Folgen und Reihen

Folgen und Reihen

Sinnvoll mit Unendlichkeiten rechnen – das gelingt uns zum ersten Mal in der Behandlung von Folgen und Reihen.

Dabei finden wir Antworten auf diese und mehr Fragen:

• Lässt sich der intuitive Gedanke von „unendlich klein werdenden“ oder „unendlich groß werdenden“ Zahlen sinnvoll in die strengen Regeln der Mathematik integrieren?
• Was bedeutet es, dass sich zwei Größen immer weiter einander annähern?
• Kann ich unendlich viele positive Zahlen addieren und dennoch ein endliches Ergebnis erhalten?

Folgen

Eine Folge ist zu verstehen als eine unendliche Abzählung von Objekten. Diese Objekte sind häufig reelle Zahlen; ein Beispiel ist die harmonische Folge: $\displaystyle a_n = \left(1, \frac 1 2, \frac 1 3, \dots, \frac 1 n, \dots \right),$ die man auch als $a_n = \frac 1 n; \, n \in \mathbb N$ schreiben kann. Das $n$ in der Schreibweise $a_n$ ist der sogenannte Index, man nennt $a_n$ auch das $n$-te Folgenglied.

Die zentrale Fragestellung beim Thema Folgen ist die Untersuchung auf Konvergenz, also die Suche nach Grenzwerten.

Grenzwerte und Konvergenz

Ein Grenzwert einer Folge ist eine Zahl, an die sich die Folge annähert und dabei beliebig kleine, vorgegebene Abstände von dieser Zahl nie mehr überschreitet.

Die strenge mathematische Definition lautet:

Eine Folge mit den Folgengliedern $a_n$ konvergiert gegen eine Zahl $a$, wenn für jedes beliebige $\varepsilon \gt 0$ ein Index $N$ existiert, sodass $\displaystyle \left\vert a_n - a \right\vert \leq \varepsilon$ für alle $n \gt N$ gilt. Man schreibt dann: $\displaystyle \lim \limits_{n \to \infty} a_n = a.$

Die harmonische Folge $a_n = \frac 1 n$ etwa konvergiert gegen den Grenzwert $0$, weil für beliebig kleine (positive) Zahlen $\varepsilon$ immer ein Index $N$ existiert, ab dem alle Folgenglieder näher am Grenzwert $0$ liegen als $\varepsilon$, nämlich $N>\frac 1 {\varepsilon}$.

Reihen

Reihen sind Summen mit beliebig vielen – auch unendlich vielen – Summanden. Die einzelnen Summanden werden häufig als Glieder einer Folge angegeben, um die Schreibweise zu verkürzen: $\displaystyle \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n$ bedeutet die unendliche Summe über alle Glieder der Folge $a_n$.

Man könnte erwarten, dass solche unendlichen Summen nur einen endlichen Wert haben können, wenn entweder die Folgenglieder irgendwann gleich $0$ werden oder sich durch wechselnde Vorzeichen gegenseitig aufheben. Tatsächlich gibt es aber sogar Reihen über ausschließlich positive Zahlen, die dennoch eine endliche Summe besitzen. Hierbei handelt es sich um die sogenannte Reihenkonvergenz.