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Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen beschreiben die Verhältnisse von Winkeln und Längen im Einheitskreis. Sinus, Cosinus und Tangens sind die grundlegenden Funktionen. Entdecke, wie man sie am Einheitskreis abliest und berechnet. Interessiert? Weitere Details zur Definition und Anwendung findest du weiter unten im Text!

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Welche trigonometrische Funktion beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck?

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Beschreibung zum Video Trigonometrische Funktionen

Du kennst dich mit Dreiecken aus und kannst Sinus und Cosinus eines Winkels berechnen. Aber weißt du auch, was mit Sinusfunktion und Cosinusfunktion gemeint ist? In beiden Fällen handelt es sich um trigonometrische Funktionen. Was trigonometrische Funktionen sind, welche Eigenschaften sie haben und wie du sie berechnen kannst, erfährst du in diesem Video. Dazu werden dir Beispiele am Einheitskreis gezeigt. Nach diesem Video wirst du genau wissen, was eine Sinusfunktion ist.

Lerntext zum Thema Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen – Definition

Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie in der Mathematik. Sie befasst sich mit mathematischen Zusammenhängen zwischen Kreisbögen und rechtwinkligen Dreiecken.

Als trigonometrische Funktionen bezeichnet man Funktionen, die die Verhältnisse zwischen den Längen und Winkeln bzw. Bogenlängen im Einheitskreis und in rechtwinkligen Dreiecken bezeichnen.

Die elementaren trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion sin(α)\sin(\alpha), die Cosinusfunktion cos(α)\cos(\alpha) und die Tangensfunktion tan(α)\tan(\alpha).

Trigonometrische Funktionen werden auch Winkelfunktionen genannt, da sie einen Winkel (hier α\alpha) als Argument haben.
In der folgenden Abbildung siehst du einen Einheitskreis, also einen Kreis mit Radius r=1r = 1. Hier ist eingezeichnet, wie sich die Längen, die sin(α)\sin(\alpha) (grün), cos(α)\cos(\alpha) (rot) und tan(α)\tan(\alpha) (orange) entsprechen, zueinander und zum Winkel α\alpha verhalten.

Winkelfunktionen im Einheitskreis Sinus Cosinus Kosinus Tangens

Du kannst dir hier vorstellen, wie sich sin(α)\sin(\alpha), cos(α)\cos(\alpha) und tan(α)\tan(\alpha) verändern, wenn der Winkel α\alpha andere Werte zwischen 00^\circ und 360360^\circ annimmt. Die blaue Linie (r=1r = 1) wandert mit zunehmendem Winkel α\alpha entgegen dem Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt MM. Dabei verändert sich ihre Länge nicht – die Längen der grünen, roten und orangen Linien ändern sich allerdings sehr wohl in Abhängigkeit von α\alpha.

Wusstest du schon?
Die Sinus- und Kosinusfunktionen waren bereits im Griechenland der Antike bekannt! Der Mathematiker Hipparchos nutzte sie zum Beispiel, um die Positionen von Himmelskörpern zu berechnen. Also, das nächste Mal, wenn du den Sinuswinkel berechnest, denk daran: Du trittst in die Fußstapfen der antiken Sternenguckerinnen und Sternengucker!

Bogenlänge und Bogenmaß

Der Winkel α\alpha im Einheitskreis kann in Grad angegeben werden, aber auch mithilfe der Bogenlänge. Der zu α\alpha gehörige Kreisbogen wird im ersten Quadranten von der xx‑Achse und dem eingezeichneten Radius (blau) begrenzt. Die entsprechende Bogenlänge bb verhält sich zum Umfang des Kreises so wie der Winkel α\alpha zum Vollwinkel. Es gilt also:

b2πr=α360\dfrac{b}{2\,\pi \cdot r} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}

Diese Gleichung können wir nach bb auflösen. Damit ist die Bogenlänge folgendermaßen definiert:

b=2πr360αb = \dfrac{2\,\pi \cdot r}{360^\circ} \cdot \alpha

Da der Radius rr im Einheitskreis die Länge 11 hat, lässt sich die Bogenlänge bb direkt aus dem Winkel α\alpha berechnen:

b=2π1360α=π180αb = \dfrac{2\,\pi \cdot 1}{360^\circ} \cdot \alpha = \dfrac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha

Man sagt dann auch: bb ist der Winkel α\alpha im Bogenmaß.
Allgemein bezeichnet das Bogenmaß das Verhältnis der Bogenlänge zum Radius:

br=π180α\dfrac{b}{r} = \dfrac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha

Bezieht man sich auf den Einheitskreis, entspricht das Bogenmaß direkt der Bogenlänge bb (b1=b)\left(\frac{b}{1} = b \right) in der Einheit rad\text{rad}.

