Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen beschreiben die Verhältnisse von Winkeln und Längen im Einheitskreis. Sinus, Cosinus und Tangens sind die grundlegenden Funktionen. Entdecke, wie man sie am Einheitskreis abliest und berechnet. Interessiert? Weitere Details zur Definition und Anwendung findest du weiter unten im Text!
- Trigonometrische Funktionen – Definition
- Trigonometrische Funktionen – Formeln
- Trigonometrische Funktionen – Sinus
- Trigonometrische Funktionen – Cosinus
- Trigonometrische Funktionen – Tangens
- Trigonometrische Funktionen – Eigenschaften
- Trigonometrische Funktionen – Funktionsgraph
- Trigonometrische Funktionen – Argument
- Trigonometrische Funktionen – Nullstellen
- Trigonometrische Funktionen – Wertebereich
- Trigonometrische Funktionen – Amplitude, Periode und Symmetrie
- Trigonometrische Funktionen – Parameter
- Trigonometrische Funktionen – Rechenregeln
- Trigonometrische Funktionen – Aufgaben
- Ausblick – das lernst du nach Trigonometrische Funktionen
- Zusammenfassung der trigonometrischen Funktionen
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Funktionen
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Lerntext zum Thema Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen – Definition
Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie in der Mathematik. Sie befasst sich mit mathematischen Zusammenhängen zwischen Kreisbögen und rechtwinkligen Dreiecken.
Als trigonometrische Funktionen bezeichnet man Funktionen, die die Verhältnisse zwischen den Längen und Winkeln bzw. Bogenlängen im Einheitskreis und in rechtwinkligen Dreiecken bezeichnen.
Die elementaren trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion , die Cosinusfunktion und die Tangensfunktion .
Trigonometrische Funktionen werden auch Winkelfunktionen genannt, da sie einen Winkel
In der folgenden Abbildung siehst du einen Einheitskreis, also einen Kreis mit Radius . Hier ist eingezeichnet, wie sich die Längen, die
Du kannst dir hier vorstellen, wie sich , und verändern, wenn der Winkel andere Werte zwischen und annimmt. Die blaue Linie () wandert mit zunehmendem Winkel entgegen dem Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt . Dabei verändert sich ihre Länge nicht – die Längen der grünen, roten und orangen Linien ändern sich allerdings sehr wohl in Abhängigkeit von .
Wusstest du schon?
Die Sinus- und Kosinusfunktionen waren bereits im Griechenland der Antike bekannt! Der Mathematiker Hipparchos nutzte sie zum Beispiel, um die Positionen von Himmelskörpern zu berechnen. Also, das nächste Mal, wenn du den Sinuswinkel berechnest, denk daran: Du trittst in die Fußstapfen der antiken Sternenguckerinnen und Sternengucker!
Bogenlänge und Bogenmaß
Der Winkel im Einheitskreis kann in Grad angegeben werden, aber auch mithilfe der Bogenlänge.
Der zu gehörige Kreisbogen wird im ersten Quadranten von der ‑Achse und dem eingezeichneten
Diese Gleichung können wir nach auflösen. Damit ist die Bogenlänge folgendermaßen definiert:
Da der Radius im Einheitskreis die Länge hat, lässt sich die Bogenlänge direkt aus dem Winkel berechnen:
Man sagt dann auch: ist der Winkel im Bogenmaß.
Allgemein bezeichnet das Bogenmaß das Verhältnis der Bogenlänge zum Radius:
Bezieht man sich auf den Einheitskreis, entspricht das Bogenmaß direkt der Bogenlänge in der Einheit .
Diese Einheit leitet sich vom lateinischen Wort radiant ab. Die Einheitenbezeichnung wird allerdings meist weggelassen, das heißt, Winkel im Bogenmaß (manchmal auch Winkelmaß genannt) werden einfach als Zahlen ohne Einheit geschrieben. Nur durch das ‑Zeichen sind sie von Winkeln im Gradmaß zu unterscheiden.
Fehleralarm
Häufig wird der Winkel in Grad statt in Radiant gemessen, wenn trigonometrische Funktionen berechnet werden. Achtung: Das kann zu falschen Ergebnissen führen!
