Bruchgleichungen lösen (Übungsvideo)

Rechenweg:
Bestimme den Definitionsbereich, indem du die Nenner $x - 4$ und $x + 2$ untersuchst. Da die Nenner nicht null sein dürfen, setze $x - 4 \neq 0$ und $x + 2 \neq 0$. Dies ergibt $x \neq 4$ und $x \neq -2$, daher dürfen diese beiden Werte nicht in die Gleichung eingesetzt werden.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 4\}$.

Rechenweg:
Bestimme den Definitionsbereich, indem du die Nenner $x + 5$ und $x - 1$ untersuchst. Für $x + 5$ darf der Nenner nicht null sein, also $x \neq -5$. Ebenso gilt für $x - 1 \neq 0$, dass $x \neq 1$. Damit sind die beiden Werte $-5$ und $1$ ausgeschlossen.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5; 1\}$.

Rechenweg:
Untersuche den Definitionsbereich, indem du die Nenner $x - 3$ und $x + 7$ analysierst. Setze $x - 3 \neq 0$, woraus $x \neq 3$ folgt. Zusätzlich setze $x + 7 \neq 0$, was $x \neq -7$ ergibt. Diese beiden Werte sind somit aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-7; 3\}$.

Rechenweg:
Bestimme den Definitionsbereich, indem du die Nenner $x - 6$ und $x + 1$ untersuchst. Für $x - 6$ gilt $x \neq 6$, da der Nenner nicht null sein darf. Für $x + 1$ ergibt sich $x \neq -1$. Die beiden Werte $6$ und $-1$ sind daher ausgeschlossen.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 6\}$.

Rechenweg:
Untersuche den Definitionsbereich der Bruchgleichung, indem du die Nenner $x + 3$ und $x - 4$ überprüfst. Für $x + 3$ muss $x \neq -3$ gelten, und für $x - 4$ muss $x \neq 4$ sein, damit die Nenner nicht null werden. Die Werte $-3$ und $4$ dürfen daher nicht eingesetzt werden.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 4\}$.

Rechenweg:
Bestimme den Definitionsbereich, indem du die Nenner $x - 2$ und $x + 5$ analysierst. Da der Nenner $x - 2$ nicht null sein darf, folgt $x \neq 2$. Ebenso ergibt $x + 5 \neq 0$, dass $x \neq -5$. Die beiden Werte $2$ und $-5$ sind daher ausgeschlossen.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5; 2\}$.

Rechenweg:
Untersuche den Definitionsbereich der Bruchgleichung, indem du die Nenner $x + 4$ und $x - 1$ überprüfst. Für $x + 4$ gilt $x \neq -4$, und für $x - 1$ ergibt sich $x \neq 1$. Damit dürfen die beiden Werte $-4$ und $1$ nicht eingesetzt werden.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4; 1\}$.

Rechenweg:
Bestimme den Definitionsbereich, indem du die Nenner $x - 5$ und $x + 3$ untersuchst. Für $x - 5$ darf der Nenner nicht null sein, also $x \neq 5$. Ebenso gilt für $x + 3 \neq 0$, dass $x \neq -3$. Die beiden Werte $5$ und $-3$ dürfen nicht in die Gleichung eingesetzt werden.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 5\}$.

Rechenweg:
Überprüfe den Definitionsbereich, indem du die Nenner $x + 2$ und $x - 6$ betrachtest. Da der Nenner $x + 2$ nicht null sein darf, ergibt sich $x \neq -2$. Für $x - 6$ gilt $x \neq 6$. Diese beiden Werte sind aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 6\}$.

Rechenweg:
Untersuche den Definitionsbereich der Bruchgleichung, indem du die Nenner $x + 3$ und $x - 2$ analysierst. Setze $x + 3 \neq 0$, was $x \neq -3$ ergibt. Für $x - 2$ gilt $x \neq 2$. Somit sind die beiden Werte $-3$ und $2$ aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 2\}$.

Rechenweg:
Bestimme den Definitionsbereich $\mathbb{D}$, sodass $x \neq -5$. Somit ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5\}$.

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $(x + 5)$:
$8 = 4 \cdot (x + 5)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$8 = 4x + 20$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite:
$4x = -12$

Teile durch $4$:
$x = -3$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{-3\}$.

