Sinusfunktion – Überblick und Eigenschaften

Sinusfunktion – Definition

In Mathe beschreibt die Sinusfunktion Vorgänge, die periodisch wiederkehren. Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis von Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck. Um die Sinusfunktion zu verstehen, betrachten wir verschiedene Dreiecke, die alle eine Hypotenuse der Länge $1$ haben. Dazu zeichnen wir in einem Koordinatensystem im Koordinatenursprung einen Kreis mit Radius $1$, also einen Einheitskreis:

Jeder Punkt auf der Kreislinie hat eine $x$-Koordinate und eine $y$-Koordinate. Zusammen mit dem Radius des Kreises ergibt sich so immer ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $x$ und $y$ und der Hypotenuse $r$. Der Sinus des Winkels $\alpha$ ist das Verhältnis der Gegenkathete $y$ zur Hypotenuse $r$:

$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{y}{1} = y$

Da die Hypotenuse der Radius des Einheitskreises ist, hat sie die Länge $1$. Damit entspricht der Sinus des Winkels $\alpha$ der Länge der Gegenkathete $y$.

Sinusfunktion – Parameter

Die allgemeine Sinusfunktion lässt sich durch verschiedene Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ erweitern und somit transformieren.

$f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x-c))+d$

• $a$ bewirkt eine Streckung oder Stauchung in $y$-Richtung und eine Umkehrung des Funktionsgraphen, falls $a<0$.
• $b$ bewirkt eine Streckung oder Stauchung in $x$-Richtung. Für $b<0$ wird der Graph an der $y$-Achse gespiegelt.
• $c$ verschiebt den Funktionsgraphen in $x$-Richtung um $c$ Einheiten.
• $d$ verschiebt den Funktionsgraphen in $y$-Richtung um $d$ Einheiten.

Sinusfunktion – Eigenschaften

Bei der Sinusfunktion nennt man die Variable gewöhnlich $x$. Die Variable entspricht dem Winkel $\alpha$ im Einheitskreis oben und darf nicht mit der $x$-Koordinate im Einheitskreis verwechselt werden. Zur Skalierung der $x$-Achse wählt man Vielfache und Bruchteile von $\pi$.

Sinusfunktion – Nullstelle, Hochpunkt, Tiefpunkt

Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$ usw. sowie bei $x=-\pi$, $x=-2\pi$ usw.
Jede Nullstelle ist von der Form $x_k= k\cdot \pi$ mit einer ganzen Zahl $k \in \mathbb Z$.
Die Nullstellen sind zugleich Wendestellen der Sinusfunktion.

Am Funktionsgraphen der Sinusfunktion kann man auch die Hochpunkte ablesen. Die Hochpunkte liegen bei $x= \frac{1}{2} \cdot \pi$, $x= \frac{5}{2} \cdot \pi$ usw. sowie bei $x=-\frac{3}{2} \pi$, $x= -\frac{7}{2} \pi$ usw.
Jeder Hochpunkt liegt an einer Stelle der Form $x_k = 2\pi \cdot k + \frac{1}{2} \pi$ mit einer ganzen Zahl $k \in \mathbb Z$.
Der $y$-Wert jedes Hochpunktes ist $1$.

Die Tiefpunkte liegen an den Stellen der Form $x= 2\pi \cdot k - \frac{1}{2}\pi$ mit einer ganzen Zahl $k \in \mathbb Z$,
also bei $x=\frac{5}{2}\pi$, $x=\frac{9}{2} \pi$ usw. und bei $x=-\frac{1}{2} \pi$, $x=-\frac{5}{2}\pi$ usw.
Der $y$-Wert jedes Tiefpunktes ist $-1$.

Zwischen je zwei Hochpunkten liegt ein Tiefpunkt und umgekehrt. Die $x$-Werte nebeneinanderliegender Hoch- und Tiefpunkte haben den Abstand $\pi$.

Sinusfunktion – Definitionsmenge, Wertemenge

Die Definitionsmenge $\mathbb D$ der Sinusfunktion ist $\mathbb D = \mathbb R$, denn man kann jeden beliebigen Wert $x \in \mathbb R$ in die Sinusfunktion einsetzen. Dies entspricht der Tatsache, dass wir bei der Berechnung der Bogenlänge beliebig oft um den Kreis herum drehen können.

Die Wertemenge $\mathbb W$ der Sinusfunktion ist $\mathbb W = [-1,1]$. Denn jede Zahl $y \in [-1,1]$ zwischen dem $y$-Wert eines Tiefpunktes $y=-1$ und dem $y$-Wert eines Hochpunktes $y=1$ ist ein $y$-Wert der Sinusfunktion. Man sagt: Die Amplitude der Sinusfunktion ist $1$. Die Amplitude beschreibt den maximalen Ausschlag einer Schwingung in jede der beiden Schwingungsrichtungen.
Die Wertemenge wird auch Wertebereich genannt.

Sinusfunktion – Periode

An dem Funktionsgraphen der Sinusfunktion kann man ablesen, dass sich jeder Wert der Sinusfunktion periodisch wiederholt. Die Periode $p$ der periodischen Funktion $\sin(x)$ ist der kleinste Wert $p$, für den gilt:

$\sin(x) = \sin(x+p)$

Die Periode $p$ ist der Abstand zweier nebeneinanderliegender Punkte des Funktionsgraphen mit demselben $y$-Wert, also zum Beispiel zweier nebeneinanderliegender Hochpunkte:

Dieser Abstand ist immer $2\pi$. Daher ist die Periode $p = 2\pi$ und es gilt für jedes $x$:

$\sin(x) = \sin(x+2\pi)$

Auch zwei nebeneinander liegende Tiefpunkte haben den Abstand $2\pi$. Aber Achtung: Der Abstand zweier nebeneinanderliegender Nullstellen ist nicht $2\pi$, sondern nur $\pi$! Dieser Abstand ist nicht die Periode der Funktion, denn die Verläufe der Sinusfunktion an zwei nebeneinanderliegenden Nullstellen sind verschieden!