Darauf solltest du achten, wenn du mit dem Taschenrechner rechnest und verschiedene Winkel als Argument trigonometrischer Funktionen wie , und eingibst. Mit den Befehlen (für degree) und (für radiant) kannst du zwischen Gradmaß und Bogenmaß wechseln.
Trigonometrische Funktionen – Formeln
Im Folgenden gehen wir auf die wichtigsten trigonometrischen Funktionen , und ein und sehen uns an, wie diese in verschiedenen Formeln verwendet werden, um Verhältnisse zwischen Längen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen.
Trigonometrische Funktionen – Sinus
Jedes rechtwinklige Dreieck lässt sich in den ersten Quadranten eines Kreises setzen, so wie wir das in der Abbildung des Einheitskreises gesehen haben.
Die Seite, die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf dem Kreis
verbindet, hat dann die Länge des Radius – die im allgemeinen Fall jetzt nicht mehr gleich ist. Diese Seite ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden Katheten des Dreiecks haben die Längen und , wenn man sich den Kreismittelpunkt als Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems denkt.
Der rechte Winkel des Dreiecks wird von den beiden Katheten eingeschlossen und liegt der Hypotenuse gegenüber.
Der Winkel wird von der Hypotenuse und der Kathete, die auf der
Als Sinus des Winkels bezeichnet man nun das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und Hypotenuse.
Merke:
Im Einheitskreis ist und deshalb gilt dort einfach , wie in der Abbildung oben zu sehen (grüne Linie). Anhand des Einheitskreises kannst du dir auch verdeutlichen, welche verschiedenen Werte der Sinus für bestimmte Winkel annimmt. Es gilt beispielsweise:
Im ersten Quadranten sind alle Werte des Sinus positiv. Für die beiden Grenzfälle und gibt es allerdings keine zugehörigen rechtwinkligen Dreiecke, da dann jeweils die Hypotenuse mit einer der beiden Katheten zusammenfällt.
Trigonometrische Funktionen – Cosinus
Analog zur Sinusfunktion definiert man die Cosinusfunktion. Sie bezieht sich auf die Kathete des rechtwinkligen Dreiecks, die im ersten Quadranten unseres gedachten Kreises auf der
Der Cosinus (auch: Kosinus) des Winkels beschreibt folglich das Verhältnis der Längen von Ankathete und Hypotenuse.
Merke:
Im Einheitskreis gilt einfach (rote Linie in der Abbildung oben).
Aus der Darstellung am Einheitskreis können wir wieder einige Werte ableiten, die der Cosinus für verschiedene Winkel annimmt:
Im ersten Quadranten sind auch alle Werte des Cosinus positiv. Du kannst hier vielleicht schon erkennen, dass es einen gewissen Zusammenhang zwischen den Werten von und gibt. Das muss so sein, denn auch die Seitenlängen der zugehörigen rechtwinkligen Dreiecke sind abhängig voneinander.
Die Länge der Hypotenuse steht mit dem Radius fest (im Einheitskreis gleich ). Bei größeren Winkeln wird (im ersten Quadranten) auch die Gegenkathete (im Einheitskreis ) größer, während die Länge der Ankathete (im Einheitskreis ) entsprechend abnimmt.
Trigonometrische Funktionen – Tangens
In unserer Abbildung des Einheitskreises ist die Seite, die dem Tangens entspricht (orange), nicht Teil des rechtwinkligen Dreiecks innerhalb des Kreises. Trotzdem hängt ihre Länge über die Strahlensätze mit den beiden Katheten des inneren Dreiecks zusammen.
Der Tangens des Winkels drückt das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und Ankathete aus.
Merke:
Da der Tangens das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete beschreibt, ist dessen Wert unabhängig vom Radius . Somit gelten die Werte von des Einheitskreises auch für alle anderen Fälle .
Allerdings ist für bzw. für und alle ungeraden, ganzzahligen Vielfachen von nicht definiert. Denn dann würde das Seitenverhältnis gegen den Wert laufen bzw. der Nenner des Bruchs den Wert annehmen. Gleiches gilt natürlich hinsichtlich des Bruchs . Diese Fälle sind also nicht erlaubt.