Rechenweg:
Ermittle den Definitionsbereich $\mathbb{D}$, sodass $x \neq 6$. Daher ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{6\}$.

Multipliziere die Gleichung mit $(x - 6)$:
$9 = 3 \cdot (x - 6)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$9 = 3x - 18$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite:
$3x = 27$

Teile durch $3$:
$x = 9$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{6\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{9\}$.

Rechenweg:
Bestimme den Definitionsbereich $\mathbb{D}$, sodass $x \neq -2$. Somit ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $(x + 2)$:
$10 = 5 \cdot (x + 2)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$10 = 5x + 10$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite:
$0 = 5x$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{0\}$.

Rechenweg:
Der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ ist gegeben durch $x \neq 1$, also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $(x - 1)$:
$4 = 2 \cdot (x - 1)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$4 = 2x - 2$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite:
$2x = 6$

Teile durch $2$:
$x = 3$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{3\}$.

Rechenweg:
Der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ ist gegeben durch $x \neq -1$, also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Multipliziere beide Seiten mit $(x + 1)$:
$6 = 3 \cdot (x + 1)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$6 = 3x + 3$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite:
$3x = 3$

Teile durch $3$:
$x = 1$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{1\}$.

Rechenweg:
Der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ ist gegeben durch $x \neq 4$, also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{4\}$.

Multipliziere beide Seiten mit $(x - 4)$:
$5 = 5 \cdot (x - 4)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$5 = 5x - 20$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite:
$5x = 25$

Teile durch $5$:
$x = 5$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{4\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{5\}$.

Rechenweg:
Der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ ist gegeben durch $x \neq -3$, also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

Multipliziere beide Seiten mit $(x + 3)$:
$3 = 1 \cdot (x + 3)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$3 = x + 3$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite:
$x = 0$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{0\}$.

Rechenweg:
Zuerst den Definitionsbereich $\mathbb{D}$ bestimmen: $x \neq 2$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $(x - 2)$, um den Bruch zu eliminieren:
$2 = 6 \cdot (x - 2)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$2 = 6x - 12$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere:
$6x = 14$

Teile schließlich durch $6$:
$x = \dfrac{7}{3}$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \left\{\frac{7}{3}\right\}$.

Rechenweg:
Zuerst den Definitionsbereich $\mathbb{D}$ bestimmen: $x \neq -4$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$.

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $(x + 4)$:
$5 = 10 \cdot (x + 4)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$5 = 10x + 40$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite:
$-35 = 10x$

Teile durch $10$:
$x = -3{,}5$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \left\{-3{,}5}\right\}$.

Rechenweg:
Bestimme den Definitionsbereich $\mathbb{D}$, sodass $x \neq 3$. Daher ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.

Multipliziere die Gleichung mit $(x - 3)$:
$7 = 14 \cdot (x - 3)$

Multipliziere die rechte Seite aus:
$7 = 14x - 42$

Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite:
$14x = 49$

Teile durch $14$:
$x = 3{,}5$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \left\{3{,}5\right\}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x + 2 \neq 0$, also $x \neq -2$.

Multipliziere beide Seiten über Kreuz:
$5 \cdot (x + 2) = 15 \cdot (x + 2)$

Subtrahiere $5 \cdot (x + 2)$ von beiden Seiten:
$0 = 10 \cdot (x + 2)$

Teile durch $10$:
$0 = x + 2$

Löse nach $x$ auf:
$x = -2$

Da $x = -2$ nicht in $\mathbb{D}$ liegt, gibt es keine gültige Lösung.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{~\}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x - 3 \neq 0$ und $2x - 6 \neq 0$, also $x \neq 3$.

Schreibe die Gleichung mit $2x - 6 = 2 \cdot (x - 3)$ um:
$\dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{4}{2 \cdot (x - 3)}$

Vereinfache den rechten Bruch, indem du mit zwei kürzt:
$\dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{2}{x - 3}$

Auf beiden Seiten steht derselbe Bruch, somit ist die Gleichung für alle $x \in \mathbb{D}$ erfüllt.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \mathbb{D}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x - 1 \neq 0$ und $x + 2 \neq 0$, also $x \neq 1$ und $x \neq -2$.