Diese Einheit leitet sich vom lateinischen Wort radiant ab. Die Einheitenbezeichnung rad\text{rad} wird allerdings meist weggelassen, das heißt, Winkel im Bogenmaß (manchmal auch Winkelmaß genannt) werden einfach als Zahlen ohne Einheit geschrieben. Nur durch das ^\circ‑Zeichen sind sie von Winkeln im Gradmaß zu unterscheiden.

Fehleralarm
Häufig wird der Winkel in Grad statt in Radiant gemessen, wenn trigonometrische Funktionen berechnet werden. Achtung: Das kann zu falschen Ergebnissen führen!

Darauf solltest du achten, wenn du mit dem Taschenrechner rechnest und verschiedene Winkel als Argument trigonometrischer Funktionen wie sin(α)\sin(\alpha), cos(α)\cos(\alpha) und tan(α)\tan(\alpha) eingibst. Mit den Befehlen DEG\text{DEG} (für degree) und RAD\text{RAD} (für radiant) kannst du zwischen Gradmaß und Bogenmaß wechseln.

Trigonometrische Funktionen – Formeln

Im Folgenden gehen wir auf die wichtigsten trigonometrischen Funktionen sin(α)\sin(\alpha), cos(α)\cos(\alpha) und tan(α)\tan(\alpha) ein und sehen uns an, wie diese in verschiedenen Formeln verwendet werden, um Verhältnisse zwischen Längen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen.

Trigonometrische Funktionen – Sinus

Jedes rechtwinklige Dreieck lässt sich in den ersten Quadranten eines Kreises setzen, so wie wir das in der Abbildung des Einheitskreises gesehen haben. Die Seite, die den Mittelpunkt MM mit einem Punkt P(xy)P\left(x\,\vert\,y \right) auf dem Kreis verbindet, hat dann die Länge des Radius rr – die im allgemeinen Fall jetzt nicht mehr gleich 11 ist. Diese Seite ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden Katheten des Dreiecks haben die Längen xx und yy, wenn man sich den Kreismittelpunkt MM als Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems denkt.
Der rechte Winkel des Dreiecks wird von den beiden Katheten eingeschlossen und liegt der Hypotenuse gegenüber.
Der Winkel α\alpha wird von der Hypotenuse und der Kathete, die auf der xx‑Achse liegt, eingeschlossen und liegt der anderen Kathete gegenüber. Diese andere Kathete wird deshalb Gegenkathete genannt. Sie hat die Länge yy.

Als Sinus des Winkels α\alpha bezeichnet man nun das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und Hypotenuse.

Merke:
Sinus von α=GegenkatheteHypotenusesin(α)=yr\text{Sinus von}~\alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \Longleftrightarrow \sin(\alpha) = \dfrac{y}{r}

Im Einheitskreis ist r=1r=1 und deshalb gilt dort einfach sin(α)=y\sin(\alpha) = y, wie in der Abbildung oben zu sehen (grüne Linie). Anhand des Einheitskreises kannst du dir auch verdeutlichen, welche verschiedenen Werte der Sinus für bestimmte Winkel α\alpha annimmt. Es gilt beispielsweise:

  • sin(0)=0\sin(0^\circ) = 0
  • sin(30)=12\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
  • sin(45)=22\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  • sin(60)=32\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
  • sin(90)=1\sin(90^\circ) = 1

Im ersten Quadranten sind alle Werte des Sinus positiv. Für die beiden Grenzfälle sin(0)=0\sin(0^\circ) = 0 und sin(90)=1\sin(90^\circ) = 1 gibt es allerdings keine zugehörigen rechtwinkligen Dreiecke, da dann jeweils die Hypotenuse mit einer der beiden Katheten zusammenfällt.

Trigonometrische Funktionen – Cosinus

Analog zur Sinusfunktion definiert man die Cosinusfunktion. Sie bezieht sich auf die Kathete des rechtwinkligen Dreiecks, die im ersten Quadranten unseres gedachten Kreises auf der xx‑Achse des Koordinatensystems liegt. Diese Kathete schließt zusammen mit der Hypotenuse den Winkel α\alpha ein, das heißt, α\alpha liegt an der Kathete an. Deshalb ist das die Ankathete. Sie hat die Länge xx.

Der Cosinus (auch: Kosinus) des Winkels α\alpha beschreibt folglich das Verhältnis der Längen von Ankathete und Hypotenuse.

