Was ist der Umfang?
Der Umfang einer Form ist die Gesamtlänge ihrer Seiten. Man kann den Umfang entweder mit einer Schnur messen, die man um die Form herum legt, oder indem man einfach die Längen aller Seiten zusammenrechnet. Finde heraus, wie man den Umfang verschiedener Formen berechnet! Klingt das interessant für dich? Weitere spannende Informationen dazu findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Was ist der Umfang?
Was ist der Umfang?
Um für ein Bild einen passenden Rahmen zu basteln, musst du wissen, wie viel Holz du für die Ränder brauchst. Dazu hilft dir der Umfang des Bildes. In diesem Video wird einfach erklärt, was der Umfang ist und wie du ihn messen kannst.
Hier siehst du Bilder in ganz verschiedenen Formen:
Kannst du die verschiedenen Formen benennen? Links oben siehst du ein Quadrat, daneben ein Dreieck. Die Form unten links ist ein Sechseck. Zähle die Ecken nach, um das zu überprüfen! Unten rechts siehst du noch ein Rechteck.
Der Umfang des Quadrats ist die Länge der Linie, die das Quadrat umrandet.
Dasselbe gilt auch für andere Formen:
Der Umfang einer Figur ist die Länge ihres Randes.
Umfang messen
Du kannst den Umfang einer Form messen, indem du eine Schnur genau um die Form herumlegst. Die Schnur soll so zugeschnitten sein, dass sie genau um die äußere Begrenzungslinie der Form passt und nicht übersteht.
Wenn du das geschafft hast, kannst du die Schnur wieder abwickeln und gerade auf den Tisch legen. Miss mit einem Lineal die Länge der Schnur. Diese Länge ist der Umfang der Form.
Der Umfang des Quadrates im Bild ist also $U=20~\text{cm}$. Statt in $\text{cm}$ (Zentimetern) kannst du den Umfang auch in $\text m$ (Metern) oder in $\text{km}$ (Kilometern) messen. Welche Einheit besser passt, hängt von der Größe der Form ab.
Wusstest du schon?
Nicht nur eckige, sondern auch gekrümmte Flächen haben eine Umfang. Das größte Lebewesen der Erde, der Riesenmammutbaum kann einen Umfang von mehr als 30 Metern haben! Damit ist der Umfang seines Stammes an der dicksten Stelle gemeint.
Es bräuchte um die 20 Personen, um so einen Baumstamm mit den Armen umschließen zu können!
Umfang berechnen
Statt mit einer Schnur kannst du den Umfang auch direkt an der Form selbst messen. Bei einem Rechteck misst du zuerst einzeln die Längen der Seiten. Die lange Seite im folgenden Bild ist $9~\text{cm}$ lang, die kurze Seite hat eine Länge von $3~\text{cm}$. Die beiden gegenüberliegenden Seiten haben jeweils dieselben Längen:
Jetzt rechnen wir die gesamte Länge des Randes aus. Dazu rechnen wir die Längen aller vier Seiten zusammen:
$U= 9~\text{cm} +3~\text{cm} +9~\text{cm} +3~\text{cm} = 24~\text{cm}$
Der Umfang des Rechtecks beträgt also $24~\text{cm}$!
Kennst du das?
Hast du schon einmal einen Spaziergang um ein Fußballfeld oder einen See gemacht und dich gefragt, wie weit du gelaufen bist? Das ist ein gutes Beispiel dafür, wie der Umfang funktioniert: Der Umfang des Feldes oder Sees ist die gesamte Strecke, die du darum herumgelaufen bist.
Wenn du den Umfang kennst, weißt du genau, wie weit dein Spaziergang ging. So siehst du, wie Mathematik in deinem Alltag vorkommt!
Umfang – Formeln
Wie du gesehen hast, berechnest du den Umfang einer Figur, indem du ihre Seitenlängen miteinander addierst.
