Verkettete Funktionen

Verkettete Funktionen Übung

• Beschreibe, was eine Verkettung von Funktionen bedeutet.

  Tipps

  Bei einer Verkettung von Funktionen werden die Vorschriften der inneren und äußeren Funktion hintereinander ausgeführt.

  Die beiden Funktionen $u(x) = x^3$ und $v(x) = x + 1$ können zu $g(x) = v(u(x)) = x^3 + 1$ verknüpft werden.
  Dabei ist $v(x)$ die äußere und $u(x)$ die innere Funktion.

  Lösung

  Eine verkettete Funktion fasst die Funktionsvorschriften von zwei oder mehr Funktionen in einer Funktionsgleichung zusammen. Die Funktionen werden hintereinander ausgeführt.
  Die zuerst ausgeführte Funktion heißt dabei innere Funktion. Die anschließend ausgeführte Funktion ist die äußere Funktion, da sie den ersten Funktionsterm umschließt.

  Beispiel:

  Die beiden Funktionsterme $u(x) = x^2$ und $v(x) = 2x - 1$ ergeben durch Verkettung die Funktion $f(x) = u(v(x)) = (2x - 1)^2$.
  Dabei ist $v(x)$ die innere Funktion und $u(x)$ die äußere Funktion.

  Die beiden Funktionen können auch zu $g(x) = v(u(x)) = 2x^2 - 1$ verknüpft werden.
  Dabei ist $v(x)$ die äußere und $u(x)$ die innere Funktion.

• Gib die Funktionsterme an, die sich aus einer Verkettung der Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ ergeben.

  Tipps

  Du kannst die folgenden verketteten Funktionen bilden:

  • $u(v(x))$
  • $v(u(x))$

  Setze den Funktionsterm der inneren Funktion für die Variable $x$ in den Term der äußeren Funktion ein.

  Lösung

  Zur Verkettung zweier Funktionen werden deren Funktionsvorschriften hintereinander ausgeführt. Dazu setzen wir den Funktionsterm der inneren Funktion für die Variable $x$ in den Term der äußeren Funktion ein.

  Die Funktionen $u(x) = \dfrac{1}{2x}$ und $v(x) = 3x^2-2$ können wir folgendermaßen verketten:

  $u(v(x))$:
  Die innere Funktion ist $v(x)$, wir setzen ihren Funktionsterm für $x$ in die äußere Funktion $u(x)$ ein.
  $u(v(x)) = u(3x^2-2) = \frac{1}{2(3x^2 - 2)}$
  Durch Zusammenfassen erhalten wir $\frac{1}{6x^2 - 4}$, der Faktor $2$ steht im Nenner von $u(x)$, daher ist der Term $\frac{2}{3x^2 - 2}$ falsch.

  
  

  $v(u(x))$:
  Die innere Funktion ist $u(x)$, wir setzen ihren Funktionsterm für $x$ in die äußere Funktion $v(x)$ ein.
  $v(u(x)) = v(\frac{1}{2x}) = 3\left(\frac{1}{2x}\right)^2 - 2$
  Durch Zusammenfassen erhalten wir $3\frac{1}{4x^2} - 2$, da sich das Quadrat auf den ganzen Bruch bezieht und nicht nur auf das $x$, ist der Term $3\frac{1}{2x^2} - 2$ falsch.

• Wende die Funktionsvorschrift an.

  Tipps

  Um zwei Funktionen zu verketten, setzt du den Funktionsterm der inneren Funktion in die äußere Funktion ein.

  Beispiel:

  $u(w(x)) = u(x^3) = 5^{x^3}$

  Lösung

  Wir bilden den Funktionsterm einer verketteten Funktion, indem wir die Vorschriften der inneren und äußeren Funktion hintereinander ausführen. Dazu setzen wir den Funktionsterm der inneren Funktion für die Variable $x$ in die äußere Funktion ein.

