Geometrische Reihen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Reihe?
• Rechenregeln für Reihen
• Die geometrische Reihe
• Achilles und die Schildkröte
• Geometrische Reihen zur Darstellung von periodischen Dezimalbrüchen

Was ist eine Reihe?

Eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Kommt dann nicht immer eine unendlich große Zahl heraus, wenn man unendlich viele Zahlen addiert? Bei Reihen beschäftigt man sich also damit, ob das Ergebnis einer Reihe ein endlicher Wert ist oder - anders ausgedrückt - ob die Reihe konvergiert.

Hier siehst du eine Reihe in einer allgemeinen Schreibweise:

$S=\sum\limits_{k=0}^{\infty}~a_k=a_0+a_1+a_2+...$

Das Summenzeichen $\sum$ kürzt die Schreibweise mit unendlich vielen Summanden ab. Die natürliche Zahl $k$ ist der Laufindex der Reihe, weil sie alle natürlichen Zahlen durchläuft.

Um zu prüfen, ob eine Reihe einen endlichen Wert hat, betrachtet man die Partialsummen. Das bedeutet, es werden nur endlich viele Summanden addiert:

$s_n=\sum\limits_{k=0}^{n}~a_k$

Damit kann der Wert der Reihe als Grenzwert der Partialsummen angegeben werden, sofern dieser existiert.

$S=\sum\limits_{k=0}^{\infty}~a_k=\lim\limits_{n\to\infty} s_n$

Wenn dieser Grenzwert existiert, heißt die Reihe konvergent, andernfalls divergent. Zum Beispiel sind diese Reihen divergent:

• $S=\sum\limits_{k=0}^{\infty}~1=1+1+1+...$
• $S=\sum\limits_{k=0}^{\infty}~k=0+1+2+3+...$

Rechenregeln für Reihen

Da der Wert einer Reihe - sofern vorhanden - als Grenzwert der Partialsummen berechnet werden kann, ist es sinnvoll, sich einige Rechenregeln hierfür zu merken:

Wenn die obere und untere Summationsgrenze übereinstimmen, gilt:

$\sum\limits_{k=n}^{n}~a_k=a_n$

Die Partialsummen können auch addiert oder subtrahiert werden:

$\sum\limits_{k=0}^{n}~(a_k \pm b_k)=\sum\limits_{k=0}^{n}~a_k \pm \sum\limits_{k=0}^{n}~b_k$

Schließlich kann als Verallgemeinerung des Distributivgesetzes wie folgt gerechnet werden. Wir sagen auch, dass ein Faktor aus der Summe „herausgezogen“ wird. Ein solcher Faktor kann dann vor die Summe geschrieben werden:

$\sum\limits_{k=0}^{n}~(c\cdot a_k)=c\cdot \sum\limits_{k=0}^{n}~a_k$

Damit gilt insbesondere:

$\sum\limits_{k=0}^{n}~c=c\cdot \sum\limits_{k=0}^{n}~1=c\cdot\underbrace{(1+...+1)}_{\text{n-mal}}=c\cdot n$

Du kannst eine Summe natürlich auch aufteilen, für $l\le n$ gilt:

$\sum\limits_{k=0}^{n}~a_k=\sum\limits_{k=0}^{l}~a_k+\sum\limits_{k=l+1}^{n}~a_k$

Die geometrische Reihe

Die geometrische Reihe gehört zu den wichtigsten Reihen in der Mathematik. Diese ist gegeben durch:

$S=\sum\limits_{k=0}^{\infty}~a\cdot q^k$

In Abhängigkeit von $q$ ist die geometrische Reihe entweder konvergent ($0<|q|<1$) oder divergent ($|q|>1$). Betrachten wir nun den konvergenten Fall. Wir wollen natürlich gerne wissen, was der Wert dieser konvergenten Reihe ist.

Dafür berechnen wir zunächst die Partialsumme und dann den Grenzwert dieser Partialsumme.