Ein Dreieck hat drei Seiten $a$, $b$ und $c$. Du berechnest den Umfang eines Dreiecks, indem du diese drei Seiten zusammenrechnest, also addierst:
Dreieck – Umfang
$U= a + b + c$
Entsprechend gehst du bei Rechtecken vor. Im Beispiel hast du vielleicht schon gesehen, dass die gegenüberliegenden Seiten und eines Rechtecks gleich lang sind. Du musst also nur zwei Seitenlängen kennen, $a$ und $b$. So ergibt sich für den Umfang von Rechtecken die folgende Formel:
Rechteck – Umfang
$U= a + b + a + b = 2 \cdot a + 2 \cdot b$
Das Quadrat ist ein spezielles Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Um den Umfang eines Quadrats zu berechnen, muss also nur eine Seitenlänge $a$ bekannt sein:
Quadrat – Umfang
$U= a + a + a + a = 4 \cdot a$
Allgemein werden bei der Berechnung des Umfangs alle Seitenlängen addiert. Je nach Figur variiert (änder sich) die Anzahl der Seiten und wie viele gleichlange Seiten es gibt.
Schlaue Idee
Wenn du wissen möchtest, wie viel Zaun du für eine Fläche brauchst, misst du die Längen aller Seiten und addierst sie. Das ergibt den Umfang der Fläche, die du einzäunen möchtest – so lang muss der Zaun insgesamt sein.
Umfang – Übungen
Ausblick – das lernst du nach Was ist der Umfang?
Als nächstes lernst du, was der Flächeninhalt ist und wie man Flächen vergleichen kann. Lerne weitere geometrische Grundbegriffe kennen und wie man mit Zirkel und Geodreieck arbeitet. Packe die neuen Herausforderungen an!
Zusammenfassung des Umfangs
- Der Umfang ist die Summe aller Seitenlängen.
- Indem du eine Schnur um eine Figur legst und anschließend die Länge der Schnur misst, kannst du den Umfang der Figur messen.
- Alternativ kannst du mit einem Lineal die einzelnen Seiten ausmessen und die Längen der Seiten anschließend addieren.
- Die genaue Formel zur Berechnung des Umfangs ist für verschiedene Formen bzw. Figuren unterschiedlich.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Umfang
Transkript Was ist der Umfang?
Kappu hat Bilder von seiner Familie geschickt bekommen. Er möchte diese aufhängen, damit er sie immer betrachten kann. Da er es langweilig findet, wenn die Fotos alle eine Form haben, hat er sie unterschiedlich zurechtgeschnitten. Doch sie haben noch keine Rahmen. Kappu hat da aber schon eine Idee: Er möchte die Rahmen selber bauen. Dafür hat er schon Holz besorgt. Um passende Rahmen zu bauen, muss er wissen, was der Umfang ist. Betrachten wir dazu doch noch einmal die Bilder. Kannst du die verschiedenen Formen erkennen? Dieses Bild hat die Form eines Quadrats hier haben wir ein Dreieck ein Sechseck und ein Rechteck. Kappu möchte zuerst einen Rahmen für das quadratische Bild bauen. Dazu muss er wissen, wie lang diese Begrenzungslinie ist. Er hat sich überlegt, dass er sich eine Schnur zur Hilfe nehmen kann. Passt sie genau um das Quadrat, so wie hier, kann er sie messen und weiß die Länge. Nun legt er die Schnur gerade hin und kann mit einem Lineal ausmessen, wie lang sie ist. Kannst du ablesen, wie lang sie ist? Es sind genau 20 cm. Das Holz für diesen Rahmen muss also 20 cm lang sein. Und diese Länge ist der Umfang des Quadrats. Die Länge des Randes einer Figur ist also der Umfang einer Figur. Wir kürzen dies mit einem 'U' ab. Wir haben den Umfang in cm gemessen. Man kann den Umfang aber zum Beispiel auch in Metern, Dezimetern, Millimetern messen. Auch andere Formen haben einen Umfang. Wir können eine Schnur um das Dreieck legen und so auch hier den Umfang ausmessen. Wie lang ist der Umfang des Dreiecks? 