Sehen wir uns eine Werte an, die der Tangens für verschiedene Winkel annimmt:
Im ersten Quadranten sind alle Werte des Tangens positiv. Während die Werte von und im ersten Quadranten des Einheitskreises jeweils zwischen und liegen, nimmt allerdings alle positiven Werte zwischen und an.
So direkt, wie der Sinus und der Cosinus mit den Katheten des rechtwinkligen Dreiecks innerhalb des ersten Quadranten zusammenhängen, ist der Tangens leider nicht zu interpretieren. Trotzdem ist die Tangensfunktion ein wichtiges Hilfsmittel beim Rechnen mit Winkeln und Seitenverhältnissen, zum Beispiel auch bei der Berechnung der Steigung linearer Funktionsgraphen.
Trigonometrische Funktionen – Eigenschaften
Die wichtigste Eigenschaft aller trigonometrischen Funktionen ist, dass sie periodisch verlaufen, das heißt die Funktionswerte von , und wiederholen sich nach einer bestimmten Periode wieder.
Das kannst du besonders gut am Einheitskreis nachvollziehen. Wenn der Winkel Werte von bis annimmt, verändern sich mit ihm auch die Funktionswerte von , und . Aber nach , also nach einem Umlauf um den Einheitskreis, wiederholt sich alles wieder.
Das heißt, bei Werten von werden entsprechend gleiche Funktionswerte , und abgebildet wie zuvor bei . Mit jedem weiteren Umlauf wächst der Winkel , also das Argument der trigonometrischen Funktionen, aber die Funktionswerte wiederholen sich periodisch mit der Periode (bzw. im Bogenmaß). Das zeigt sich auch in den Funktionsgraphen der jeweiligen Funktionen.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal einen Stein in einen ruhigen See geworfen und die Wellen beobachtet, die sich kreisförmig ausbreiten. Diese Wellenbewegung ähnelt den Sinus- und Kosinuskurven in der Mathematik, die auch wellenförmig verlaufen. Wenn du die Trigonometrie besser verstehst, kannst du nachvollziehen, wie Wellen in der Physik, Musik und sogar Licht funktionieren. Die Mathematik ist überall um uns herum, sogar in den kleinsten Wellen.
Trigonometrische Funktionen – Funktionsgraph
Sehen wir uns zuerst einmal beispielhaft den Funktionsgraphen der Sinusfunktion an.
Auf der ‑Achse ist hier das Argument der Funktion, also der Winkel aufgetragen – allerdings nicht in Grad, sondern im Bogenmaß als Vielfaches der Kreiszahl . In dieser Darstellung entspricht einem Winkeln von , einem Winkel von und so weiter.
In ‑Richtung sind die Funktionswerte aufgetragen, wobei eben dem Winkel im Bogenmaß entspricht.
Die Periode haben wir hier von einem Hochpunkt zum nächsten eingetragen, wir hätten sie aber genauso gut von Tiefpunkt zu Tiefpunkt oder zwischen zwei anderen Punkten eintragen können, an denen sich sowohl der ‑Wert als auch die Krümmungsrichtung des Graphen aufgrund der Periodizität wiederholen.
Trigonometrische Funktionen – Argument
Für das Argument der trigonometrischen Funktionen wird üblicherweise die Variable verwendet, wenn es sich dabei um einen Winkel im Gradmaß handelt. Wird stattdessen oder manchmal auch geschrieben, wird das Argument (bzw. ) in der Regel im Bogenmaß angegeben – so auch in unserer Abbildung.
Im Bogenmaß liegen die Hochpunkte und Tiefpunkte der Sinusfunktion bei ungeraden, ganzzahligen Vielfachen von und haben die Funktionswerte bzw. .
Bei geraden, ganzzahligen Vielfachen von hat die Sinusfunktion hingegen den
Trigonometrische Funktionen – Nullstellen
Wie bereits erwähnt, liegen die Nullstellen der Sinusfunktion bei geraden, ganzzahligen Vielfachen von . Das ist gleichbedeutend mit allen ganzzahligen Vielfachen von . Wir können also formulieren:
für alle Nullstellen mit
Die Cosinusfunktion verläuft ganz ähnlich wie die Sinusfunktion, allerdings hat genau dort Hoch- und Tiefpunkte, wo Nullstellen hat und genau dort Nullstellen, wo die Hoch- und Tiefpunkte der Sinusfunktion liegen.