$\begin{array}{rcl}s_n&=&\sum\limits_{k=0}^{n}~a\cdot q^k\\ &=&a+a\cdot q+a\cdot q^2+...+a\cdot q^n\\ &=&a(1+q+q^2+...+q^n) \end{array}$,

Multiplizieren wir nun die Gleichung mit $1-q$. Was uns das nützt, können wir am Ende sehen:

$\begin{array}{rcl}(1-q)s_n&=&a(1-q)(1+q+q^2+...+q^n)\\ &=&a\left(1+q+q^2+...+q^n-q-q^2-...-q^n-q^{n+1}\right)\\ &=&a\left(1+q-q+q^2-q^2\pm...+q^n-q^n-q^{n+1}\right)\\ &=&a(1-q^{n+1}) \end{array}$

Es gilt also $(1-q)s_n=a(1-q^{n+1})$. Indem man durch $1-q$ dividiert, erhält man für die Partialsumme:

$s_n=\frac{a(1-q^{n+1})}{1-q}$

Nun wird noch der Grenzwert der Partialsumme berechnet:

$S=\lim\limits_{n\to \infty}s_n=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a(1-q^{n+1})}{1-q}=\frac{a}{1-q}$

Da $0<|q|<1$ gilt, haben wir folgenden Ausdruck verwendet:

$\lim \limits_{n \to \infty}q^{n+1}=0$

Der Wert der Reihe $ S= \sum \limits_{k=0}^{\infty}~a\cdot q^k$ ist somit $\frac{a}{1-q}$, also endlich.

Achilles und die Schildkröte

Zenon von Elea (* um 490 v. Chr; † um 430 v. Chr.) war ein griechischer Philosoph. Auf ihn soll das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte zurückgehen.

Achilles und eine Schildkröte veranstalten ein Wettrennen. Da Achilles schneller ist als die Schildkröte, gibt er der Schildkröte einen Vorsprung von einer Stadionlänge. Achilles ist zehnmal schneller als die Schildkröte. Wenn Achilles eine Stadionlänge zurückgelegt hat, ist die Schildkröte wieder ein Zehntel einer Stadionlänge weiter. Hat Achilles auch diese Länge zurückgelegt, ist die Schildkröte ein weiteres Hundertstel der Stadionlänge weiter. Zenon vermutete, dass Achilles die Schildkröte nie einholen kann.

Um die zurückgelegten Strecken sowohl der Schildkröte als auch von Achilles zu berechnen, werden Reihen benötigt. Für Achilles gilt:

$A=1+\frac1{10}+\frac1{100}+\frac1{1000}+...=\sum\limits_{k=0}^{\infty}~\left(\frac1{10}\right)^k$

Mit der obigen Formel für geometrische Reihen gilt:

$A=\frac{1}{1-\frac1{10}}=\frac1{\frac9{10}}=\frac{10}9=1,\bar1$

Ebenso kann der von der Schildkröte zurückgelegte Weg berechnet werden. Dieser ist $S=0,\bar1$. Wir sehen also wiederum, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.

Zenon irrte sich jedoch: Achilles kann die Schildkröte natürlich einholen.

Geometrische Reihen zur Darstellung von periodischen Dezimalbrüchen

Ein periodischer Dezimalbruch ist zum Beispiel:

$0,\overline{234}=0,234234234...$

Dieser lässt sich als unendliche Summe, also als Reihe, schreiben:

$\begin{array}{rcl}0,\overline{234}&=&0,234\cdot \left(\frac1{1000}\right)^0+0,234\cdot \left(\frac1{1000}\right)^1+0,234\cdot \left(\frac1{1000}\right)^2+... \\ &=&\sum\limits_{k=0}^{\infty}0,234\cdot\left(\frac1{1000}\right)^k\end{array}$

Dies ist eine geometrische Reihe:

$0,\overline{234}=\frac{0,234}{1-\frac1{1000}}=\frac{0,234}{\frac{999}{1000}}=\frac{234}{999}$

Dieser Bruch kann noch gekürzt werden zu:

$0,\overline{234}=\frac{26}{111}$