Grenzwert einer Folge – Beispiele für Divergenz

Grenzwert einer Folge – Beispiele für Divergenz Übung

• Beschreibe, warum die Folgen divergent sind.

  Tipps

  Eine Folge heißt divergent, wenn sie keinen endlichen Grenzwert besitzt.

  Eine Folge, deren Folgenglieder immer größer werden, ist divergent.

  Man spricht hier auch von uneigentlicher Konvergenz.

  Wie verhält sich die Folge $(-1)^n$ für $n\in \mathbb{N}$? Berechne die ersten Folgenglieder.

  Lösung

  Die Folge $a_n=1+n^2$ ist divergent. Die ersten Folgenglieder sind $a_1=2$, $a_2=5$ und $a_3=10$. Du kannst erkennen, dass die Folgenglieder immer größer werden. Man sagt auch, dass die Folge uneigentlich konvergiert.

  Die Folge $b_n=(-1)^n \cdot (n+2)$ ist divergent. Der erste Faktor $(-1)^n$ ist je nach $n$ $1$ ($n$ gerade) oder $-1$ ($n$ ungerade). Eine solche Folge heißt alternierend. Der zweite Faktor wird immer größer. Das bedeutet, dass die Folgenglieder bei wechselndem Vorzeichen immer größer werden.

  Die Folge $c_n=\frac{n^2+1}{n+2}$ ist divergent. Wenn du für $n$ sehr große Zahlen einsetzt, ist im Zähler nur noch $n^2$ und im Nenner $n$ ausschlaggebend. Da im Zähler $n$ im Quadrat steht, werden die Folgenglieder immer größer. Allgemein gilt: Wenn der höchste Exponent im Zähler größer als der im Nenner ist, so ist die Folge divergent.

  Die Folge $d_n=1+(-1)^n$ ist divergent. Der zweite Summand ist wieder die alternierende Folge $(-1)^n$. Die ersten Folgenglieder sind $a_1=0$, $a_2=2$, $a_3=0$ und $a_4=2$. Du siehst, dass die Folgenglieder $0$ oder $2$ werden. Deswegen ist auch diese Folge divergent.

• Gib an, warum Folgen divergent oder konvergent sein können.

  Tipps

  Divergenz bedeutet frei übersetzt „auseinanderstrebend“.

  Berechne einige Folgenglieder der Folge $a_n=(-1)^n$.

  Lösung

  Eine Folge heißt divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt. Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert besitzt.

  Bei einer alternierenden Folge $a_n=(-1)^n$ wechselt das Vorzeichen abhängig davon, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Diese Folge besitzt also keinen endlichen Grenzwert und ist divergent.

  Wenn die Folgenglieder einer Folge immer größer werden, spricht man von uneigentlicher Konvergenz. Im Sinne der Definition, welche einen endlichen Grenzwert voraussetzt, ist die Folge divergent.

  Die Folgenglieder der Folge $a_n=1+n^2$ werden immer größer. Dies kannst du bereits an den ersten Folgengliedern erkennen: $a_1=2$, $a_2=5$, $a_3=10$, $a_4=17$, ...

• Bestimme, welche Folgen konvergent sind.

  Tipps

  Zur Bestimmung eines Grenzwertes kannst du einige Folgenglieder ausrechnen.

  Eine Folge, die einen endlichen Grenzwert besitzt, heißt konvergent, ansonsten divergent.

  Überlege bei jeder Folge, ob ihre Folgenglieder immer größer werden.

  Im Falle der Konvergenz muss der Grenzwert endlich sein.

