\text{mm}$, das sind umgerechnet $4,\!5~\text{cm}$. Das Produkt "Fairy Hair" lässt ein Wachstum um $0,\!59~\text{m}$ erwarten, das ist dasselbe wie $5,\!9~\text{dm}$ oder auch $59~\text{cm}$. Morten will diese Längen addieren. Dazu muss er sie zuerst in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

• Gib an, wie man die Längeneinheiten umrechnet.

  Tipps

  In der Einheitentafel steht die $2$ von $2,\!34~\text{km}$ in der $\text{km}$-Spalte.

  Die Hälfte von $2,\!34~\text{km}$ sind $1,\!17~\text{km}$.

  Um Längenangaben in verschiedenen Einheiten zu addieren oder zu subtrahieren, musst du sie zuerst in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

  Lösung

  Folgende Sätze hat sich Morten richtig gemerkt:

  • „$59~\text{cm}$ ist dasselbe wie $0,\!59~\text{m}$.“

  • „Beim Aufteilen einer Länge bleibt die Einheit erhalten, nur die Zahl wird geteilt.“

  • „Das Fünffache von $3,\!6~\text{km}$ sind $18~\text{km}$.“

  • „Zieht man von $1,\!925017~\text{km}$ noch $6\,894~\text{mm}$ ab, so bleiben noch $1\,918,\!123~\text{m}$ übrig.“

  Bei diesen Merksätzen liegt Morten falsch:

  • „Zum Eintragen von Längenangaben in die Einheitentafel orientiert man sich an der kleinsten Stelle.“ Tatsächlich orientiert man sich immer an der Einerstelle und trägt diese in die Spalte der jeweiligen Einheit ein.

  • „Das Doppelte von $9~\text{dm}$ sind $18~\text{dm}^2$.“ Die Maßzahl stimmt, aber die Einheit nicht: Korrekt wäre $18~\text{dm}$.

  • „$1,\!925017~\text{km}$ sind dasselbe wie $1\,925,\!017~\text{dm}$.“ Hier steht das Komma an der falschen Stelle. Ein Blick in die Einheitentafel zeigt: Der $\text{km}$-Angabe entsprechen $1\,925,\!017~\text{m}$ oder $19\,250,\!17~\text{dm}$.

• Erschließe die Längen und Maßeinheiten.

  Tipps

  Bringe die Längenangaben zuerst auf eine gemeinsame Einheit, bevor du sie miteinander verrechnest.

  $65,\!4~\text{dm}$ sind $1\,028~\text{mm}$ weniger als $756,\!8~\text{cm}$, denn $654~\text{dm} = 65\,400~\text{mm}$ und $756,\!8~\text{cm} = 7\,568~\text{mm}$.

  Beim Verfielfachen oder Aufteilen einer Länge ändert sich die Maßeinheit nicht.

  Lösung

  Morten hat mit seinen Haaren viel zu rechnen:

  Addition und Subtraktion:

  Die Summe der Längen der beiden ersten Zöpfe beträgt:

  $6,\!84~\text{dm} + 7,\!02~\text{dm} = 13,\!86~\text{dm}$

  Für den zweiten und dritten kommt Morten auf:

  $70,\!2~\text{cm} + 51,\!1~\text{cm} =121,\!3~\text{cm}$.

  Die Längendifferenz zwischen dem ersten und dritten Zopf beträgt:

  $6,\!84~\text{dm} - 5,\!11~\text{dm} = 1,\!73~\text{dm}$.

  Zwischen dem zweiten und dem ersten Zopf liegen:

  $702~\text{mm} - 684~\text{mm} = 18~\text{mm}$

  Der zweite Zopf ist länger als der dritte, und zwar um die folgende Länge:

  $702~\text{mm} - 511~\text{mm} = 191~\text{mm}$

  Um auszurechnen, wieviel der dritte kürzer ist als die beiden ersten zusammen, subtrahieren wir:

  $13,\!86~\text{dm} - 5,\!11~\text{dm} = 8,\!75~\text{dm}$

  Division:

  Morten teilt die aktuelle Länge von $12,\!6~\text{dm}$ in sechs gleiche Teile :

  $12,\!6~\text{cm} : 6 = 2,\!1~\text{dm} = 21~\text{cm}$.

  Jeden dieser Abschnitte teilt er noch einmal in drei gleich lange Teile:

  $21~\text{cm} : 3 = 7~\text{cm} = 70~\text{mm}$

  Multiplikation:

  In drei Wochen verkauft Morten das Dreifache der Pferdeschwanzlänge einer Woche:

  $3 \cdot 11,\!7~\text{dm} = 3 \cdot 117~\text{cm} =351~\text{cm}$

  Innerhalb eines Quartals verkauft er viermal so viel wie in drei Wochen oder zwölfmal so viel wie in einer Woche:

  $4 \cdot 351~\text{cm} = 12 \cdot 117~\text{cm} = 1\,404~\text{cm} = 14,\!04~\text{m}$

• Vergleiche die Längen.

