Systeme linearer Ungleichungen grafisch lösen

Systeme linearer Ungleichungen grafisch lösen Übung

• Entscheide, welche Aussagen zur graphischen Darstellung von Ungleichungen richtig sind.

  Tipps

  Um eine lineare Ungleichung graphisch darzustellen, orientieren wir uns an der zugehörigen Geraden.

  Beispiel:

  Die Gerade zu der Ungleichung $y\leq \frac{1}{5} \cdot x +3$ zeichnen wir als durchgezogene Linie.
  Zu der Ungleichung $y\lt \frac{1}{5} \cdot x +3$ zeichnen wir die Gerade jedoch als gestrichelte Linie.

  Wodurch unterscheiden sich die beiden Ungleichungen?

  Weshalb markieren wir sowohl bei der Ungleichung $y\leq -2 \cdot x +1$ als auch bei der Ungleichung $y\lt \frac{3}{2} \cdot x -2$ die Bereiche unterhalb der zugehörigen Geraden?

  Lösung

  Erste Ungleichung: $y\leq -2 \cdot x+1$

  1. Wir beginnen unsere graphische Darstellung mit der Geraden $y=-2 \cdot x+1$.
  2. Diese zeichnen wir als durchgezogene Linie in das Koordinatensystem ein, weil die Gleichheit auf beiden Seiten durch das $\leq$ in der Ungleichung zugelassen ist.
  3. Anschließend markieren wir noch den Bereich unterhalb der Geraden. Das machen wir wegen des „$y\lt$ ...“ in der Ungleichung.

  Zweite Ungleichung: $y\lt \frac{3}{2} \cdot x -2$

  1. Wir beginnen mit der passenden Geraden $y=\frac{3}{2}\cdot x -2$.
  2. Diese zeichnen wir als gestrichelte Linie in das Koordinatensystem ein, weil das $\lt$ in der Ungleichung keine Gleichheit auf beiden Seiten zulässt.
  3. Anschließend markieren wir wegen des „$y\lt$ ...“ in der Ungleichung den Bereich unterhalb der Geraden.

  Dritte Ungleichung: $y\geq \frac{1}{4} \cdot x -4$

  1. Bei dieser linearen Ungleichung beginnt unsere graphische Darstellung mit der zugehörigen Geraden $y=\frac{1}{4}\cdot x -4$.
  2. Wir zeichnen sie als durchgezogene Linie in unser Koordinatensystem ein, weil die Gleichheit in der $\geq$-Beziehung enthalten ist.
  3. Anschließend markieren wir den Bereich oberhalb der Geraden wegen des „$y\gt$ ...“ in der Ungleichung.

• Gib an, ob die Punkte in der Lösungsmenge von $y > \frac{3}{2}\cdot x -2$ oder von $y \leq \frac{3}{2}\cdot x -2$ liegen.

  Tipps

  Liegt ein Punkt auf der Geraden und ist die Gerade gestrichelt, gehört der Punkt nicht in den markierten Bereich.

  Beispiel:

  Um den Punkt $(1\vert 2)$ in das Koordinatensystem einzutragen, gehen wir wegen $x={+1}$ vom Ursprung aus einen Schritt entlang der $x$-Achse nach rechts. Anschließend gehen wir wegen $y={+2}$ zwei Schritte entlang der $y$-Achse nach oben.

  Der Punkt liegt dann oberhalb der in den Abbildungen dargestellten Geraden. Dieser Bereich ist in der linken Abbildung markiert. Daher würden wir diesen Punkt der linken Abbildung zuordnen.

  Lösung

  Linke Abbildung

  Die Gerade liegt als gestrichelte Linie vor und der Bereich oberhalb ist markiert. Daher wird hier die Lösungsmenge der Ungleichung $y\gt\frac{3}{2}\cdot x -2$ graphisch dargestellt.
  Die Punkte $(0|0)$ und $(0|1)$ liegen oberhalb der betrachteten Geraden $y=\frac{3}{2}\cdot x -2$ und gehören somit zu dieser Abbildung.