Multipliziere über Kreuz:
$6 \cdot (x + 2) = 9 \cdot (x - 1)$

Multipliziere die Klammern aus:
$6x + 12 = 9x - 9$

Subtrahiere $6x$ von beiden Seiten:
$12 = 3x - 9$

Addiere $9$ zu beiden Seiten:
$21 = 3x$

Teile beide Seiten durch $3$:
$x = 7$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 1\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{7\}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x - 5 \neq 0$, also $x \neq 5$.

Multipliziere beide Seiten über Kreuz:
$4 \cdot (x - 5) = 8 \cdot (x - 5)$

Subtrahiere $4 \cdot (x - 5)$ von beiden Seiten:
$0 = 4 \cdot (x - 5)$

Teile durch $4$:
$0 = x - 5$

Löse nach $x$ auf:
$x = 5$

Da $x = 5$ nicht in $\mathbb{D}$ liegt, gibt es keine gültige Lösung.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{5\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{~\}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x + 3 \neq 0$ und $2x + 6 \neq 0$, also $x \neq -3$.

Schreibe die Gleichung mit $2x + 6 = 2 \cdot (x + 3)$ um:
$\dfrac{5}{x + 3} = \dfrac{10}{2 \cdot (x + 3)}$

Vereinfache den rechten Bruch, indem du mit zwei kürzt:
$\dfrac{5}{x + 3} = \dfrac{5}{x + 3}$

Auf beiden Seiten der Gleichung steht derselbe Bruch, somit ist die Gleichung für alle $x \in \mathbb{D}$ erfüllt.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \mathbb{D}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x + 1 \neq 0$ und $x + 5 \neq 0$, also $x \neq -1$ und $x \neq -5$.

Multipliziere über Kreuz:
$7 \cdot (x + 5) = 14 \cdot (x + 1)$

Multipliziere die Klammern aus:
$7x + 35 = 14x + 14$

Subtrahiere $7x$ von beiden Seiten:
$35 = 7x + 14$

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten:
$21 = 7x$

Teile beide Seiten durch $7$:
$x = 3$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5; -1\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{3\}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x - 6 \neq 0$, also $x \neq 6$.

Multipliziere beide Seiten über Kreuz:
$9 \cdot (x - 6) = 18 \cdot (x - 6)$

Subtrahiere $9 \cdot (x - 6)$ von beiden Seiten:
$0 = 9 \cdot (x - 6)$

Teile durch $9$:
$0 = x - 6$

Löse nach $x$ auf:
$x = 6$

Da $x = 6$ nicht in $\mathbb{D}$ liegt, gibt es keine gültige Lösung.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{6\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{~\}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x - 2 \neq 0$ und $2x - 4 \neq 0$, also $x \neq 2$.

Schreibe die Gleichung mit $2x - 4 = 2 \cdot (x - 2)$ um:
$\dfrac{3}{x - 2} = \dfrac{6}{2 \cdot (x - 2)}$

Vereinfache den rechten Bruch, indem du mit zwei kürzt:
$\dfrac{3}{x - 2} = \dfrac{3}{x - 2}$

Auf beiden Seiten der Gleichung steht derselbe Bruch, somit ist die Gleichung für alle $x \in \mathbb{D}$ erfüllt.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \mathbb{D}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x - 2 \neq 0$ und $x + 1 \neq 0$, also $x \neq 2$ und $x \neq -1$.

Multipliziere über Kreuz:
$8 \cdot (x + 1) = 12 \cdot (x - 2)$

Multipliziere die Klammern aus:
$8x + 8 = 12x - 24$

Subtrahiere $8x$ von beiden Seiten:
$8 = 4x - 24$

Addiere $24$ zu beiden Seiten:
$32 = 4x$

Teile beide Seiten durch $4$:
$x = 8$

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 2\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{8\}$.

Rechenweg:
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ durch $x + 4 \neq 0$, also $x \neq -4$.

Multipliziere beide Seiten über Kreuz:
$10 \cdot (x + 4) = 20 \cdot (x + 4)$

Subtrahiere $10 \cdot (x + 4)$ von beiden Seiten:
$0 = 10 \cdot (x + 4)$

Teile durch $10$:
$0 = x + 4$

Löse nach $x$ auf:
$x = -4$

Da $x = -4$ nicht in $\mathbb{D}$ liegt, gibt es keine gültige Lösung.

Lösung:
Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$ und die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{~\}$.