  Für die gegebenen Funktionen:

  • $u(x) = 5^x$
  • $v(x) = \frac{1}{3x + 5}$
  • $w(x) = x^3$

  ...erhalten wir die folgenden verketteten Funktionen:

  • $u(v(x)) = u(\frac{1}{3x + 5}) = 5^{\frac{1}{3x + 5}}$
  • $v(u(x)) = v(5^x) = \frac{1}{3\cdot 5^x + 5}$
  • $w(v(x)) = w(\frac{1}{3x + 5}) = \left(\frac{1}{3x + 5}\right)^3 = \frac{1}{(3x + 5)^3}$
  • $w(u(x)) = w(5^x) = (5^x)^3 = 5^{3x}$

• Ermittle den Term der inneren und äußeren Funktion der Verkettung.

  Tipps

  Die innere Funktion wird zuerst auf die Variable $x$ angewendet, ihr Term enthält daher $x$.

  Die äußere Funktion enthält oder umschließt die innere Funktion.

  Lösung

  Oft ist es nützlich einen Funktionsterm als Verkettung von Funktionen zu schreiben. Dazu müssen wir die innere und die äußere Funktion identifizieren, deren Vorschriften nacheinander auf $x$ angewendet werden. Die innere Funktion enthält dabei stets die Variable $x$, die äußere Funktion enthält oder umschließt den inneren Funktionsterm.

  $(x - 2)^3$:

  • innere Funktion: $x - 2$
  • äußere Funktion: $x^3$

  
  

  $\sin(\frac{2}{x+3})$:

  • innere Funktion: $\frac{2}{x+3}$
  • äußere Funktion: $\sin(x)$

  
  

  $3^{x^2-1}$:

  • innere Funktion: $x^2 - 1$
  • äußere Funktion: $3^x$

  
  

  $\lbrack \cos(x) + 3 \rbrack ^2$:

  • innere Funktion: $ \cos(x) + 3 $
  • äußere Funktion: $x^2$

• Benenne die Funktionen, die angewendet werden.

  Tipps

  Die äußere Funktion umschließt die innere Funktion.

  Beispiel:

  • innere Funktion: $k(x)$
  • äußere Funktion: $l(x)$
  • Verkettung: $l(k(x))$

  Lösung

  Wenn wir zwei Funktionsvorschriften hintereinander ausführen, dann sprechen wir von einer Verkettung von Funktionen. Dabei ist der zuerst ausgeführte Term die sogenannte innere Funktion. Den Term, den wir danach anwenden, bezeichnet man als äußere Funktion.

  Betrachten wir die Funktionen:
  

  • $u(x) = e^x$
  • $v(x) = x^2 + 1$

  Die innere Funktion ist $v(x) = x^2 + 1$. Auf ihren Term wenden wir die Vorschrift der äußeren Funktion $u(x) = e^x$ an und erhalten:
  $u(v(x)) = e^{x^2 + 1}$

• Stelle den Funktionsterm auf.

  Tipps

  Wenn wir mehr als zwei Funktionen verketten, können wir die Funktionsterme nacheinander einsetzen, beginnend mit der innersten Funktion.

  Beispiel:

  • $u(x) = 2x$
  • $v(x) = 5^x$
  • $w(x) = x^3$

  $v(w(u(x))) = v(w(2x)) = v((2x)^3) = v(8x^3) = 5^{8x^3}$

  Lösung

  Wir können zwei oder mehr Funktionsvorschriften in einer Funktionsgleichung zusammenfassen. Dazu führen wir die Funktionsterme hintereinander aus.

  $f(x) = v(w(u(x)))$ mit:

  • $u(x) = \frac{2}{x + 1}$
  • $v(x) = \cos(x)$
  • $w(x) = x^3$

  Wir setzen nacheinander von innen nach außen ein:
  $f(x) = v(w(u(x))) = v(w\left(\frac{2}{x + 1}\right)) = v(\left(\frac{2}{x + 1}\right)^3) = v\left(\frac{8}{(x + 1)^3}\right) = \cos\left(\frac{8}{(x + 1)^3}\right)$