Merke:
Cosinus von α=AnkatheteHypotenusecos(α)=xr\text{Cosinus von}~\alpha = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \Longleftrightarrow \cos(\alpha) = \dfrac{x}{r}

Im Einheitskreis gilt einfach cos(α)=x\cos(\alpha) = x (rote Linie in der Abbildung oben).
Aus der Darstellung am Einheitskreis können wir wieder einige Werte ableiten, die der Cosinus für verschiedene Winkel α\alpha annimmt:

  • cos(0)=1\cos(0^\circ) = 1
  • cos(30)=32\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
  • cos(45)=22\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  • cos(60)=12\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}
  • cos(90)=0\cos(90^\circ) = 0

Im ersten Quadranten sind auch alle Werte des Cosinus positiv. Du kannst hier vielleicht schon erkennen, dass es einen gewissen Zusammenhang zwischen den Werten von sin(α)\sin(\alpha) und cos(α)\cos(\alpha) gibt. Das muss so sein, denn auch die Seitenlängen der zugehörigen rechtwinkligen Dreiecke sind abhängig voneinander.
Die Länge der Hypotenuse steht mit dem Radius fest (im Einheitskreis gleich 11). Bei größeren Winkeln α\alpha wird (im ersten Quadranten) auch die Gegenkathete (im Einheitskreis y=sinαy = \sin\alpha) größer, während die Länge der Ankathete (im Einheitskreis x=cosαx = \cos\alpha) entsprechend abnimmt.

Trigonometrische Funktionen – Tangens

In unserer Abbildung des Einheitskreises ist die Seite, die dem Tangens entspricht (orange), nicht Teil des rechtwinkligen Dreiecks innerhalb des Kreises. Trotzdem hängt ihre Länge über die Strahlensätze mit den beiden Katheten des inneren Dreiecks zusammen.

Der Tangens des Winkels α\alpha drückt das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und Ankathete aus.

Merke:
Tangens von α=GegenkatheteAnkathetetan(α)=yx=sin(α)cos(α)\text{Tangens von}~\alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \Longleftrightarrow \tan(\alpha) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

Da der Tangens das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete beschreibt, ist dessen Wert unabhängig vom Radius rr. Somit gelten die Werte von tan(α)\tan(\alpha) des Einheitskreises auch für alle anderen Fälle r1r \neq 1.
Allerdings ist tan(α)\tan(\alpha) für α=90\alpha = 90^\circ bzw. für br=π2\frac{b}{r} = \frac{\pi}{2} und alle ungeraden, ganzzahligen Vielfachen von π2\frac{\pi}{2} nicht definiert. Denn dann würde das Seitenverhältnis yx\frac{y}{x} gegen den Wert \infty laufen bzw. der Nenner des Bruchs den Wert 00 annehmen. Gleiches gilt natürlich hinsichtlich des Bruchs sin(α)cos(α)\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}. Diese Fälle sind also nicht erlaubt.

Sehen wir uns eine Werte an, die der Tangens für verschiedene Winkel α\alpha annimmt:

  • tan(0)=sin(0)cos(0)=01=0\tan(0^\circ) = \dfrac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)} = \frac{0}{1} = 0
  • tan(30)=sin(30)cos(30)=1223=13\tan(30^\circ) = \dfrac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \frac{1\,\cdot\,2}{2\,\cdot\,\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
  • tan(45)=sin(45)cos(45)=2222=1\tan(45^\circ) = \dfrac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\sqrt{2}\,\cdot\,2}{2\,\cdot\,\sqrt{2}} = 1
  • tan(60)=sin(60)cos(60)=3221=3\tan(60^\circ) = \dfrac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)} = \frac{\sqrt{3}\,\cdot\,2}{2\,\cdot\,1} = \sqrt{3}
  • tan(90)=sin(90)cos(90)=10=n. d. (nicht definiert)\tan(90^\circ) = \dfrac{\sin(90^\circ)}{\cos(90^\circ)} = \frac{1}{0} = \text{n. d. (nicht definiert)}

Im ersten Quadranten sind alle Werte des Tangens positiv. Während die Werte von sin(α)\sin(\alpha) und cos(α)\cos(\alpha) im ersten Quadranten des Einheitskreises jeweils zwischen 00 und 11 liegen, nimmt tan(α)\tan(\alpha) allerdings alle positiven Werte zwischen 00 und \infty an.

So direkt, wie der Sinus und der Cosinus mit den Katheten des rechtwinkligen Dreiecks innerhalb des ersten Quadranten zusammenhängen, ist der Tangens leider nicht zu interpretieren. Trotzdem ist die Tangensfunktion ein wichtiges Hilfsmittel beim Rechnen mit Winkeln und Seitenverhältnissen, zum Beispiel auch bei der Berechnung der Steigung linearer Funktionsgraphen.