  Tipps

  Trage die Zahlen in eine Einheitentafel ein und führe dann die Additionen und Subtraktionen durch.

  $87,\!654~\text{dm} - 123,\!4~\text{cm}$ ist dasselbe wie:

  $876,\!54~\text{cm} - 123,\!4~\text{cm} = 751,\!4\text{cm} = 7,\!514~\text{m}$

  Lösung

  Um die Aufgabe zu lösen, kannst du die Additionen und Subtraktionen mittels einer Einheitentafel durchführen. Du kommst dann auf folgende Zuordnung:

  $\begin{array}{ll} 123,\!45~\text{cm} &= 1\,200~\text{mm} + 0,\!345\text{dm} \\ &= 1,\!034~\text{m} + 2,\!005~\text{dm} \\ &= 1,\!89~\text{m} - 655,\!5~\text{mm} \end{array}$

  $\,$

  $\begin{array}{ll} 1\,234,\!5~\text{cm} &= 189,\!45~\text{dm} - 6,\!6~\text{m} \\ &= 21,\!354~\text{m} - 900,\!9~\text{cm} \\ &= 103,\!4~\text{dm} + 2\,005~\text{mm} \end{array}$

  $\,$

  $\begin{array}{ll} 56,\!789~\text{dm} &= 9,\!9999~\text{m} - 4\,321~\text{mm} \\ &= 5,\!0709~\text{m} + 608~\text{mm} \\ &= 6\,809~\text{mm} - 113,\!01~\text{cm} \end{array}$

  $\,$

  $\begin{array}{ll} 0,\!56789~\text{km} &= 628,\!69~\text{m} - 608~\text{dm} \\ &= 99\,999~\text{cm} - 4\,321~\text{dm}\\ &= 68\,090~\text{cm} - 1\,130,\!1~\text{dm} \end{array}$

• Berechne die Längen.

  Tipps

  Das $\text{k}$ in $\text{km}$ steht für Tausend.

  Ein Zentimeter ist der Hundertste Teil eines Meters.

  $10~\text{cm}$ sind dasselbe wie $1~\text{dm}$.

  Lösung

  Zum Umrechnen der Einheiten ist die Einheitentafel nützlich. Indem du die angegebenen Größen dort einträgst, kannst du die Umrechnung direkt ablesen. Beim Eintragen musst du dich immer an der Einerstelle orientieren: Sie gehört in die Spalte der angegebenen Einheit.

  Du erhältst dann folgende Zuordnung:

  • $10~\text{mm} = 1~\text{cm}$

  • $10~\text{dm} = 1~\text{m}$

  • $10~\text{km} = 10\,000~\text{m}$

  • $100~\text{mm} = 1~\text{dm}$

  • $100~\text{dm} = 1\,000~\text{cm}$

• Analysiere die Längenangaben.

  Tipps

  Rechne die verschiedenen Größen genau nach und vergleiche sie. Dazu musst Du die Längenangaben in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

  Lösung

  Diese Beschreibungen sind richtig:

  • Claudia hat je sieben Hin- und Rückfahrten zum See, das macht $14 \cdot 0,\!328~\text{km} = 4,\!592~\text{km}$. Hinzu kommen je drei Hin- und Rückfahrten zu ihren Großeltern, also $6 \cdot 0,\!5812~\text{km} = 3,\!4872~\text{km}$. Zusammen mit der Rundfahrt kommt sie auf $4,\!592~\text{km} + 3,\!4872~\text{km} + 12,\!06~\text{km} = 20,\!1392~\text{km}$.

  • Erkan, Samuel und Dimitri addieren ihre Körpergrößen. Als Vergleichsgröße dient Samuel: Das Dreifache von Samuels $133~\text{cm}$ sind $399~\text{cm}$. Hinzu kommen die $78~\text{mm} = 7,\!8~\text{cm}$, die Dimitri größer ist als Samuel, abzüglich der $7~\text{cm}$, die Erkan kleiner ist als Samuel. Das macht dann $399~\text{cm} + 7,\!8~\text{cm} - 7~\text{cm} = 399,\!8~\text{cm}$, also fast $4~\text{m}$.

  Die nachfolgenden Beschreibungen sind falsch:

  • Paula misst für den Schulweg $740 \cdot 67~\text{cm} = 49~580~\text{cm} = 495,\!8~\text{m}$. Fred braucht für dieselbe Strecke $49\,580~\text{cm} : 74~\text{cm} = 670$ Schritte.

  • Die Länge eines Spinnenbeins beträgt $110,\!4~\text{mm}:8 = 13,\!8~\text{mm}$. Die Gesamtlänge $11,\!4~\text{cm}$ der jeweils sechs Beine von zwei Ameisen muss Rahel durch $2 \cdot 6 = 12$ teilen, um die Länge eines Ameisenbeines zu bestimmen: $11,\!4~\text{cm} : 12 = 9,\!5~\text{mm}$. Damit sind die Ameisenbeine deutlich kürzer als die Spinnenbeine.