  Rechte Abbildung

  Wegen der durchgezogenen Linie und des unterhalb der Geraden markierten Bereichs wird in dieser Abbildung die Lösungsmenge der Ungleichung $y\leq\frac{3}{2}\cdot x -2$ graphisch dargestellt:

  • Die Punkte $(0\vert {-4})$, $(4|{-3})$ und $(1\vert {-1})$ liegen unterhalb der betrachteten Geraden, weshalb diese drei Punkte zu der Abbildung gehören.
  • Die Punkte $(0\vert {-2})$ und $(2\vert 1)$ liegen genau auf der Geraden. Da die Gerade durchgezogen dargestellt ist, gehören diese Punkte ebenfalls zu der zugehörigen Ungleichung.

  Tipps für Ungleichungen

  Wenn du die Ungleichungen kennst, kannst du auch rechnerisch herausfinden, ob ein Punkt zur Lösungsmenge gehört. Setze dazu seine $x$- und $y$-Koordinate in die Ungleichung ein und errechne, ob dabei eine wahre Aussage (z. B. $5\lt16$ oder $4\geq -1$) herauskommt.

  Nehmen wir zum Beispiel den Punkt $(1\vert {-1})$. Um zu sehen, ob er unsere Ungleichung $y\leq\frac{3}{2}\cdot x -2$ löst, setzen wir darin wegen $x=1$ und $y={-1}$ für $x$ den Wert $1$ und für $y$ den Wert ${-1}$ ein. Dann erhalten wir:

  $\begin{array}{rrcl} &-1 & \leq&\dfrac{3}{2}\cdot 1 -2 & \\ \\ &-1 & \leq&\dfrac{3}{2} -2 &\\ \\ &-1 & \leq&\dfrac{3}{2} -\dfrac{2~\cdot~ 2}{1~\cdot~ 2} & \\ \\ &-1 & \leq&\dfrac{3}{2} -\dfrac{4}{2} &\\ \\ &-1 & \leq&{-\dfrac{1}{2}}& \end{array}$

  Die Aussage ${-1}\leq-\frac{1}{2}$ ist richtig. Deshalb wissen wir, dass der Punkt $(1\vert {-1})$ zur Lösungsmenge der Ungleichung $y\leq\frac{3}{2}\cdot x -2$ gehört.

• Gib zu den graphischen Darstellungen die passende Ungleichung an.

  Tipps

  Bei einer Ungleichung $y\lt m\cdot x +b$ gehören die Punkte direkt auf der Geraden $y=m\cdot x +b$ nicht zur Lösungsmenge. Dies verdeutlichst du, indem du die Gerade als gestrichelte Linie zeichnest.

  Bei einer Ungleichung $y\lt m\cdot x +b$ orientierst du dich an der Geraden $y= m\cdot x +b$ und betrachtest alle Punkte im Koordinatensystem, die unterhalb dieser Geraden liegen.

  Hast du ein System von zwei linearen Ungleichungen graphisch gelöst, dann befinden sich die Punkte aus der Lösungsmenge des Systems alle in dem sich überschneidenden, markierten Bereich des Koordinatensystems.

  Lösung

  In allen drei Koordinatensystemen wird der rote Bereich durch die Gerade $y=-2\cdot x +1$ und der grüne Bereich durch die Gerade $y=\frac{3}{2}\cdot x -2$ begrenzt.

  Erste Abbildung

  • Der rote Bereich wird von einer durchgezogenen Linie begrenzt und der Bereich unterhalb der Geraden ist rot markiert. Deshalb muss die zum roten Bereich gehörige Ungleichung einerseits eine „$=$“- und andererseits eine „$y\lt$...“-Beziehung enthalten. Zusammengefasst ergibt das die Ungleichung $y\leq -2\cdot x + 1$.
  • Der grüne Bereich wird von einer gestrichelten Linie begrenzt und der Bereich unterhalb der Geraden ist grün markiert. Daher darf die zugehörige Ungleichung einerseits keine „$=$“- und muss andererseits eine „$y\lt$...“-Beziehung enthalten. Für den grünen Bereich ergibt sich somit die Ungleichung $y\lt\frac{3}{2}\cdot x -2$.
  • Der Punkt $(2\vert {-3})$ liegt auf der durchgezogenen roten Geraden und innerhalb des grünen Bereichs. Aus diesen Gründen gehört er in die Lösungsmenge des dargestellten Ungleichungssystems.

