Satz von Bayes

Was ist der Satz von Bayes?

Der Satz von Bayes ist ein Satz in Mathe, mit dessen Hilfe bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können. Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $B$ unter der Bedingung, dass zuvor ein anderes Ereignis $A$ eingetreten ist. Wir wollen im Folgenden den Satz von Bayes für bedingte Wahrscheinlichkeiten anhand von Baumdiagrammen herleiten.

Satz von Bayes – Herleitung

Zur Herleitung des Satz von Bayes betrachten wir zwei Ereignisse $A$ und $B$. Wir wollen zunächst die Wahrscheinlichkeiten für $A$ unter der Bedingung $B$ und $B$ unter der Bedingung $A$ untersuchen, um anschließend beides zum Satz von Bayes zu kombinieren.

Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B

Wir wollen wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis $B$ eintritt, wenn zuvor das Ereignis $A$ eingetreten ist. Dazu zeichnen wir ein einfaches Baumdiagramm. Im ersten Schritt müssen wir zwischen dem Ereignis $A$ und seinem Komplement $\overline{A}$, also nicht $A$, unterscheiden. Wir zeichnen also zwei Äste zu den Ereignissen $A$ und $\overline{A}$ mit den Wahrscheinlichen $P(A)$ und $P(\overline{A})$.

Im zweiten Schritt betrachten wir das Ereignis $B$ bzw. dessen Komplement $\overline{B}$, also nicht $B$. Sowohl auf $A$ als auch auf $\overline{A}$ kann $B$ oder nicht $B$ folgen – wir zeichnen also insgesamt vier weitere Äste, zwei an $A$ und zwei an $\overline{A}$. Die Wahrscheinlichkeiten der Äste sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. Diese schreiben wir nach dem folgenden Muster:

$P(B|A)$

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Bedingung, dass zuvor $A$ eingetreten ist. Nach diesem Muster beschriften wir alle vier Äste.

Jetzt können wir an das Ende jedes Pfades die Wahrscheinlichkeit für den Pfad schreiben. Sie ergibt sich immer als Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge der Ereignisse, die auf dem jeweiligen Pfad liegen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der durchlaufenen Äste. Wir können also die Wahrscheinlichkeit $A$ geschnitten $B$, also $P(A \cap B)$, folgendermaßen darstellen:

$P(A) \cdot P(B|A) = P(A \cap B)$

Teilen wir diese Gleichung durch $P(A)$, erhalten wir eine Gleichung für die bedingte Wahrscheinlichkeit von $B$ unter $A$, und zwar:

$(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn wir die Rollen der beiden Ereignisse vertauschen.

Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung A

Wir wollen wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis $A$ eintritt, wenn zuvor das Ereignis $B$ eingetreten ist. Wir zeichnen wie zuvor ein Baumdiagramm – wir müssen lediglich die Rollen von $A$ und $B$ austauschen.

Wir können nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ und $B$ eingetreten sind, wieder durch die Wahrscheinlichkeiten der Äste darstellen:

$P(B) \cdot P(A|B) = P(B \cap A)$

Der Satz von Bayes – Formel

Jetzt können wir die Formel für den Satz von Bayes herleiten. Wir schreiben dazu zunächst noch einmal die beiden Wahrscheinlichkeiten auf, die wir in den vorigen Abschnitten hergeleitet haben:

$P(A) \cdot P(B|A) = P(A \cap B)$

und

$P(B) \cdot P(A|B) = P(B \cap A)$

Weil die Schnittmenge kommutativ ist, also $A \cap B = B \cap A$, gilt auch:

$P(A \cap B) = P(B \cap A)$

Damit steht in beiden Gleichungen auf der rechten Seite dasselbe und wir können die jeweils linken Seiten miteinander gleichsetzen:

$P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$

Umgeformt nach $P(A|B)$ erhalten wir die Gleichung:

$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A) }{P(B)}$

Wir müssen nur noch einen Zusammenhang für die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ im Nenner herleiten, um den Satz von Bayes zu erhalten. Dazu betrachten wir den Ergebnisraum $\Omega$.

Insgesamt setzt sich $\Omega$ aus $A$ und seinem Komplement $\overline{A}$ zusammen, also:

$\Omega = A \sqcup \overline{A}$

Wir können außerdem $B$, und damit die Wahrscheinlichkeit $P(B)$, mit den Schnittmengen von $A$ mit $B$ und $\overline{A}$ mit $B$ darstellen:

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$

Diese Formel nennt man den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Schnittmengen haben wir schon in unseren Baumdiagrammen gefunden. Wir müssen sie nur noch als Produkt der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Äste darstellen:

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) $

Mit dieser Formel können wir also die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ durch die bedingten Wahrscheinlichkeiten sowie die Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $\overline{A}$ ausdrücken. Diesen Zusammenhang setzen wir für $P(B)$ ein und erhalten den Satz von Bayes:

$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A) }{P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})}$

Das schreiben wir noch einmal sauber auf.

Satz von Bayes – Definition

Sind zusätzlich zu $P(A)$ die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(B|A)$ und $P(B|\overline{A}) $ bekannt und ist mindestens einer der beiden von null verschieden, so kann man $P(A|B)$ berechnen durch:

$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A) }{P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})}$

Satz von Bayes – Beispiel

Wir schauen uns ein Beispiel einer Anwendung zum Satz von Bayes an. Dazu betrachten wir einen medizinischen Test, mit dem man überprüfen kann, ob eine Person eine ganz bestimmte Krankheit hat. Wir nennen das Ereignis Person ist krank $A$. Dann ist $\overline{A}$ das Ereignis Person ist nicht krank. Das Ereignis Test ist positiv nennen wir $B$. Wir wissen, dass der Test die Krankheit mit einer Sicherheit von $99~\%$ erkennt. Das entspricht der Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Bedingung $A$, also der Test ist positiv, unter der Bedingung die Person ist krank. Wir wissen auch, dass der Test bei einer gesunden Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $3~\%$ fälschlich ein positives Ergebnis anzeigt – das ist die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Bedingung $\overline{A}$. Die Krankheit tritt relativ selten auf, und zwar bei nur $1~\%$ aller Personen. Das ist die Wahrscheinlichkeit für $A$. Die Wahrscheinlichkeit für $\overline{A}$ ist demzufolge gleich $99~\%$. Das schreiben wir alles noch einmal stichpunktartig auf:

Gegeben:

• $A:$ Person ist krank, $\overline{A}:$ Person ist nicht krank
• $B:$ Test ist positiv
• $P(A)=0,01; ~ ~ P(\overline{A})=0,99$
• $P(B|A)=0,99$
• $P(B|\overline{A})=0,03$

Wir wollen nun herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass eine Person, bei der der Test positiv ausfällt, wirklich krank ist. Das ist die Wahrscheinlichkeit für $A$ unter der Bedingung $B$, also:

Gesucht:

• $P(A|B)$

Jetzt können wir die Formel zum Satz von Bayes nutzen und die gegebenen Werte einsetzen:

$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A) }{P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})} = \frac{0,01\cdot 0,99}{0,01\cdot 0,99 + 0,99 \cdot 0,03} = 0,25$

Das ist ein überraschendes Ergebnis. Wenn eine Person in unserem Beispiel einen positiven Test erhält, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie wirklich krank ist, lediglich $25~\%$.

Das Video zum Satz von Bayes

In diesem Video wird dir der Satz von Bayes einfach erklärt. Text und Video werden durch interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt mit Aufgaben zum Thema der Satz von Bayes ergänzt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Satz von Bayes