Vielecke im Überblick

Vielecke im Überblick Übung

• Fasse dein Wissen über Vielecke zusammen.

  Tipps

  Das Gebäude des amerikanischen Verteidungsministeriums ist ein Pentagon und der Grundriss von Frankreich sieht so ähnlich aus wie ein Hexagon.

  Nimm ein Blatt Papier und zeichne ein Vieleck, zum Beispiel ein Viereck. Benenne es, wie du es gelernt hast. Das hilft dir beim Lösen des Lückentextes.

  Lösung

  Polygon heißt wörtlich übersetzt eigentlich „viele Winkel". Da Winkel aber nur da entstehen können, wo zwei Linien aufeinander treffen, wird Polygon oft mit „viele Ecken" oder Vieleck übersetzt. Die Vorsilbe „penta" steht für fünf, „hexa" für sechs.

  Die Benennung von Vielecken ist einheitlich festgelegt: Die Außenlinien sind die Seiten, Kanten oder Seitenkanten und werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Die Enden der Seiten sind Punkte und werden mit Großbuchstaben bezeichnet.

  Eigentlich ist die Benennung der Punkte und Seiten egal. So können die Eckpunkte eines Dreiecks auch E, U und Y heißen und die Seiten g, i und m. Zur Vereinfachung verwendet man aber meistens A, B, C für die Punkte und a, b und c für die Seiten.

  Bei Dreiecken heißen die Seiten so wie die gegenüberliegenden Punkte. Bei Vierecken heißen die Seiten wie die anliegenden Punkte.

  Um nun die Innenwinkel zu beschriften, benutzt man - da Groß- und Kleinbuchstaben schon vergeben sind - das griechische Alphabet.

  Bei den Diagonalen wiederum denkt man daran, dass es sich dabei um Strecken handelt und verwendet deswegen zur Benennung Kleinbuchstaben.

• Benenne die abgebildeten Vielecke.

  Tipps

  Beginne mit Begriffen, die dir leicht fallen.

  Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel zueinander sind.

  Bei einem Parallelogramm sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Rauten, Rechtecke und Quadrate sind besondere Arten von Parallelogrammen.

  Lösung

  Zähle die Ecken, so kannst du Dreieck, Fünfeck und Sechseck leicht zuordnen.

  Quadrat, Raute, Rechteck, Parallelogramm und Trapez sind Vierecke.

  Im Trapez ist ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel.

  Im Parallelogramm, einem besonderen Trapez, sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang.

  Rechtecke sind besondere Parallelogramme: Dort sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang und alle Winkel betragen 90°.

  Auch die Raute ist ein besonderes Parallelogramm: Sie hat vier gleich lange Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel.

  Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten, jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und alle Winkel betragen 90°. Es ist sowohl ein besonderes Rechteck als auch eine besondere Raute.

• Entscheide, welche Bedingungen für regelmäßige Vielecke gelten.

  Tipps

  Ein gleichseitiges Dreieck ist das einfachste regelmäßige Vieleck. Überlege, welche der Aussagen auf diese Figur zutreffen.

  Nur zwei Aussagen sind richtig.

  Lösung

  In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel und alle Seiten gleich groß.

  Das abgebildete Pentagon zum Beispiel ist ein regelmäßiges Fünfeck. Man erkennt deutlich, dass alle Winkel zwar gleich groß sind, aber nicht 90° betragen.

  Außerdem sieht man, dass alle Seiten zwar gleich lang sind, aber nicht parallel zueinander.

  Das einfachste regelmäßige Vieleck ist ein gleichseitiges Dreieck. Es gibt also auch regelmäßige Vielecke mit weniger als vier Ecken.

• Benenne die Bestandteile des Vierecks.

  Tipps

  Bei Dreiecken werden die Seiten benannt wie die gegenüberliegenden Punkte. Bei Vierecken erhalten die Seiten den gleichen Buchstaben wie die anliegenden Seiten.

  Der griechische Buchstabe für a ist $\alpha$. Er befindet sich bei Punkt A in Vierecken.

  Lösung

  Die Seiten eines Vierecks werden entgegen des Uhrzeigersinns mit Kleinbuchstaben benannt. Also muss die obere Seite mit c bezeichnet werden, die untere Seite mit a.

  Der Punkt A liegt links an der Seite a an. Die anderen drei Punkte werden entsprechend gegen den Uhrzeigersinn mit B, C und D bezeichnet.

  Die Winkel erhalten die gleichen Buchstaben wie die Punkte, an denen sie sich befinden, allerdings als griechische Buchstaben:

  • α (Alpha) bei A
  • β (Beta) bei B
  • γ (Gamma) bei C
  • δ (Delta) bei D

• Ordne die Vielecke den passenden Arten zu.

  Tipps

  Vielecke werden nach der Anzahl ihrer Ecken benannt.

  Lösung

  Vielecke werden nach der Anzahl ihrer Ecken sortiert.

  Ein Vieleck muss mindestens drei Ecken haben, eine Obergrenze für die Anzahl der Ecken gibt es nicht.

  Es gibt gerade bei den Vierecken viele unterschiedliche Arten, zum beispiel Quadrat, Raute, Rechteck, Parallelogramm und Trapez. Im Trapez ist ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel.

  Im Parallelogramm, einem besonderen Trapez, sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang.

  Rechtecke sind besondere Parallelogramme: Dort sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang und alle Winkel betragen 90°.

  Auch die Raute ist ein besonderes Parallelogramm: Sie hat vier gleich lange Seiten. Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel.

  Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten, jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und alle Winkel betragen 90°. Es ist sowohl ein besonderes Rechteck als auch eine besondere Raute.

• Wie groß ist der Innenwinkel der angegebenen Figur?

  Tipps

  Hier benötigst du eine Nebenrechnung.

  Verwende die Formel zur Berechnung der Winkelsumme eines n-Ecks.

  Die Formel zur Berechnung der Winkelsumme eines n-Ecks lautet:

  Winkelsumme $= (n-2) \cdot 180$°.

  Erinnere dich: Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.

  Wenn du die Winkelsumme kennst, wie groß ist dann jeder einzelne Innenwinkel des Oktagons?

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung eines n-Ecks lautet:

  Winkelsumme $=(n-2) \cdot 180$°.

  Das gezeigte Vieleck ist ein Achteck, also ist $n=8$. Damit errechnest du die Winkelsumme so:

  $\begin{align} \text{Winkelsumme} &= (8 -2)\cdot 180°\\ &=6 \cdot 180°\\ &= 1080° \end{align}$.

  Diese $1080°$ werden nun auf 8 gleiche Winkel aufgeteilt, also:

  $\begin{align} \text{Innenwinkel} &= 1080° : 8\\ &=135°\end{align}$.

  Jeder Innenwinkel hat also eine Größe von $135°$.