  Zweite Abbildung

  • Diesmal wird der rote Bereich von einer gestrichelten Linie begrenzt und wieder ist der Bereich unterhalb der Geraden rot markiert. Deshalb darf die zum roten Bereich gehörige Ungleichung einerseits keine „$=$“- und muss andererseits wieder eine „$y\lt$ ...“-Beziehung enthalten. Das ergibt daher die Ungleichung $y\lt-2\cdot x + 1$.
  • Der grüne Bereich wird hier von einer durchgezogenen Linie begrenzt und wieder ist der Bereich unterhalb der Geraden grün markiert. Daher muss die zugehörige Ungleichung einerseits eine „$=$“- und andererseits eine „$y\lt$ ...“-Beziehung enthalten. Zusammengefasst ergibt das die Ungleichung $y\leq\frac{3}{2}\cdot x -2$.
  • Der Punkt $({-1}\vert {-3,5})$ liegt innerhalb des roten Bereichs und auf der durchgezogenen grünen Geraden. Daher gehört er in die Lösungsmenge des hier dargestellten Ungleichungssystems.

  Dritte Abbildung

  • In dieser Abbildung wird der rote Bereich von einer durchgezogenen Linie begrenzt und der Bereich oberhalb der Geraden rot markiert. Deshalb muss die zugehörige Ungleichung einerseits eine „$=$“- und andererseits diesmal eine „$y\gt$ ...“-Beziehung enthalten. Somit ergibt das die Ungleichung $y\geq -2\cdot x + 1$.
  • Der grüne Bereich wird genau wie in der ersten Abbildung von einer gestrichelten Linie begrenzt und der Bereich unterhalb der Geraden grün markiert. Daher darf die zugehörige Ungleichung einerseits keine „$=$“- und muss andererseits eine „$y\lt$ ...“-Beziehung enthalten. Zusammengefasst ergibt das die Ungleichung $y\lt\frac{3}{2}\cdot x -2$.
  • Der Punkt $(3\vert {-3})$ liegt sowohl innerhalb des grünen als auch des roten Bereichs. Darum gehört er in die Lösungsmenge dieses dargestellten Ungleichungssystems.

• Bestimme die Punkte, die das Ungleichungssystem lösen.

  Tipps

  Du kannst damit beginnen, die den Ungleichungen zugehörigen drei Geraden in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. Achte dabei jeweils auf die Steigung und die $y$-Achsenabschnitte.

  In welchem Bereich des Koordinatensystems überschneiden sich alle drei graphischen Lösungsmengen der Ungleichungen?

  Zeichne dir auch die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem ein.

  Einer der Punkte liegt genau auf einer der drei zugehörigen Geraden. Welcher ist es? Gehört dieser Punkt zur Lösungsmenge der passenden Ungleichung?

  Lösung

  Schritt 1

  Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir die jeweils zugehörigen Geraden in ein Koordinatensystem übertragen:

  1. $\quad y=\frac{4}{7}\cdot x +1$,
  2. $\quad y= {-\frac{2}{3}\cdot x}+6$ und
  3. $\quad y= {-\frac{1}{9}\cdot x} +1$.

  Schritt 2

  Dabei orientieren wir uns bei jeder der drei Geradengleichungen $y=m\cdot x +b$ an der Steigung $m$ und am $y$-Achsenabschnitt $b$. Ist $m$ eine negative Zahl, zeichnen wir die Gerade fallend:

  1. Die Gerade zu $y\lt\frac{4}{7}\cdot x +1$ zeichnen wir als gestrichelte Linie,
  2. die zu $y\leq {-\frac{2}{3}\cdot x}+6$ als durchgezogene Linie und
  3. die Gerade zu $y\gt {-\frac{1}{9}\cdot x} +1$ wieder als gestrichelte Linie.