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Trigonometrische Funktionen – Eigenschaften

Die wichtigste Eigenschaft aller trigonometrischen Funktionen ist, dass sie periodisch verlaufen, das heißt die Funktionswerte von sin(α)\sin(\alpha), cos(α)\cos(\alpha) und tan(α)\tan(\alpha) wiederholen sich nach einer bestimmten Periode wieder.
Das kannst du besonders gut am Einheitskreis nachvollziehen. Wenn der Winkel α\alpha Werte von 00^\circ bis 360360^\circ annimmt, verändern sich mit ihm auch die Funktionswerte von sin(α)\sin(\alpha), cos(α)\cos(\alpha) und tan(α)\tan(\alpha). Aber nach 360360^\circ, also nach einem Umlauf um den Einheitskreis, wiederholt sich alles wieder.
Das heißt, bei Werten von 360α<720360^\circ \leq \alpha < 720^\circ werden entsprechend gleiche Funktionswerte sin(α)\sin(\alpha), cos(α)\cos(\alpha) und tan(α)\tan(\alpha) abgebildet wie zuvor bei 0α<3600^\circ \leq \alpha < 360^\circ. Mit jedem weiteren Umlauf wächst der Winkel α\alpha, also das Argument der trigonometrischen Funktionen, aber die Funktionswerte wiederholen sich periodisch mit der Periode 360360^\circ (bzw. 2π2\,\pi im Bogenmaß). Das zeigt sich auch in den Funktionsgraphen der jeweiligen Funktionen.

Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal einen Stein in einen ruhigen See geworfen und die Wellen beobachtet, die sich kreisförmig ausbreiten. Diese Wellenbewegung ähnelt den Sinus- und Kosinuskurven in der Mathematik, die auch wellenförmig verlaufen. Wenn du die Trigonometrie besser verstehst, kannst du nachvollziehen, wie Wellen in der Physik, Musik und sogar Licht funktionieren. Die Mathematik ist überall um uns herum, sogar in den kleinsten Wellen.

Trigonometrische Funktionen – Funktionsgraph

Sehen wir uns zuerst einmal beispielhaft den Funktionsgraphen der Sinusfunktion sin(x)\sin(x) an.

Funktionsgraph Sinusfunktion Bogenmaß

Auf der xx‑Achse ist hier das Argument der Funktion, also der Winkel α\alpha aufgetragen – allerdings nicht in Grad, sondern im Bogenmaß als Vielfaches der Kreiszahl π\pi. In dieser Darstellung entspricht 12π\frac{1}{2}\,\pi einem Winkeln von 9090^\circ, π\pi einem Winkel von 180180^\circ und so weiter.
In yy‑Richtung sind die Funktionswerte sin(x)\sin(x) aufgetragen, wobei xx eben dem Winkel α\alpha im Bogenmaß entspricht.
Die Periode 2π(=360)2\,\pi \left(= 360^\circ \right) haben wir hier von einem Hochpunkt zum nächsten eingetragen, wir hätten sie aber genauso gut von Tiefpunkt zu Tiefpunkt oder zwischen zwei anderen Punkten eintragen können, an denen sich sowohl der yy‑Wert als auch die Krümmungsrichtung des Graphen aufgrund der Periodizität wiederholen.

Trigonometrische Funktionen – Argument

Für das Argument der trigonometrischen Funktionen wird üblicherweise die Variable α\alpha verwendet, wenn es sich dabei um einen Winkel im Gradmaß handelt. Wird stattdessen sin(x)\sin(x) oder manchmal auch sin(φ)\sin(\varphi) geschrieben, wird das Argument xx (bzw. φ\varphi) in der Regel im Bogenmaß angegeben – so auch in unserer Abbildung.
Im Bogenmaß liegen die Hochpunkte und Tiefpunkte der Sinusfunktion bei ungeraden, ganzzahligen Vielfachen von π2\frac{\pi}{2} und haben die Funktionswerte 11 bzw. 1-1.
Bei geraden, ganzzahligen Vielfachen von π2\frac{\pi}{2} hat die Sinusfunktion hingegen den Funktionswert 00. Dort liegen also die Nullstellen der Funktion.

Trigonometrische Funktionen – Nullstellen

Wie bereits erwähnt, liegen die Nullstellen der Sinusfunktion bei geraden, ganzzahligen Vielfachen von π2\frac{\pi}{2}. Das ist gleichbedeutend mit allen ganzzahligen Vielfachen von π\pi. Wir können also formulieren:

sin(xk)=0\sin(x_k) = 0 für alle Nullstellen xk=kπx_k = k \cdot \pi mit kZk \in \mathbb{Z}