15 cm. Auch das Sechseck hat einen Umfang, den wir genauso ausmessen können. Da hat Kappu ja schon ganz schön viel herausgefunden. Es fehlt ihm nur noch der Umfang dieses Bildes. Weißt du, welche Form es hat? Es ist ein Rechteck. Wir können den Umfang auch ausmessen, ohne dass wir zuerst eine Schnur zur Hilfe nehmen. Das Rechteck hat vier Seiten. Wir können nun zunächst die Längen der einzelnen Seiten messen. Diese Seite hat eine Länge von 9 cm und diese Seite ist 3 cm lang. Da diese beiden Seiten gegenüberliegen, sind sie gleich lang. Und auch diese beiden Seiten liegen gegenüber voneinander. Sie sind also ebenfalls gleich lang. Weißt du noch was der Umfang ist? Kannst du Kappu helfen? Die Länge des Randes. Rechnen wir also die Längen der einzelnen Seiten zusammen, so erhalten wir die Länge des gesamten Randes. Wir rechnen also 9 cm + 9 cm + 3 cm + 3 cm. 9 cm plus 9 cm sind 18 cm. 3cm plus 3cm ergibt 6 cm. Kannst du den letzten Schritt berechnen? Und damit haben wir den Umfang des Rechtecks berechnet: 24 cm. Kappu kann sich also an die Arbeit machen. Er ist schon ganz aufgeregt die Bilder mit den Rahmen aufzuhängen. Bevor wir das Werk betrachten können, schauen wir uns noch an, was wir gelernt haben. Der Umfang ist die Länge des Randes einer Figur. Wir kürzen ihn mit einem U ab. Figuren wie das Rechteck, das Quadrat, das Dreieck oder das Sechseck haben einen Umfang. Wir messen ihn in Längenmaßen, wie zum Beispiel mm, cm, dm oder m. Kappu hat all seine Bilder eingerahmt und ist sehr zufrieden mit seiner Arbeit. Jetzt kann er seine Familie immer betrachten.
Was ist der Umfang? Übung
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Wie heißen die geometrischen Formen? Gib an.
TippsBeim Finden der Namen hilft dir die Anzahl der Ecken.
Ein Quadrat ist ein ganz besonderes Viereck.
In einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.
LösungGeometrische Formen kannst du anhand ihres Aussehens unterscheiden. Jede Form hat andere Eigenschaften, die sie unverwechselbar machen:
- Das Dreieck besitzt drei Ecken.
- Das Sechseck besitzt sechs Ecken.
- Das Rechteck ist ein besonderes Viereck. In ihm sind die gegenüberliegenden Seiten immer gleich lang.
- Das Quadrat ist ebenfalls ein besonderes Viereck. In ihm sind alle Seiten gleich lang.
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Welchen Umfang haben die Figuren? Berechne.
TippsDer Umfang ist die Länge des gesamten Randes.
Um den gesamten Rand zu berechnen, musst du alle Seitenlängen addieren.
Seite 1 + Seite 2 + Seite 3 + ...
LösungDu kannst für jede geometrische Form den Umfang berechnen. Dafür musst du die Länge des gesamten Randes ermitteln. Dazu addierst du alle Seiten der Figur.
Das Quadrat besitzt vier Seiten. Alle Seiten sind gleich lang. Für unser Beispiel rechnest du:
U = 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm = 16 cm
Das Rechteck besitzt ebenfalls vier Seiten. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.
U = 7 cm + 7 cm + 2 cm + 2 cm = 18 cm
Das Dreieck besitzt nur drei Seiten. Alle sind unterschiedlich lang. Du rechnest:
U = 4 cm + 5 cm + 6 cm = 15 cm
Das Sechseck besitzt sechs Seiten, die alle gleich lang sind.
U = 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 12 cm
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Wie rechnest du den Umfang aus? Zeige.
TippsDie gleichfarbigen Seiten sind gleich lang. Überlege, wie dir das weiterhelfen kann.