Sinusfunktion – Winkel im Bogenmaß

Im Bogenmaß werden Winkel durch Werte zwischen $0$ und $2\pi$ ausgedrückt, statt als Gradzahlen zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$. Zur Berechnung von Sinuswerten kannst du den Taschenrechner verwenden. Du musst dabei etwas beachten: Wenn mit den trigonometrischen Funktionen gerechnet wird, kann das Winkelmaß bzw. Gradmaß verwendet werden. An Stelle vom Gradmaß kann aber auch mit dem Bogenmaß gerechnet werden. Je nachdem, mit welchem der beiden Maße gerechnet wird, wird der Taschenrechner verschieden eingestellt:

• auf DEG für „degree measure“, also Gradmaß, oder
• auf RAD für „radian measure“, also Bogenmaß.

Stelle dir wieder den Einheitskreis vor:

Zu jedem Winkel $\varphi$ in $^\circ$ gehört ein Kreisbogen $b$, der im Bogenmaß gemessen werden kann. Dieser Bogen ist hier mit $b$ bezeichnet. Die Maßeinheit ist normalerweise ein Längenmaß, zum Beispiel $\text{cm}$ oder $\text{dm}$. Am Einheitskreis hat der Radius $r$ allerdings den Wert $1$ ohne Längeneinheit. In diesem Fall gilt für den Umfang $U$ des Kreises:

$U = 2\,\pi \cdot r = 2\,\pi \cdot 1 = 2\,\pi$

Der Umfang $U$ ist gleich der Länge des vollen Kreisbogens $b$, der wiederum dem Vollwinkel $\varphi = 360^\circ$ entspricht. Diese Beziehung ist wichtig, um Gradmaß und Bogenmaß ineinander umrechnen zu können.

Umrechnung von Winkelmaß in Bogenmaß

Sei der Winkel $\alpha$ gegeben, dann ist das Verhältnis dieses Winkels zum gesamten Winkel (dem Vollwinkel $360^\circ$) ebenso groß wie das des zugehörigen Bogens zum Gesamtumfang des Einheitskreis $\left( U = 2\,\pi \right)$:

$\dfrac{\alpha}{360^\circ}=\dfrac{b}{2\,\pi}$

Die Multiplikation mit $2\,\pi$ führt zu:

$b=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\,\pi$

Beispiele:

• Der Winkel $\alpha=0^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $b=0$.
• Der Winkel $\alpha=90^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $b=\frac{\pi}2$.
• Der Winkel $\alpha=180^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $b=\pi$.

Damit können die oben bereits genannten Eigenschaften sowohl mit Hilfe des Bogenmaßes als auch mit Winkeln im Gradmaß ausgedrückt werden.

Sinusfunktion – Symmetrie

Der Funktionsgraph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Jede Gerade durch einen Punkt auf dem Funktionsgraphen und den Koordinatenursprung schneidet den Funktionsgraphen in dem am Koordinatenursprung gespiegelten Punkt. Die Punktsymmetrie kannst du durch eine der beiden folgenden äquivalenten Formeln beschreiben:

$\sin(-x) = -\sin(x)$
oder
$\sin(x) = -\sin(-x)$

Sinusfunktion zeichnen

Der Winkel $\alpha$ zwischen der $x$-Achse und dem Radius $r$ kann jeden Wert zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ annehmen. Der Wert der $y$-Koordinate eines Punktes auf der Kreislinie – also der Sinus des Winkels $\alpha$ – hängt nur von dem Winkel $\alpha$ ab. Schreiben wir die Werte für $\alpha$ von $0^\circ$ bis $360^\circ$ auf eine horizontale Achse, so können wir die Werte der $y$-Koordinate des Punktes auf der Kreislinie jetzt in der Vertikalen abtragen. Wir erhalten so ein Bild für die Werte der Sinusfunktion, nämlich den Funktionsgraphen der Sinusfunktion.

Die charakteristische Form der Sinuskurve folgt also direkt aus den Koordinaten, die der Radius in seiner Kreisbewegung um den Einheitskreis abfährt, wenn man ihn als Linie der Länge $r$ wie den Zeiger einer Uhr betrachtet. Der Startpunkt bei $\alpha = 0^\circ$ mit den Koordinaten $\left( 0 | 0 \right)$ liegt in dieser Vorstellung allerdings bei 3 Uhr und der Zeiger fährt gegen den Uhrzeigersinn. Die Zeigerstellung 12 Uhr entspricht dem Winkel $\alpha = 90^\circ$ mit den Koordinaten $\left( \frac{\pi}{2} | 1 \right)$.
In unserer Abbildung ist zu beachten, dass wir den Winkel $\alpha$ in Grad auf der $x$-Achse aufgetragen haben und nicht die $x$-Koordinate im Bogenmaß (wie bei der Betrachtung der Nullstellen, Hochpunkte und Tiefpunkte).

Sinusfunktion – Übungen

Ausblick – das lernst du nach Sinusfunktion – Überblick und Eigenschaften

Begib dich auf den Weg des Wissens zu den trigonometrischen Funktionen und vertiefe dein Verständnis der Trigonometrie. Lerne mehr über Sinus und Cosinus am Einheitskreis und nimm den Sinussatz als nächsten Halt auf deiner mathematischen Reise. Bereite dich darauf vor, die Muster und Zusammenhänge der Trigonometrie zu entdecken!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinusfunktion

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