  Lösung

  • $a_n=2^n$ ist eine divergente Folge. Die Folgenglieder $a_1=1$, $a_2=4$, $a_3=8$, $a_4=16$, ... werden sehr schnell immer größer.
  • $b_n=0,25^n$ ist eine konvergente Folge. Du kannst sie auch als $b_n=\left( \frac{1}{4}\right)^n=\frac{1}{4^n}$ schreiben. Da der Nenner immer größer wird, geht der gesamte Bruch gegen $0$. $b_n$ ist also eine Nullfolge.
  • Allgemein kannst du feststellen, dass Folgen $a^n$ divergieren, wenn entweder $a>1$ oder $a<-1$ gilt und konvergieren, wenn entweder $-1<a<0$ oder $0<a<1$ gelten. Die Fälle $a=1$ und $a=0$ führen jeweils zu konstanten Folgen, die konvergieren.
  • $c_n=(-1)^n/n$ ist eine Nullfolge, das heißt, sie konvergiert gegen $0$. Zwar steht im Zähler eine alternierende Folge, jedoch wird der Nenner immer größer. Die Folgenglieder nähern sich also der $0$ mit wechselndem Vorzeichen an.
  • $d_n=1+(-0,25)^n$ konvergiert gegen $1$. Wie bei der Folge $b_n$ konvergiert der zweite Summand gegen $0$. Das Vorzeichen ist für die Konvergenz unerheblich.
  • $e_n=2-(-1)^n$ ist divergent. Die Folgenglieder sind entweder $1$ oder $3$.
  • $f_n=n^3/(n^2+1)$ ist eine divergente Folge. Da der höchste Exponent im Zähler größer ist als der im Nenner, werden die Folgenglieder immer größer. Wenn die Folgenglieder immer größer werden, spricht man auch von uneigentlicher Konvergenz.

• Begründe jeweils, warum die Folgen divergent sind.

  Tipps

  Alle vier Folgen sind divergent. Schau dir die jeweilige Begründung genau an und überprüfe diese.

  Eine Folge ist divergent, wenn

  • entweder die Folgenglieder auch mit wechselndem Vorzeichen immer größer werden, d.h. der Grenzwert ist also nicht endlich oder
  • der Grenzwert nicht eindeutig ist.

  Du kannst bei jeder Folge einige Folgenglieder berechnen. Was fällt dir dabei auf?

  Lösung

  Jede der vier Folgen ist divergent. Die Begründung liegt entweder darin, dass

  • der Grenzwert nicht endlich ist, also die Folgenglieder immer größer werden. Dies kann auch mit wechselndem Vorzeichen der Fall sein.
  • oder der Grenzwert nicht eindeutig ist. Dies kommt zum Beispiel oft bei alternierenden Folgen vor.

  Kommen wir nun zu den Aussagen:

  • Bei der Folge $a_n=(-0,5)^n+n$ nähert sich der erste Summand mit wechselndem Vorzeichen der $0$ an. Der zweite Summand wird jedoch immer größer. Die richtige Begründung ist: Die Folgenglieder werden immer größer.
  • Die Folge $b_n=n-\frac{1}{n}$ hat die ersten Folgenglieder $a_1=0$, $a_2=1,5$, $a_3=\frac{8}{3}$ und $a_4=3,75$. Du kannst erkennen, dass die Folgenglieder immer größer werden.
  • Die Folge $c_n=\left( \frac{3}{2} \right)^n$ ist divergent, da die Basis größer ist als $1$. Durch das Potenzieren mit $n$ werden die Folgenglieder immer größer. Wenn die Basis kleiner als $1$ oder kleiner als $-1$ ist, dann konvergiert die Folge.
  • Die Folge $d_n=\frac{n^2}{2-n}$ ist divergent, da der höchste Exponent im Zähler größer ist als der im Nenner. Deshalb werden die Folgenglieder immer größer.

• Ergänze die Aussagen zu dem Experiment „DIN-A4-Blatt“.

  Tipps

  Ein DIN-A4-Blatt hat ungefähr die Maße 297 mm (Höhe), 210 mm (Breite) und 0,1 mm (Dicke).

  Wird beim Falten die Dicke größer oder kleiner? Wie oft kannst du ein Blatt knicken?

  Falte mal ein Blatt und beobachte, wie die Dicke und Breite sich verändern.

  Lösung

  Ein DIN-A4-Blatt hat ungefähr die Maße 297 mm (Höhe), 210 mm (Breite) und 0,1 mm (Dicke).