Kurz gesagt: Die Cosinusfunktion entspricht einer Verschiebung der Sinusfunktion um . Es gilt:
Also liegen die Hochpunkte und Tiefpunkte der Cosinusfunktion bei ganzzahligen Vielfachen von und die Nullstellen bei ungeraden, ganzzahligen Vielfachen von . Wir können also formulieren:
für alle Nullstellen mit
Die Tangensfunktion hat Nullstellen bei den gleichen Werten wie die Sinusfunktion, denn es gilt ja:
Der Bruch nimmt immer dann den Wert an, wenn der Zähler, also , gleich ist. Es gilt also:
für alle Nullstellen mit
Trigonometrische Funktionen – Wertebereich
Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion haben keine Definitionslücken, sind also für alle
Sinus- und Cosinusfunktion:
Definitionsbereich
Wertebereich
Bei der Tangensfunktion ist das etwas anders. Die Funktion ist an allen Nullstellen von nicht definiert, denn in diesen Fällen würde der Nenner des Bruchs den Wert annehmen. Außerdem kann jeden reellen Wert annehmen. Die Tangensfunktion hat keine Hoch- oder Tiefpunkte, also keine relativen Extrema. Es gilt:
Tangensfunktion:
Definitionsbereich mit
Wertebereich
Trigonometrische Funktionen – Amplitude, Periode und Symmetrie
Wir haben bereits erwähnt, das und an ihren Hoch- und Tiefpunkten jeweils die Funktionswerte und annehmen. Die Funktionswerte der beiden Winkelfunktionen pendeln also zwischen diesen beiden Extremwerten periodisch hin und her, wie ein schwingendes Pendel.
In der Tat werden die Sinus- und die Cosinusfunktion genutzt, um Schwingungen, also periodische Vorgänge wie die Schwingung eines Pendels, mathematisch zu beschreiben. Die maximale Auslenkung eines Pendels nach links und rechts entspricht dann beispielsweise genau den Hoch- und Tiefpunkten der Sinusfunktion, die periodisch immer und immer wieder erreicht werden.
Die maximale Auslenkung einer Schwingung wird auch Amplitude genannt. In diesem Sinne haben sowohl die Sinus- als auch die Cosinusfunktion eine Amplitude mit dem Betrag .
Die Tangensfunktion hat hingegen keine Amplitude, weil sie keine Hoch- und Tiefpunkte hat.
Bezogen auf rechtwinklige Dreiecke können wir uns die Amplitude so vorstellen: Wir können verschiedene Dreiecke mit einem rechten Winkel und einem beliebigen Winkel bilden. Je nach Größe des Winkels kann eine der beiden Katheten theoretisch höchstens so lang werden wie die Hypotenuse. Auf dem Einheitskreis entspricht das der Länge .
Die Amplitude von und entspricht also jeweils der maximal möglichen Kathetenlänge: dem Radius .
So wie ein Pendel im Idealfall (also bei Vernachlässigung der Reibung) unendlich oft zwischen zwei Extrempunkten hin und her schwingt, so kann der Winkel als Argument der Winkelfunktionen unendlich oft den Einheitskreis abfahren und dabei immer wieder die gleichen Funktionswerte , und – bzw. im Bogenmaß , und – produzieren.
Obwohl und ihre Hoch- und Tiefpunkte an jeweils unterschiedlichen Stellen erreichen, ist ihre Periode gleich – sie hat bei beiden Funktionen den Wert . Das heißt, nach – oder eben – wiederholen sich die Funktionswerte jeweils wieder. Hochpunkt folgt auf Hochpunkt im Abstand von auf der ‑Achse und für die Tiefpunkte gilt das Gleiche. Mathematisch können wir diese Periodizität so ausdrücken:
mit
mit
Für die Tangensfunktion gilt hingegen:
mit
Die Funktionswerte von wiederholen sich also mit der Periode statt .
