Streuungsparameter: Spannweite, Standardabweichung, Varianz

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist ein Streuungsparameter?
• Notenverteilung in einer Klassenarbeit
• Minimum, Maximum und Spannweite
• Varianz und Standardabweichung
• Ausblick Binomial- und Normalverteilung

Was ist ein Streuungsparameter?

Die beschreibende Statistik beschäftigt sich mit der Erhebung sowie Darstellung von Daten.

Es gibt verschiedene statistische Kennwerte zur Erklärung oder Beschreibung von statistischen Daten:

• Lageparameter und
• Streuungsparameter.

Ein Lageparameter ist ein Kennwert dafür, in welchem Bereich die Daten sich befinden. Ein Streuungsparameter ist ein Kennwert dafür, wie weit die Daten von dem Lageparameter abweichen.

Notenverteilung in einer Klassenarbeit

In deiner Klasse wurde eine Mathematik-Klassenarbeit zum Thema Statistik geschrieben. Hier siehst du die zugehörige Notentabelle:

$\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c} \text{Note}&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{Anzahl}&2&8&8&7&2&2 \end{array}$

Gibt dein Lehrer die Durchschnittsnote an? Diese ist das arithmetische Mittel aller Noten.

• Du multiplizierst jede Note mit der zugehörigen Anzahl.
• Dann addierst du die Produkte und teilst die Summe durch die Anzahl der Schüler:

$\frac{2\cdot 1+8\cdot 2+8\cdot 3+7\cdot 4+2\cdot 5+2\cdot 6}{29}=\frac{92}{29}\approx3,2$

Dies ist ein Mittelwert, also ein Lageparameter.

Zur Ermittlung einiger Streuungsparameter benötigst du einen solchen Mittelwert.

Minimum, Maximum und Spannweite

• Das Minimum eines Datensatzes ist dessen kleinster Wert. Hier ist das Minimum die Note 1.
• Das Maximum eines Datensatzes ist dessen größter Wert. Hier ist das Maximum die Note 6.
• Die Spannweite ist die Differenz von Maximum und Minimum, hier also $6-1=5$.

Die Spannweite ist ein Streuungsparameter.

Varianz und Standardabweichung

Die Berechnung der Varianz schauen wir uns an dem Beispiel mit den Noten an:

• Du bildest jeweils die Differenz der Note und der Durchschnittsnote.
• Diese Differenz quadrierst du.
• Dann multiplizierst du dieses Quadrat mit der Häufigkeit der Note.
• Nun addierst du alle so erhaltenen Produkte.
• Schließlich dividierst du die Summe durch die Anzahl der Schüler.

$V=\frac{2\cdot (1-3,2)^2+8\cdot (2-3,2)^2+8\cdot (3-3,2)^2+7\cdot(4-3,2)^2+2\cdot (5-3,2)^2+2\cdot (6-32,2)^2}{29}=\frac{1204}{725}\approx 1,661$

Die Standardabweichung $\sigma$ ist die Wurzel aus der Varianz: $\sigma=\sqrt{V}$.

In dem obigen Beispiel bedeutet dies $\sigma=\sqrt{1,661}\approx1,289$.

Was bedeutet dies?

• Ziehst du von dem Mittelwert die Standardabweichung ab, erhältst du $3,2-1,289=1,911$.
• Addierst du zu dem Mittelwert die Standardabweichung, so erhältst du $3,2+1,289=4,489$.

Wenn du dies in Noten ausdrückst, kannst du folgern, dass zwischen den Noten 2 und 4 (diese Noten inbegriffen) die meisten Noten liegen.

Allgemein ist die Varianz so definiert:

Sei $X$ eine Zufallsgröße mit den Ausprägungen $x_{1}$, ... , $x_{n}$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_{1})$, ... , $P(X=x_{n})$. Der Erwartungswert $\mu=E(X)$ lässt sich wie folgt berechnen:

$\mu=E(X)=\sum\limits_{i=1}^n~x_i\cdot P(X=x_i)$

Nun kann die Varianz berechnet werden:

$V(X)=\sum\limits_{i=1}^n~\left(x_i-\mu\right)^2\cdot P(X=x_i)$

Du erkennst vielleicht Ähnlichkeiten zu der obigen Beispielrechnung.

Die Standardabweichung ist (immer!) die Wurzel aus dieser Varianz: $\sigma=\sqrt{V(X)}$.

Ausblick Binomial- und Normalverteilung

Sei $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße mit der Bernoullikettenlänge $n$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$, dann gilt:

• $\mu=n\cdot p$
• $V(X)=n\cdot p\cdot (1-p)$
• $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

Du kannst diese Binomialverteilung durch Einführung einer weiteren Zufallsgröße $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ so standardisieren, dass gilt

• $E(Z)=0$
• $V(Z)=1$

Mit Hilfe dieser standardisierten Binomialverteilung gelangst du durch immer größer werdendes $n$ schließlich zu der Normalverteilung.