  Schritt 3

  In diesem Schritt markierst du die Bereiche entsprechend den folgenden Angaben:

  1. Von der Geraden zu $y\lt\frac{4}{7}\cdot x +1$ markieren wir den unterhalb liegenden Bereich,
  2. von der Geraden zu $y\leq {-\frac{2}{3}\cdot x}+6$ ebenfalls den unterhalb liegenden Bereich und
  3. von der Geraden zu $y\gt {-\frac{1}{9}\cdot x} +1$ markieren wir den oberhalb liegenden Bereich.

  Die Lösungsmenge des Systems aus den drei Ungleichungen wird nun durch den Bereich dargestellt, in dem sich alle drei markierten Bereiche überlappen – einschließlich des Abschnitts auf der durchgezogenen Geraden.
  An allen Punkten, die innerhalb dieses Bereichs liegen, sind also Geschenke versteckt.

  Sobald auch die Punkte in das Koordinatensystem eingezeichnet sind, machen sich Anne und Lars gemeinsam mit ihrer Mutter auf die Suche.

• Schildere den Weg von der Ungleichung zur graphischen Darstellung.

  Tipps

  $y=m\cdot x +b$

  Dies ist eine Geradengleichung. Dabei bezeichnet $m$ die Steigung und $b$ den $y$-Achsenabschnitt der Geraden.

  Wir zeichnen die Gerade als gestrichelte Linie, wenn sie den zur Ungleichung passenden Bereich nur begrenzen soll.

  Dies ist bei Ungleichungen mit „$\lt$“- oder „$\gt$“-Beziehung der Fall, bei denen die Gleichheit auf beiden Seiten ausgeschlossen ist.

  Beispiel:

  Die Gerade zu der Ungleichung $y\lt\frac{3}{2}\cdot x-2$ zeichnen wir als gestrichelte Linie.
  Die Gerade zu der Ungleichung $y\leq\frac{3}{2}\cdot x-2$ hingegen zeichnen wir als durchgezogene Linie.

  Lösung

  Schritt 1

  Bei der Ungleichung $y\leq - 2\cdot x +1$ orientieren wir uns zuerst an der zugehörigen Geradengleichung $y=-2\cdot x +1$. Wo diese in unserem Koordinatensystem liegt, können wir nämlich mithilfe bekannter Wege schnell herausfinden.

  Von einer Geraden $y=m\cdot x +b$ können wir die Steigung direkt ablesen, denn die Steigung entspricht dem Wert $m$, also dem Faktor vor dem $x$. In unserer Übung ist $m=-2$, was eine negative Zahl ist. Wenn die Steigung einer Geraden negativ ist, sprechen wir von einer fallenden Geraden. Daher wissen wir schon, dass die Gerade fällt.

  Andererseits können wir an der Geradengleichung $y=m\cdot x +b$ ablesen, dass der $y$-Achsenabschnitt den Wert $b$ hat. Bei unserer Geraden ist $b=1$. Wir folgern daraus, dass die Gerade die $y$-Achse bei $1$ schneidet.

  Schritt 2

  Haben wir die Gerade bestimmt, müssen wir noch entscheiden, ob wir für die Gerade eine durchgezogene Linie oder eine gestrichelte Linie ziehen.
  Wenn ein $=$ in der Ungleichung enthalten ist, dürfen wir die Gerade durchgezogen einzeichnen. Wegen des „$=$“ im „$\leq$“ unserer Ungleichung $y\leq-2\cdot x +1$ zeichnen wir die Gerade deshalb als durchgezogene Linie.

  Schritt 3

  Beginnt die Ungleichung mit „$y\lt$ ...“ oder mit „$y\leq$ ...“, gehört der Bereich unterhalb der Geraden zur Lösungsmenge. Anders gesagt: Wir markieren wegen des „$y\lt$ ...“, was in dem Ausdruck „$y\leq$ ...“ in unserer Ungleichung $y\leq -2\cdot x +1$ versteckt ist, außerdem den Bereich unterhalb der Geraden.