Rechenweg:
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $(x + 6)(x - 5)$, um die Brüche zu eliminieren. Dadurch ergibt sich:
$7(x - 5) = 14(x + 6)$

Löse die Klammern auf:
$7x - 35 = 14x + 84$

Bringe alle Terme mit $x$ auf die linke Seite und die konstanten Terme auf die rechte Seite, indem du $-14x$ und $+35$ rechnest:
$-7x = 119$

Teile abschließend beide Seiten durch $-7$, sodass $x = -17$ entsteht.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-6; 5\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-17\}$

Rechenweg:
Multipliziere beide Seiten mit $(x + 4)(x - 2)$, um die Brüche zu eliminieren. Dies ergibt:
$7(x - 2) = 7(x + 4)$

Teile beide Seiten durch $7$, wodurch $x - 2 = x + 4$ bleibt. Subtrahiere $x$ von beiden Seiten und erhalte $-2 = 4$, was falsch ist. Daher gibt es keine Lösung.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4; 2\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{~\}$

Rechenweg:
Schreibe den Zähler als $6(x + 3)$, sodass die Gleichung zu
$\dfrac{6(x + 3)}{x + 3} = 6$
wird. Da $x + 3 \neq 0$, kürze $x + 3$ aus dem Zähler und Nenner. Es bleibt $6 = 6$, was immer wahr ist. Daher gilt die Gleichung für alle $x \neq -3$.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \mathbb{D}$

Rechenweg:
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $(x + 3)(x - 2)$, um die Brüche zu eliminieren. Dadurch ergibt sich:
$4(x - 2) = 8(x + 3)$

Löse die Klammern auf:
$4x - 8 = 8x + 24$

Bringe alle Terme mit $x$ auf die linke Seite und die konstanten Terme auf die rechte Seite, indem du $-8x$ und $+8$ rechnest:
$-4x = 32$

Teile abschließend beide Seiten durch $-4$, sodass $x = -8$ entsteht.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 2\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-8\}$

Rechenweg:
Schreibe den Zähler als $4(x + 2)$, sodass die Gleichung zu
$\dfrac{4(x + 2)}{x + 2} = 4$
wird. Da $x + 2 \neq 0$, kürze den Bruch. Es bleibt $4 = 4$, was immer wahr ist. Daher gilt die Gleichung für alle $x \neq -2$.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \mathbb{D}$

Rechenweg:
Multipliziere beide Seiten mit $(x + 1)(x - 2)$, um die Brüche zu eliminieren. Es ergibt sich:
$8(x - 2) = 8(x + 1)$

Teile beide Seiten durch $8$, sodass $x - 2 = x + 1$ bleibt. Subtrahiere $x$ von beiden Seiten und erhalte $-2 = 1$, was falsch ist. Daher gibt es keine Lösung.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 2\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{~\}$

Rechenweg:
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $(x + 4)(x - 3)$, um die Brüche zu eliminieren. Dadurch ergibt sich:
$5(x - 3) = 10(x + 4)$

Löse die Klammern auf:
$5x - 15 = 10x + 40$

Bringe alle Terme mit $x$ auf die linke Seite und die konstanten Terme auf die rechte Seite, indem du $-10x$ und $+15$ rechnest:
$-5x = 55$

Teile abschließend beide Seiten durch $-5$, sodass $x = -11$ entsteht.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4; 3\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-11\}$

Rechenweg:
Multipliziere beide Seiten mit $(x + 5)$, um den Bruch zu eliminieren. Es ergibt sich $10 = 15$, was falsch ist. Es gibt daher keine Lösung für diese Gleichung.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{~\}$

Rechenweg:
Schreibe den Zähler als $9(x + 2)$, sodass die Gleichung zu
$\dfrac{9(x + 2)}{x + 2} = 9$
wird. Da $x + 2 \neq 0$, kürze den Bruch. Es bleibt $9 = 9$, was immer wahr ist. Daher gilt die Gleichung für alle $x \neq -2$.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \mathbb{D}$

Rechenweg:
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $(x + 7)(x - 3)$, um die Brüche zu eliminieren. Es ergibt sich:
$4(x - 3) = 4(x + 7)$

Teile beide Seiten durch $4$, wodurch
$x - 3 = x + 7$
bleibt. Subtrahiere $x$ von beiden Seiten, sodass $-3 = 7$ entsteht, was falsch ist. Daher gibt es keine Lösung.

Lösung:
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-7; 3\}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{~\}$