Umwandlung: Scheitelpunktform und allgemeine Form

Umwandlung: Scheitelpunktform und allgemeine Form Übung

• Bestimme die allgemeine Form der quadratischen Funktion.

  Tipps

  Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

  $f(x) = ax^2+bx+c$

  In der allgemeinen Form der quadratischen Funktion ist $c$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Du kannst die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umwandeln, indem du die quadrierte Klammer ausmultiplizierst.

  Lösung

  Jede quadratische Funktion kannst du in zwei verschiedenen Formen beschreiben:

  • Die allgemeine Form:

  $f(x) = ax^2+bx+c$
  Hier sind alle vorkommenden Terme nach Potenzen der Variablen geordnet.

  • Die Scheitelpunktform:

  $f(x) = a(x-d)^2+e$
  Hier steht die Variable in einer Klammer, die quadriert wird.

  Die folgende quadratische Funktion ist demnach in der Scheitelpunktform gegeben:

  $f(x) = -2(x+2)^2+3$

  Man nennt diese Form die Scheitelpunktform, weil man an ihr den Scheitelpunkt der Parabel direkt ablesen kann. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes steht als Subtrahend in der quadrierten Klammer, die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes wird zu der Klammer addiert. In unserem Beispiel ist also $S(-2|3)$ der Scheitelpunkt.

  An der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion kann man den $y$-Achsenabschnitt direkt ablesen. Dies ist die additive Konstante, also der Term in der allgemeinen Form, der kein $x$ enthält.

  Um in unserem Beispiel den $y$-Achsenabschnitt ablesen zu können, müssen wir die Funktion

  $f(x) = -2(x+2)^2+3$ zuerst in die allgemeine Form umrechnen. Dabei benutzen wir die erste binomische Formel, um die quadrierte Klammer aufzulösen:

  $f(x) = -2(x+2)^2+3 = -2(\mathbf{\color{#669900}{x^2+2 \cdot 2 \cdot x+2^2}})+3$

  Im nächsten Schritt multiplizieren wir noch die Klammer aus:

  $-2(x^2+4x+4)+3 = -2x^2 \mathbf{\color{#669900}{-8x-8}}+3$

  Wir erhalten die allgemeine Form der quadratischen Funktion, indem wir die Terme nach Potenzen von $x$ sortieren und zusammenfassen:

  $f(x) = \mathbf{\color{#669900}{-2x^2-8x-5}}$

  Hier können wir auch den $y$-Achsenabschnitt $c=-5$ ablesen.

• Beschreibe die quadratische Ergänzung.

  Tipps

  Die Umformung endet bei der Scheitelpunktform.

  Die quadratische Ergänzung besteht darin, dieselbe Zahl zu addieren und zu subtrahieren. Dadurch wird in Summe $+0$ gerechnet, der Term also nicht verändert.

  Beginne die Umformung mit der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung.

  Lösung

  Der wichtigste Schritt der Umformung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform ist die quadratische Ergänzung.

  Wir beginnen also mit der allgemeinen Form:

  1.) Gegeben ist die allgemeine Form: $f(x) = -2x^2-8x-5$.

  Um die passende Ergänzung zu finden, klammern wir aus, was vor $x^2$ steht:

  2.) Klammere den Vorfaktor von $x^2$ aus: $f(x) = -2(x^2+4x)-5$

  Um nun in der Klammer die quadratische Ergänzung durchzuführen, schreiben wir $4x$ als $2 \cdot 2\cdot x$. Wir erkennen daran, dass wir $2^2-2^2$ in der Klammer ergänzen müssen:

  3.) Führe in der Klammer die quadratische Ergänzung durch:

  $f(x) = -2(x^2+4x+4-4)-5$

  Nun können wir in der Klammer die drei ersten Terme mithilfe der binomischen Formel zu einem Quadrat zusammenfassen: $x^2+4x+2 = (x+2)^2$:

  4.) Verwende in der ergänzten Klammer eine binomische Formel:

  $f(x) = -2((x+2)^2-4)-5$

  Als nächstes lösen wir die äußere Klammer auf. Dabei müssen wir den Vorfaktor $-2$ der Klammer beachten. Wir müssen also $(-2) \cdot (-4)$ rechnen:

  5.) Löse die äußere Klammer auf:

  $f(x) = -2(x+2)^2+8-5$

  Zuletzt rechnen wir noch außerhalb der Klammer $8-5=3$ und erhalten die Scheitelpunktform:

  6.) Fasse zusammen zu der Scheitelpunktform:

  $f(x) = -2(x+2)^2+3$

  Wir erhalten also zusammengefasst folgende Reihenfolge:

  1. Gegeben ist die allgemeine Form: $f(x) = -2x^2-8x-5$.
  2. Klammere den Vorfaktor von $x^2$ aus: $f(x) = -2(x^2+4x)-5$
  3. Bilde die quadratische Ergänzung: $f(x) = -2(x^2+4x+4-4)-5$
  4. Verwende in der ergänzten Klammer die binomische Formel:

  $f(x) = -2((x+2)^2-4)-5$

  1. Löse den nicht-quadratischen Term aus der äußeren Klammer:

  $f(x) = -2(x+2)^2+8-5$

  1. Fasse zusammen zu der Scheitelpunktform:

  $f(x) = -2(x+2)^2+3$

• Stelle jede Funktion in der Scheitelpunktform und in der allgemeinen Form dar.

  Tipps

  Für die Umformung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform gilt: Klammere zuerst den Vorfaktor von $x^2$ aus.

  Um die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umzuwandeln, brauchst du nur die quadrierte Klammer auszurechnen und alle Terme nach Potenzen von $x$ zusammenzufassen.

  Beispiel: Die Scheitelpunktform $f(x) = 3(x-2)^2+3$ gehört nicht zu der allgemeinen Form $f(x)= -3x^2-12x+15$, denn die Vorfaktoren von $x^2$ stimmen nicht überein.

  Lösung

  Um die Zuordnungen zu finden, wandeln wir die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um.

  Beispiel 1:
  Die allgemeine Form

  $f(x) = 2x^2-4x+9$

  formen wir mittels einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform um:

  $\begin{array}{lll} f(x) &= \color{#669900}{2x^2-4x+9} & | ~\text{Ausklammern} \\ &= 2(x^2-2x) +9 & | ~\text{Quadrat. Ergänzung} \\ &= 2(x^2-2x+1-1)+9 & | ~\text{Zweite binom. Formel} \\ &= 2(x-1)^2-2+9 & | ~\text{Zusammenfassen} \\ &= \color{#669900}{2(x-1)^2+7} \end{array}$

  Beispiel 2:
  $\begin{array}{lll} f(x) &= \color{#669900}{x^2-4x+9} \\ &= (x^2-4x+4-4)+9 \\ &= (x-2)^2-4+9 \\ &= \color{#669900}{(x-1)^2+5} \end{array}$

  Beispiel 3:
  $\begin{array}{lll} f(x) &= \color{#669900}{-2x^2-4x+9} \\ &= -2(x^2+2x)+9 \\ &= -2(x^2+2x+1-1)+9 \\ &= -2(x+1)^2+2+9 \\ &= \color{#669900}{-2(x+1)^2+11} \end{array}$

  Beispiel 4:
  $\begin{array}{lll} f(x) &= \color{#669900}{2x^2-8x+9} \\ &= 2(x^2-4x)+9 \\ &= 2(x^2-4x+4-4)+9 \\ &= 2(x-2)^2-8+9 \\ &= \color{#669900}{2(x-2)^2+1} \end{array}$

  
  

  Hinweis:
  Wir können auch die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umrechnen und so die passenden Paarungen finden. Hier siehst du das entsprechende Vorgehen für Beispiel 2:

  $\begin{array}{lll} f(x) &= (x-2)^2+5 &|~ \text{Zweite binom. Formel} \\ &= (x^2-2\cdot 2\cdot x+2^2)+5 &|~ \text{Zusammenfassen} \\ &= x^2-4x+9 \end{array} $

• Erschließe aus dem Funktionsterm die Merkmale der quadratischen Funktionen.