Das können wir anhand des Funktionsgraphen der Tangensfunktion nachvollziehen, die in der folgenden Abbildung dargestellt ist.
Hier siehst du außerdem, dass die Tangensfunktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Das heißt, es gilt:
Auch die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wie du in der Abbildung weiter oben nachvollziehen kannst. Es gilt also auch:
Die Cosinusfunktion ist hingegen achsensymmetrisch zur ‑Achse. Es gilt:
In der folgenden Abbildung ist der Funktionsgraph von dargestellt, zusammen mit allen wichtigen Betrachtungen, die wir zu dieser Funktion aufgestellt haben.
Für die Sinus- und die Tangensfunktion haben wir all diese Betrachtungen ebenfalls herausgearbeitet. Damit kannst du dir eine eigene Übersicht mit allen drei Winkelfunktionen erstellen und die für dich wichtigen Punkte darauf notieren.
Trigonometrische Funktionen – Parameter
Wir haben die grundlegenden trigonometrischen Funktionen bisher in ihren einfachsten Formen , und betrachtet. Diese können allerdings auch mittels verschiedener Parameter modifiziert werden. Eine Sinusfunktion kann beispielsweise auch in dieser Form vorliegen:
Hier haben wir die Parameter , , und . Sehen wir uns an, was diese bedeuten.
Den Parameter haben wir im Prinzip schon kennengelernt. Das ist die Amplitude der Sinusfunktion. Im einfachen Fall hatten wir , aber im Fall kann auch jede andere reelle Zahl sein. Die Amplitude entspricht dem größtmöglichen ‑Wert, also der ‑Koordinate der Hochpunkte der Sinusfunktion.
Ist , handelt es sich demnach um eine Streckung der Sinusfunktion in ‑Richtung.
Mit erreichen wir hingegen eine Stauchung.
Mit einem negativen wird der Funktionsgraph zusätzlich an der ‑Achse gespiegelt, das heißt, Hoch- und Tiefpunkte tauschen die Plätze.Durch den Parameter verändert sich die Periode der Sinusfunktion. Das heißt, die Abstände auf der ‑Achse, in denen sich Nullstellen und Extremstellen abwechseln und wiederholen, werden kleiner oder größer.
Ist , werden die Abstände und damit auch die Periode kleiner, es handelt sich um eine Stauchung in ‑Richtung.
Mit wird hingegen eine Streckung erreicht, die Periode wird größer.
Mit einem negativen wird der Funktionsgraph zusätzlich an der ‑Achse gespiegelt, was wiederum zu einer Vertauschung der Hoch- und Tiefpunkte führt.Der Parameter führt zu einer Verschiebung der Sinusfunktion entlang der ‑Achse. Dafür haben wir schon ein Beispiel gesehen, nämlich die Verschiebung um den Wert , mit der die Sinusfunktion genau deckungsgleich zur Cosinusfunktion wird:
Man nennt auch Phase bzw. spricht von einer Phasenverschiebung.
Eine Phasenverschiebung, die genau dem Wert der Periode entspricht, hat keinen Effekt, denn es gilt ja:
Allerdings ändert sich dieser Wert , wenn es einen Parameter gibt. Für die Sinus- und Cosinusfunktion kann die Periode mit folgender Formel ermittelt werden:Der Parameter führt zu einer Verschiebung des Funktionsgraphen entlang der ‑Achse. Das ist bei den Winkelfunktionen nicht anders als bei allen anderen Arten von Funktionen.
Wusstest du schon?
Sinus und Kosinus sind auch in der Musik zu finden! Elektronische Musikinstrumente wie Synthesizer nutzen diese Funktionen, um elektrische Signale in Töne umzuwandeln. Jede gespielte Note ist im Grunde eine Schwingung, die durch trigonometrische Funktionen beschrieben und modelliert werden kann. Rock on, Mathematik!
Trigonometrische Funktionen – Rechenregeln
Bei der Betrachtung der trigonometrischen Funktionen bei rechtwinkligen Dreiecken haben wir uns auf den ersten Quadranten des Einheitskreises mit einem Winkel beschränkt. Bei der Untersuchung der Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen haben wir unsere Betrachtungen allerdings auf im Bogenmaß erweitert.