Die Cosinusfunktion verläuft ganz ähnlich wie die Sinusfunktion, allerdings hat cos(x)\cos(x) genau dort Hoch- und Tiefpunkte, wo sin(x)\sin(x) Nullstellen hat und genau dort Nullstellen, wo die Hoch- und Tiefpunkte der Sinusfunktion liegen.
Kurz gesagt: Die Cosinusfunktion entspricht einer Verschiebung der Sinusfunktion um π2\frac{\pi}{2}. Es gilt:

cos(x)=sin(x+π2)\cos(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)

Also liegen die Hochpunkte und Tiefpunkte der Cosinusfunktion bei ganzzahligen Vielfachen von π\pi und die Nullstellen bei ungeraden, ganzzahligen Vielfachen von π2\frac{\pi}{2}. Wir können also formulieren:

cos(xk)=0\cos(x_k) = 0 für alle Nullstellen xk=π2+kπx_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi mit kZk \in \mathbb{Z}

Die Tangensfunktion hat Nullstellen bei den gleichen Werten wie die Sinusfunktion, denn es gilt ja:
tan(x)=sin(x)cos(x)\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}

Der Bruch sin(x)cos(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} nimmt immer dann den Wert 00 an, wenn der Zähler, also sin(x)\sin(x), gleich 00 ist. Es gilt also:

tan(xk)=0\tan(x_k) = 0 für alle Nullstellen xk=kπx_k = k \cdot \pi mit kZk \in \mathbb{Z}

Trigonometrische Funktionen – Wertebereich

Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion haben keine Definitionslücken, sind also für alle xRx \in \mathbb{R} definiert. Allerdings können sin(x)\sin(x) und cos(x)\cos(x) jeweils nur Werte zwischen 1-1 und 11 annehmen. Das sind die Funktionswerte der Hoch- und Tiefpunkte, die sich in beiden Funktionen jeweils periodisch wiederholen. Es gilt also:

Sinus- und Cosinusfunktion:
Definitionsbereich D:xRD\,:\,x \in \mathbb{R}
Wertebereich W:y[1;1]W\,:\,y \in [-1\,;\,1 ]

Bei der Tangensfunktion ist das etwas anders. Die Funktion tan(x)=sin(x)cos(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} ist an allen Nullstellen von cos(x)\cos(x) nicht definiert, denn in diesen Fällen würde der Nenner des Bruchs den Wert 00 annehmen. Außerdem kann tan(x)\tan(x) jeden reellen Wert yy annehmen. Die Tangensfunktion hat keine Hoch- oder Tiefpunkte, also keine relativen Extrema. Es gilt:

Tangensfunktion:
Definitionsbereich D:xR{π2+kπ}D\,:\,x \in \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \} mit kZk \in \mathbb{Z}
Wertebereich W:yRW\,:\,y \in \mathbb{R}

Trigonometrische Funktionen – Amplitude, Periode und Symmetrie

Wir haben bereits erwähnt, das sin(x)\sin(x) und cos(x)\cos(x) an ihren Hoch- und Tiefpunkten jeweils die Funktionswerte 11 und 1-1 annehmen. Die Funktionswerte der beiden Winkelfunktionen pendeln also zwischen diesen beiden Extremwerten periodisch hin und her, wie ein schwingendes Pendel.
In der Tat werden die Sinus- und die Cosinusfunktion genutzt, um Schwingungen, also periodische Vorgänge wie die Schwingung eines Pendels, mathematisch zu beschreiben. Die maximale Auslenkung eines Pendels nach links und rechts entspricht dann beispielsweise genau den Hoch- und Tiefpunkten der Sinusfunktion, die periodisch immer und immer wieder erreicht werden.
Die maximale Auslenkung einer Schwingung wird auch Amplitude genannt. In diesem Sinne haben sowohl die Sinus- als auch die Cosinusfunktion eine Amplitude mit dem Betrag a=1a = 1.
Die Tangensfunktion hat hingegen keine Amplitude, weil sie keine Hoch- und Tiefpunkte hat.

Bezogen auf rechtwinklige Dreiecke können wir uns die Amplitude so vorstellen: Wir können verschiedene Dreiecke mit einem rechten Winkel und einem beliebigen Winkel α<90\alpha < 90^\circ bilden. Je nach Größe des Winkels α\alpha kann eine der beiden Katheten theoretisch höchstens so lang werden wie die Hypotenuse. Auf dem Einheitskreis entspricht das der Länge r=1r = 1.
Die Amplitude von sin(x)\sin(x) und cos(x)\cos(x) entspricht also jeweils der maximal möglichen Kathetenlänge: dem Radius r=1r = 1.

So wie ein Pendel im Idealfall (also bei Vernachlässigung der Reibung) unendlich oft zwischen zwei Extrempunkten hin und her schwingt, so kann der Winkel α\alpha als Argument der Winkelfunktionen unendlich oft den Einheitskreis abfahren und dabei immer wieder die gleichen Funktionswerte sin(α)\sin(\alpha), cos(α)\cos(\alpha) und tan(α)\tan(\alpha) – bzw. im Bogenmaß sin(x)\sin(x), cos(x)\cos(x) und tan(x)\tan(x) – produzieren.