  Tipps

  Der $y$-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion ist der Term ohne $x$ in der allgemeinen Form.

  Die Parabel zu der Funktionsgleichung $f(x)= 3(x+4)^2+5$ hat den Scheitelpunkt $S(-4|5)$.

  Lösung

  Du kannst jede quadratische Funktion entweder in der allgemeinen Form

  $f(x) = ax^2 + bc +c$

  oder in der Scheitelpunktform

  $f(x) = a(x-d)^2+e$

  darstellen. An der allgemeinen Form kannst du den $y$-Achsenabschnitt $c$, an der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt $S(d|e)$ ablesen. Von der Scheitelpunktform kannst du in die allgemeine Form umrechnen, indem du die quadrierte Klammer ausrechnest. Um von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umzurechnen, musst du die quadratische Ergänzung verwenden.

  $\,$

  Hier sind die korrekten Zuordnungen:

  Erste Funktion:

  $f(x) = 2x^2-12x+4$

  Umrechnung:
  $\begin{array}{rl} f(x) &= 2x^2-12x+4 \\ &= 2(x^2 - 6x) + 4 \\ &= 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 4 \\ &= 2(x - 3)^2 - 18 + 4 \\ &= 2(x - 3)^2 - 14 \end{array}$

  • Der $y$-Achsenabschnitt ist $c=4$.
  • Die Scheitelpunktform lautet:

  $f(x) = 2(x-3)^2-14$

  • Aus der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt ablesen: $S(3|{-}14)$

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  Zweite Funktion:

  $f(x) = -3x^2-18x-17$

  Umrechnung:
  $\begin{array}{rl} f(x) &= -3x^2-18x-17 \\ &= -3(x^2 + 6x) - 17 \\ &= -3(x^2 + 6x + 9 - 9) -17 \\ &= -3(x + 3)^2 + 27 -17 \\ &= -3(x + 3)^2 + 10 \end{array}$

  • Hier ist der $y$-Achsenabschnitt $c=-17$.
  • Die Scheitelpunktform lautet:

  $f(x) = -3(x+3)^2+10$

  • Aus der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt ablesen: $S(-3|10)$

  $\,$

  Dritte Funktion:

  $f(x) = -2(x+3)^2+5$

  Umrechnung:
  $\begin{array}{rl} f(x) &= -2(x+3)^2+5 \\ &= -2(x^2 + 6x + 9) + 5 \\ &= -2x^2 -12x - 18 + 5 \\ &= -2x^2 -12x - 13 \end{array}$

  • Hier können wir den Scheitelpunkt direkt ablesen: $S(-3|5)$
  • Die zugehörige allgemeine Form ist:

  $f(x) = -2x^2-12x-13$

  • Aus dieser erhalten wir den $y$-Achsenabschnitt $c=-13$

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  Vierte Funktion:

  $f(x) = 3(x-2)^2-17$

  Umrechnung:
  $\begin{array}{rl} f(x) &= 3(x-2)^2-17 \\ &= 3(x^2 - 4x + 4) - 17 \\ &= 3x^2 -12x + 12 - 17 \\ &= 3x^2 -12x - 5 \end{array}$

  • Der Scheitelpunkt dieser quadratischen Funktion ist: $S(2|{-}17)$
  • Die zugehörige allgemeine Form lautet:

  $f(x) = 3x^2-12x-5$

  • Aus dieser lesen wir den $y$-Achsenabschnitt ab: $c=-5$

• Benenne die Merkmale der quadratischen Funktion.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel ist ihr höchster Punkt.

  Der $y$-Achsenabschnitt eines Funktionsgraphen ist der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse.

  Lösung

  Der Funktionsgraph im Bild ist der Graph einer quadratischen Funktion.

  Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion:
  

  • Du kannst jede quadratische Funktion in der allgemeinen Form darstellen. Dies ist die Form, in der alle Terme absteigend nach der Größe der Potenzen von $x$ sortiert sind. Hier ist

  $f(x) = x^2+2x-1\ \ \ $ die allgemeine Form der quadratischen Funktion. An dieser Form kannst du den $y$-Achsenabschnitt $c=-1\ $ direkt ablesen.

  • Du kannst die Funktion auch in der Scheitelpunktform angeben. In unserem Beispiel ist

  $f(x) = (x-(-1))^2-2\ \ \ $ die Scheitelpunktform. In dieser Form entdeckst du beide Koordinaten des Scheitelpunktes: Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes steht als Subtrahend in der quadrierten Klammer, die $y$-Koordinate steht als Summand außerhalb der Klammer.

  Der Graph einer quadratischen Funktion: Die Parabel:
  

  • Der $y$-Achsenabschnitt ist der Wert, bei dem die Parabel die $y$-Achse schneidet. Du siehst, dass der $y$-Achsenabschnitt $c=-1\ $ beträgt. Der Funktionsgraph von $f$ schneidet die $y$-Achse also im Punkt $(0|{-}1)\ $.
  • Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel bzw. der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel. In unserem Beispiel ist der Scheitelpunkt $S({-}1|{-}2)\ $.

• Überprüfe die Aussagen zu quadratischen Funktionen.

  Tipps

  Die beiden Parabeln $f(x) =x^2$ und $f(x) = -x^2$ haben denselben Scheitelpunkt.

  Das Absolutglied eines Terms enthält keine Variablen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Zu jeder quadratischen Funktion gibt es genau eine Scheitelpunktform. Du findest die Scheitelpunktform durch eine eindeutig bestimmte Umformung, die quadratische Ergänzung.

  • Zur Umformung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform kommt nie die dritte binomische Formel zum Einsatz. Die beiden ersten binomischen Formeln beschreiben das Quadrat einer Summe bzw. einer Differenz. Eine der beiden Formeln kannst du verwenden, um die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umzuwandeln und umgekehrt. Die dritte binomische Formel kommt dabei aber nie vor, denn sie beschreibt gar nicht das Quadrat einer Summe oder Differenz, sondern eine Differenz von Quadraten.

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  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Die Scheitelpunktform und die allgemeine Form beschreiben zwei verschiedene Funktionen. Stattdessen sind die allgemeine Form und die Scheitelpunktform zwei verschiedene Beschreibungen derselben Funktion.

  • Das Absolutglied der Scheitelpunktform ist der $y$-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen. In der Scheitelpunktform erkennt man das Absolutglied nicht, denn auch die quadrierte Klammer trägt zum konstanten Term in der allgemeinen Form bei. Den $y$-Achsenabschnitt erkennst du nur an der allgemeinen Form. Dort ist der $y$-Achsenabschnitt dasselbe wie der Term ohne $x$, also das Absolutglied.

  • Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion $f(x) = 3(x+3)^2+3$ ist $S(3|3)$. In der Scheitelpunktform steht in der quadrierten Klammer immer $x$ minus die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes. Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion $f(x) = 3(x+3)^2+3$ ist also $S(-3|3)$.

  • Durch den Scheitelpunkt einer Parabel ist die Funktionsgleichung der zugehörigen quadratischen Funktion eindeutig bestimmt. Die beiden Parabeln zu den quadratischen Funktionen $f(x) = x^2$ bzw. $f(x) =-x^2$ haben denselben Scheitelpunkt $S(0|0)$. Dasselbe gilt auch für die Parabeln zu den Funktionen $f(x) = ax^2$ mit einem beliebigen, festen Wert $a$. Da es also verschiedene Parabeln mit demselben Scheitelpunkt gibt, ist die Funktionsgleichung nicht eindeutig bestimmt durch den Scheitelpunkt.