Beim Rechnen mit dem Taschenrechner macht das keinen Unterschied, solange du berücksichtigst, wann es sich um einen Winkel in Grad und wann um eine Angabe im Bogenmaß handelt.
Wenn Winkelfunktionen verwendet werden, um periodische Vorgänge wie Schwingungen und Wellen zu beschreiben, ist es immer hilfreich, den Vorgang im Kopf einmal durchzuspielen. Beginnt die Schwingung mit dem Durchlaufen des Nullpunkts, ist der Sinus die passende Funktion, denn . Beginnt sie hingegen mit der maximalen Auslenkung, wird sie durch den Cosinus besser beschrieben, denn .
Versuche dir immer vorzustellen, wo auf dem Einheitskreis sich ein bestimmter Vorgang gerade abspielt. Und präge dir am besten die wichtigsten Werte der Winkelfunktionen gut ein:
0 | ||||
( steht für )
Kannst du die Systematiken erkennen, die sich aufgrund der Periodizität der Winkelfunktionen ergeben? Die Vorzeichen der Funktionswerte ergeben sich direkt aus den ‑ und ‑Achsen des Einheitskreises. Je nach Winkel landet man dort in einem der vier Quadranten.
- Im ersten Quadranten sind , und
- Im zweiten Quadranten ist , aber und
- Im dritten Quadranten sind , und
- Im vierten Quadranten sind und , aber
- Negative Winkel entsprechen einer Drehung im Uhrzeigersinn. So landet man beispielsweise für im vierten Quadranten und erhält entsprechende Funktionswerte. Deshalb gilt beispielsweise:
Den Verlauf der drei elementaren trigonometrischen Funktionen über , also einen Umlauf des Einheitskreises, haben wir in der folgenden Abbildung noch einmal skizziert.
Hier kannst du alle Funktionswerte und auch die Beziehung , also die Verschiebung der Cosinusfunktion gegenüber der Sinusfunktion auf der ‑Achse, noch einmal nachvollziehen.
Auch die Polstellen der Tangensfunktion, also deren Definitionslücken, sind hier noch einmal deutlich zu sehen.
Trigonometrische Funktionen – Aufgaben
Ausblick – das lernst du nach Trigonometrische Funktionen
Begib dich auf die spannende Reise der Analytischen Geometrie! Mit Vektoren und der Addition und Subtraktion von Vektoren kannst du dein Wissen erweitern. Entdecke, wie verschiedene mathematische Konzepte miteinander verknüpft sind und freue dich auf weitere mathematische Entdeckungen!
Zusammenfassung der trigonometrischen Funktionen
- Mit trigonometrischen Funktionen werden die Verhältnisse von Längen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken in Bezug auf den Einheitskreis beschrieben.
- Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion , die Cosinusfunktion und die Tangensfunktion .
- Sinus, Cosinus und Tangens können auch als , und in Abhängigkeit von im Bogenmaß geschrieben werden.
- Die Funktionswerte der Sinus- und Cosinusfunktion liegen stets zwischen und und wiederholen sich periodisch mit der Periode bzw. . Auch die Tangensfunktion ist periodisch, allerdings mit der Periode .
- Für rechtwinklige Dreiecke gelten folgende Formeln in Bezug auf den Winkel , der von der Hypotenuse und der Ankathete des Dreiecks eingeschlossen wird:
trigonometrische Funktion | Seitenverhältnis |
---|---|
Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Funktionen
9.172
sofaheld-Level
6.600
vorgefertigte
Vokabeln
8.084
Lernvideos
37.101
Übungen
33.418
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebezeichnungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Zehnerzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
- Quadrat
- Zahlen sortieren – Übungen
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Zahlen bis 1000 ordnen – Übungen
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Terme mit Variablen aufstellen – Übungen
- Prisma
- Die Grundrechenarten – Übungen
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Zahlen runden – Übungen
- Satz Des Pythagoras
- Ziffern und Stellenwerte – Übungen
- Dreieck Grundschule
- Koordinatensystem – Übungen
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Termumformungen – Übungen
- Volumen Kugel
- Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übungen
- Zahlen In Worten Schreiben
- Schriftliche Division – Übungen
- Meter