Obwohl sin(x)\sin(x) und cos(x)\cos(x) ihre Hoch- und Tiefpunkte an jeweils unterschiedlichen Stellen erreichen, ist ihre Periode gleich – sie hat bei beiden Funktionen den Wert 2π2\,\pi. Das heißt, nach 360360^\circ – oder eben 2π2\,\pi – wiederholen sich die Funktionswerte jeweils wieder. Hochpunkt folgt auf Hochpunkt im Abstand von 2π2\,\pi auf der xx‑Achse und für die Tiefpunkte gilt das Gleiche. Mathematisch können wir diese Periodizität so ausdrücken:

sin(x)=sin(x+p)\sin(x) = \sin(x + p) mit p=2πp = 2\,\pi

cos(x)=cos(x+p)\cos(x) = \cos(x + p) mit p=2πp = 2\,\pi

Für die Tangensfunktion gilt hingegen:

tan(x)=tan(x+p)\tan(x) = \tan(x + p) mit p=πp = \pi

Die Funktionswerte von tan(x)\tan(x) wiederholen sich also mit der Periode p=πp = \pi statt 2π2\,\pi.
Das können wir anhand des Funktionsgraphen der Tangensfunktion nachvollziehen, die in der folgenden Abbildung dargestellt ist.

Funktionsgraph Tangensfunktion Bogenmaß

Hier siehst du außerdem, dass die Tangensfunktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Das heißt, es gilt:

tan(x)=tan(x)\tan(x) = -\tan(-x)

Auch die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wie du in der Abbildung weiter oben nachvollziehen kannst. Es gilt also auch:

sin(x)=sin(x)\sin(x) = -\sin(-x)

Die Cosinusfunktion ist hingegen achsensymmetrisch zur xx‑Achse. Es gilt:

cos(x)=cos(x)\cos(x) = \cos(-x)

In der folgenden Abbildung ist der Funktionsgraph von cos(x)\cos(x) dargestellt, zusammen mit allen wichtigen Betrachtungen, die wir zu dieser Funktion aufgestellt haben.

Funktionsgraph Cosinusfunktion Bogenmaß

Für die Sinus- und die Tangensfunktion haben wir all diese Betrachtungen ebenfalls herausgearbeitet. Damit kannst du dir eine eigene Übersicht mit allen drei Winkelfunktionen erstellen und die für dich wichtigen Punkte darauf notieren.

Trigonometrische Funktionen – Parameter

Wir haben die grundlegenden trigonometrischen Funktionen bisher in ihren einfachsten Formen sin(x)\sin(x), cos(x)\cos(x) und tan(x)\tan(x) betrachtet. Diese können allerdings auch mittels verschiedener Parameter modifiziert werden. Eine Sinusfunktion kann beispielsweise auch in dieser Form vorliegen:

f(x)=asin(bx+c)+df(x) = a \cdot \sin(b \cdot x + c) + d

Hier haben wir die Parameter aa, bb, cc und dd. Sehen wir uns an, was diese bedeuten.

  • Den Parameter aa haben wir im Prinzip schon kennengelernt. Das ist die Amplitude der Sinusfunktion. Im einfachen Fall sin(x)\sin(x) hatten wir a=1a = 1, aber im Fall asin(x)a \cdot \sin(x) kann aa auch jede andere reelle Zahl sein. Die Amplitude entspricht dem größtmöglichen yy‑Wert, also der yy‑Koordinate der Hochpunkte der Sinusfunktion.
    Ist a>1a > 1, handelt es sich demnach um eine Streckung der Sinusfunktion in yy‑Richtung.
    Mit 0<a<10 < a < 1 erreichen wir hingegen eine Stauchung.
    Mit einem negativen aa wird der Funktionsgraph zusätzlich an der xx‑Achse gespiegelt, das heißt, Hoch- und Tiefpunkte tauschen die Plätze.

  • Durch den Parameter bb verändert sich die Periode der Sinusfunktion. Das heißt, die Abstände auf der xx‑Achse, in denen sich Nullstellen und Extremstellen abwechseln und wiederholen, werden kleiner oder größer.
    Ist b>1b > 1, werden die Abstände und damit auch die Periode kleiner, es handelt sich um eine Stauchung in xx‑Richtung.
    Mit 0<b<10 < b < 1 wird hingegen eine Streckung erreicht, die Periode wird größer.
    Mit einem negativen bb wird der Funktionsgraph zusätzlich an der yy‑Achse gespiegelt, was wiederum zu einer Vertauschung der Hoch- und Tiefpunkte führt.