LösungBei beiden Figuren handelt es sich um Vierecke mit besonderen Eigenschaften. Diese helfen dir dabei, den Umfang zu berechnen, obwohl du nicht alle Seitenlängen kennst:
Die erste Figur wird Rechteck genannt. Du erkennst sie daran, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel zueinander sind. Wenn du also zwei unterschiedliche Seitenlängen kennst, weißt du auch, wie lang die anderen Seiten sind:
U = 8 cm + 8 cm + 4 cm + 4cm
U = 16 cm + 8 cm
U = 24 cm
Die zweite Figur ist ein Quadrat. In einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. Kennst du also eine Seitenlänge, weißt du auch, wie lang die anderen Seiten sind:
U = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5cm
U = 20 cm
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Welche Figuren haben den gleichen Umfang? Bestimme.
TippsUm den Umfang einer Figur zu berechnen, musst du alle Seiten der Figur addieren.
In einem Rechteck sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.
In einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.
LösungFiguren können sehr unterschiedlich aussehen und trotzdem den gleichen Umfang besitzen. Entscheidend ist nur, wie lang ihre Seiten zusammen sind.
- Paar 1:
Umfang = 5 cm + 5 cm + 3 cm + 3 cm = 16 cm
- Paar 2:
U = 3 cm + 3 cm + 7 cm + 7 cm = 20 cm
- Paar 3:
U = 4 cm + 4 cm + 2 cm + 2 cm = 12 cm
- Paar 4:
U = 7 cm + 7 cm + 2 cm + 2 cm = 18 cm
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Wie kannst du den Umfang mit einer Schnur messen? Zeige.
TippsDen Umfang kannst du an deinem Lineal ablesen und zum Schluss notieren.
LösungWillst du wissen, wie groß der Umfang eines Quadrats ist, musst du herausfinden, wie lang der gesamte Rand ist. Dafür kannst du eine ganz einfache Schnur verwenden, welche du auf den Rand der Figur legst. Wichtig ist, dass diese genau einmal um die Figur passt. Sie muss also genauso lang sein.
Nun musst du nur noch herausfinden, wie lang die verwendete Schnur ist. Mithilfe eines Lineals kannst du es ausmessen. In unserem Beispiel sind es U = 20 cm. -
Wie lang muss der Zaun um die Gehege sein? Entscheide.
TippsZähle die Meter auf jeder Zaunseite und berechne den Umfang.
Bedenke: Ecksteine müssen doppelt gezählt werden, da sie zwei Zaunseiten besitzen.
LösungAuch im Alltag kann das Berechnen des Umfangs nützlich sein. Wenn du zum Beispiel die Länge eines Zaunes berechnen willst, ist es mithilfe des Umfangs gar nicht so schwer. Du kannst sehen, dass jedes Kästchen 1 m lang ist. Wenn du weißt, wie viele Kästchen an jeder Seite vorhanden sind, kannst du den Umfang ganz einfach berechnen:
Das Entengehege ist quadratisch. Das heißt, alle Seiten sind gleich lang. Jede Seite besteht aus 6 Kästchen. Das bedeutet für den Umfang:
U = 6 m + 6 m + 6 m + 6 m = 24 m
Die Schafsweide ist ein Rechteck. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang. Eine Seite besitzt 7 Kästchen und die andere Seite 8 Kästchen.
U = 8 m + 8 m + 7 m + 7 m = 30 m
Die Pferdekoppel besitzt sechs unterschiedlich lange Seiten. Den Umfang berechnest du nun, indem du die Kästchen jeder Seite zählst und addierst:
U = 9 m + 5 m + 1 m + 2 m + 8 m + 7 m = 32 m lang.
Die Kuhweide besitzt ebenfalls sechs Seiten mit unterschiedlichen Längen. Dort gehst du ganz genauso vor:
U = 10 m + 2 m + 2 m + 5 m + 8 m + 7m = 34 m
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Das Video ist hilfreich und sehr cool 😎
ich bin in der 4 und das hat mir echt geholfen
DEr Affe ist immer der beste fürs verstehen danke Sofa
Mega Video.Morgen ist Mathe dran 😬😬😬
Ich hoffe das Video hat mir geholfen 🙏🏻🙏🏻🙏🏻🙏🏻
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Der Affe heißt Kappu