  Zusammenfassung

  Alle Punkte, die die vorliegende Ungleichung lösen, liegen entweder direkt auf der Geraden $y=-2\cdot x +1$ oder unterhalb der Geraden.

• Bestimme die passenden mathematischen Ausdrücke zu den graphischen Darstellungen.

  Tipps

  Kannst du erkennen, bei welchem $y$-Wert die Gerade die $y$-Achse schneidet?

  Diesen Wert bezeichnen wir als $y$-Achsenabschnitt $b$ und finden ihn in der Normalform $y=m\cdot x + b$ einer Geraden wieder.

  Verläuft eine Gerade parallel zur $x$-Achse, dann hat sie die Steigung $m=0$. Daher sind solche Geraden wegen $y=m\cdot x + b=0\cdot x +b=b$ von der Form $y=b$.

  Lösung

  Wir gehen hier jeweils von einer Geraden $y=m\cdot x + b$ aus.
  Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie wir an diese Aufgabe herangehen können. Falls der beschriebene Lösungsweg ganz anders als deiner ist, hat das nichts zu bedeuten. Du kannst die Aufgabe zum Beispiel auch ganz intuitiv lösen. Das wäre genauso toll.

  Erste Abbildung

  Schritt 1

  Wir wollen erst einmal die richtige Geradengleichung finden. Die Gerade schneidet die $y$-Achse bei $+1$. Damit ist der $y$-Achsenabschnitt schon einmal $b=1$.
  Die Gerade fällt. Daher wissen wir sofort, dass die Steigung $m$ der Geraden negativ ist. Den genauen Wert der Steigung bestimmen wir mit folgender Formel:

  $m=\dfrac{\ddot{\text{A}}\text{nderung in }y}{\ddot{\text{A}}\text{nderung in }x}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

  Zeichnen wir uns in Gedanken ein Steigungsdreieck von einem Punkt auf der Geraden, z. B. $(0\vert 1)$, zu einem anderen Punkt auf der Geraden, z. B. $(1\vert 0)$:

  • Wir gehen von $(0\vert 1)$ einen Schritt entgegen der $y$-Achse. Mathematisch bezeichnen wir das als „Änderung in $y$“$=\Delta y={-1}$.
  • Außerdem gehen wir einen Schritt entlang der $x$-Achse. Das bezeichnen wir als „Änderung in $x$“$=\Delta x=+1$.
  • Somit ist die Steigung der Geraden $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{1}={-1}$.

  Nun setzen wir die gefundenen Werte für $b=1$ und $m=-1$ in unsere Geradengleichung ein und erhalten so $y=-x+1$ als Geradengleichung.

  Schritte 2 und 3

  Da die Gerade in der ersten Abbildung als durchgezogene Linie gezeichnet und der unterhalb der Geraden liegende Bereich markiert ist, benötigen wir sowohl eine „$=$“- als auch eine „$y\lt$ ...“-Beziehung in der zugehörigen Ungleichung. Die passende Ungleichung ist damit $y\leq-x+1$.

  Die anderen Aufgaben kannst du analog lösen. Es folgen lediglich Hinweise zu den Besonderheiten:

  Dritte Abbildung

  Es fällt auf, dass die Gerade in dieser Abbildung parallel zur $x$-Achse verläuft. In diesem Fall ist die Steigung $m=0$. Der $y$-Achsenabschnitt ist bei $b={-1}$. Setzen wir beides in unsere Geradengleichung ein, erhalten wir als zugehörige Gerade $y={-1}$.

  Vierte Abbildung

  In dieser Abbildung ist kein Bereich zu der dargestellten durchgezogenen Geraden markiert. Aus diesem Grund wird hier keine Ungleichung graphisch gelöst, sondern lediglich eine gewöhnliche Gerade abgebildet.