  • Der Parameter cc führt zu einer Verschiebung der Sinusfunktion entlang der xx‑Achse. Dafür haben wir schon ein Beispiel gesehen, nämlich die Verschiebung um den Wert c=π2c = \frac{\pi}{2}, mit der die Sinusfunktion genau deckungsgleich zur Cosinusfunktion wird:
    cos(x)=sin(x+π2)\cos(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)
    Man nennt cc auch Phase bzw. spricht von einer Phasenverschiebung.
    Eine Phasenverschiebung, die genau dem Wert pp der Periode entspricht, hat keinen Effekt, denn es gilt ja: sin(x+p)=sin(x)\sin(x + p) = \sin(x)
    Allerdings ändert sich dieser Wert pp, wenn es einen Parameter b1b \neq 1 gibt. Für die Sinus- und Cosinusfunktion kann die Periode pp mit folgender Formel ermittelt werden: p=2πbp = \frac{2\,\pi}{b}

  • Der Parameter dd führt zu einer Verschiebung des Funktionsgraphen entlang der yy‑Achse. Das ist bei den Winkelfunktionen nicht anders als bei allen anderen Arten von Funktionen.

Wusstest du schon?
Sinus und Kosinus sind auch in der Musik zu finden! Elektronische Musikinstrumente wie Synthesizer nutzen diese Funktionen, um elektrische Signale in Töne umzuwandeln. Jede gespielte Note ist im Grunde eine Schwingung, die durch trigonometrische Funktionen beschrieben und modelliert werden kann. Rock on, Mathematik!

Trigonometrische Funktionen – Rechenregeln

Bei der Betrachtung der trigonometrischen Funktionen bei rechtwinkligen Dreiecken haben wir uns auf den ersten Quadranten des Einheitskreises mit einem Winkel 0α900^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ beschränkt. Bei der Untersuchung der Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen haben wir unsere Betrachtungen allerdings auf xRx \in \mathbb{R} im Bogenmaß erweitert.

Beim Rechnen mit dem Taschenrechner macht das keinen Unterschied, solange du berücksichtigst, wann es sich um einen Winkel in Grad und wann um eine Angabe im Bogenmaß handelt.

Wenn Winkelfunktionen verwendet werden, um periodische Vorgänge wie Schwingungen und Wellen zu beschreiben, ist es immer hilfreich, den Vorgang im Kopf einmal durchzuspielen. Beginnt die Schwingung mit dem Durchlaufen des Nullpunkts, ist der Sinus die passende Funktion, denn sin(0)=0\sin(0) = 0. Beginnt sie hingegen mit der maximalen Auslenkung, wird sie durch den Cosinus besser beschrieben, denn cos(0)=1\cos(0) = 1.
Versuche dir immer vorzustellen, wo auf dem Einheitskreis sich ein bestimmter Vorgang gerade abspielt. Und präge dir am besten die wichtigsten Werte der Winkelfunktionen gut ein:

α\alpha xx sin(x)\sin(x) cos(x)\cos(x) tan(x)\tan(x)
360360^\circ 2π2\,\pi 00 11 00
270270^\circ 32π\frac{3}{2}\,\pi 1-1 00 n. d.\text{n. d.}
180180^\circ π\pi 00 1-1 00
120120^\circ 23π\frac{2}{3}\,\pi 32\frac{\sqrt{3}}{2} 12-\frac{1}{2} 3-\sqrt{3}
9090^\circ 12π\frac{1}{2}\,\pi 11 00 n. d.\text{n. d.}
6060^\circ 13π\frac{1}{3}\,\pi 32\frac{\sqrt{3}}{2} 12\frac{1}{2} 3\sqrt{3}
4545^\circ 14π\frac{1}{4}\,\pi 22\frac{\sqrt{2}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 11
3030^\circ 16π\frac{1}{6}\,\pi 12\frac{1}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 13\frac{1}{\sqrt{3}}
00^\circ 0 00 11 00
30-30^\circ 16π-\frac{1}{6}\,\pi 12-\frac{1}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 13-\frac{1}{\sqrt{3}}
45-45^\circ 14π-\frac{1}{4}\,\pi 22-\frac{\sqrt{2}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 1-1
60-60^\circ 13π-\frac{1}{3}\,\pi 32-\frac{\sqrt{3}}{2} 12\frac{1}{2} 3-\sqrt{3}
90-90^\circ 12π-\frac{1}{2}\,\pi 1-1 00 n. d.\text{n. d.}
120-120^\circ 23π-\frac{2}{3}\,\pi 32-\frac{\sqrt{3}}{2} 12-\frac{1}{2} 3\sqrt{3}
180-180^\circ π-\pi 00 1-1 00
270-270^\circ 32π-\frac{3}{2}\,\pi 11 00 n. d.\text{n. d.}
360-360^\circ 2π-2\,\pi 00 11 00

(n. d.\text{n. d.} steht für nicht definiert\text{nicht definiert})

Kannst du die Systematiken erkennen, die sich aufgrund der Periodizität der Winkelfunktionen ergeben? Die Vorzeichen der Funktionswerte ergeben sich direkt aus den xx‑ und yy‑Achsen des Einheitskreises. Je nach Winkel landet man dort in einem der vier Quadranten.