  Wenn du ein DIN-A4-Blatt in der Mitte der Höhe oder der Breite faltest, so verdoppelt sich zum einen die Dicke und halbiert sich zum anderen die Höhe oder die Breite. Je nachdem wie du gefaltet hast.

  Du kannst das ja gerne einmal ausprobieren. Du kannst das Blatt 6-7 mal falten.

  Wenn du das Blatt beliebig oft falten könntest, würdest du sowohl für die Dicke, also auch für die Breite nach $n$ Faltungen jeweils eine Folge erhalten.

  Die Folge für die Dicke nach $n$ Faltungen ist $e_n=2^n \cdot 0,1$. Diese Folge ist divergent.

  Die Folge für die Breite nach $n$ Faltungen ist $f_n=\left( \frac{1}{2}\right)^n \cdot 210$. Diese Folge ist eine Nullfolge (Folge mit dem Grenzwert $0$) und damit kovergent.

  Das bedeutet, dass die Dicke unendlich groß und die Breite immer kleiner wird.

  Wie oft musst du das Blatt falten, sofern dies möglich wäre, um eine Strecke zu erhalten, die bis zum Mond reicht? Dafür musst die Entfernung zum Mond kennen, diese ist ungefähr 384 400 km. 384 400 km entsprechen 384 400 000 000 mm. Wir rechnen also diese Entfernung zuerst in mm um, setzen dass Ergebnis in die Gleichung der Folge ein und lösen dann die Gleichung mit dem Logarithmus.

  $$\begin{align*} 2^n\cdot 0,1&= 384 ~400 ~000 ~000 &&|\cdot (10) \\ 2^n&=3~ 844 ~000 ~000~ 000 &&|log\\ log(2) \cdot n &= log(3~ 844~ 000~ 000 ~000) &&|:log(2) \\ n&=\frac{log(3~ 844~ 000~ 000~ 000)}{log(2)} \approx41,8 \end{align*}$$

  Wenn du das Blatt also theoretisch ungefähr 42-mal knicken könntest, würdest du bis zum Mond gelangen.

• Untersuche die Folge auf Divergenz.

  Tipps

  Die Anzahl der Reiskörner wird von Feld zu Feld verdoppelt. Wie viele Felder hat ein Schachbrett insgesamt? Das Bild kann dir helfen, sie zu zählen.

  Eine Folge heißt divergent, wenn sie keinen endlichen Grenzwert besitzt.

  Um die Aufgabe zu lösen, brauchst du deinen Taschenrechner, den Logarithmus $log$ und das Logarithmusgesetz $log(a^b)=b\cdot log(a)$

  Lösung

  Ein Schachbrett hat insgesamt 64 (= 8 $ \cdot$ 8) Felder. Auf dem ersten Feld liegt ein Reiskorn, auf dem zweiten 2, auf dem dritten 4, auf dem vierten 8, ... Das bedeutet, dass auf dem $n$-ten Feld $2^{n-1}$ Reiskörner liegen. Wenn du nun die Einschränkung, dass die 64 Felder mit Reiskörnern belegt werden, außen vor lässt, erhältst du die Folge $a_n=2^{n-1}$ für die Anzahl der Reiskörner auf dem $n$-ten Feld.

  Wie du an der Erklärung zu dem Schachbrett bereits erkennen kannst, verdoppelt sich die Zahl der Reiskörner von Feld zu Feld. Die Folge $a_n$ ist also divergent.

  Nun könntest du dich auch fragen, wie viele Reiskörner denn auf dem 64. Feld liegen?

  Die Antwort lautet $2^{64-1}=2^{63}=9~223~372~036~854~775~808$.

  Auf welchem Feld befindet sich 1 kg Reis bzw. ungefähr $65~000$ Körner?

  Die Antwort erhältst du durch die Gleichung:

  $\begin{align*} 2^{n-1}&=65~000 &&|log \\ (n-1) \cdot log(2)&=log(65~000) &&|:log(2)\\ n-1&=\frac{log(65~000)}{log(2)} &&|+1 \\ n&\approx 17 \end{align*}$.

  Das heißt, dass ungefähr auf dem 17. Feld ca. 1 kg Reis liegt.