  • Im ersten Quadranten (0α<90)\left( 0^\circ \leq \alpha < 90^\circ \right) sind sin(x)\sin(x), cos(x)\cos(x) und tan(x)0\tan(x) \geq 0
  • Im zweiten Quadranten (90α<180)\left( 90^\circ \leq \alpha < 180^\circ \right) ist sin(x)>0\sin(x) > 0, aber cos(x)\cos(x) und tan(x)0\tan(x) \leq 0
  • Im dritten Quadranten (180α<270)\left( 180^\circ \leq \alpha < 270^\circ \right) sind sin(x)\sin(x), cos(x)\cos(x) und tan(x)0\tan(x) \leq 0
  • Im vierten Quadranten (270α<360)\left( 270^\circ \leq \alpha < 360^\circ \right) sind sin(x)\sin(x) und tan(x)<0\tan(x) < 0, aber cos(x)0\cos(x) \geq 0
  • Negative Winkel entsprechen einer Drehung im Uhrzeigersinn. So landet man beispielsweise für (90α<0)\left( -90^\circ \leq \alpha < 0^\circ \right) im vierten Quadranten und erhält entsprechende Funktionswerte. Deshalb gilt beispielsweise: sin(90)=sin(270)=1\sin(-90^\circ) = \sin(270^\circ) = -1

Den Verlauf der drei elementaren trigonometrischen Funktionen über 0x2π0 \leq x \leq 2\,\pi, also einen Umlauf des Einheitskreises, haben wir in der folgenden Abbildung noch einmal skizziert.

Winkelfunktion Graph Sinus Cosinus Kosinus Tangens

Hier kannst du alle Funktionswerte und auch die Beziehung cos(x)=sin(x+π2)\cos(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right), also die Verschiebung der Cosinusfunktion gegenüber der Sinusfunktion auf der xx‑Achse, noch einmal nachvollziehen.
Auch die Polstellen der Tangensfunktion, also deren Definitionslücken, sind hier noch einmal deutlich zu sehen.

Trigonometrische Funktionen – Aufgaben

Ausblick – das lernst du nach Trigonometrische Funktionen

Begib dich auf die spannende Reise der Analytischen Geometrie! Mit Vektoren und der Addition und Subtraktion von Vektoren kannst du dein Wissen erweitern. Entdecke, wie verschiedene mathematische Konzepte miteinander verknüpft sind und freue dich auf weitere mathematische Entdeckungen!

Zusammenfassung der trigonometrischen Funktionen

  • Mit trigonometrischen Funktionen werden die Verhältnisse von Längen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken in Bezug auf den Einheitskreis beschrieben.
  • Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion sin(α)\sin(\alpha), die Cosinusfunktion cos(α)\cos(\alpha) und die Tangensfunktion tan(α)\tan(\alpha).
  • Sinus, Cosinus und Tangens können auch als sin(x)\sin(x), cos(x)\cos(x) und tan(x)\tan(x) in Abhängigkeit von xx im Bogenmaß geschrieben werden.
  • Die Funktionswerte der Sinus- und Cosinusfunktion liegen stets zwischen 1-1 und 11 und wiederholen sich periodisch mit der Periode 2π2\,\pi bzw. 360360^\circ. Auch die Tangensfunktion ist periodisch, allerdings mit der Periode π\pi.
  • Für rechtwinklige Dreiecke gelten folgende Formeln in Bezug auf den Winkel α\alpha, der von der Hypotenuse und der Ankathete des Dreiecks eingeschlossen wird:
trigonometrische Funktion Seitenverhältnis
sin(α)\sin(\alpha) =Gegenkathete yHypotenuse r= \dfrac{\text{Gegenkathete}~y}{\text{Hypotenuse}~r}
cos(α)\cos(\alpha) =Ankathete xHypotenuse r= \dfrac{\text{Ankathete}~x}{\text{Hypotenuse}~r}
tan(α)\tan(\alpha) =Gegenkathete yAnkathete x=sin(α)cos(α)= \dfrac{\text{Gegenkathete}~y}{\text{Ankathete}~x}= \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Funktionen

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Trigonometrische Funktionen
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