Newton-Verfahren

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist das Newton-Verfahren?
• Herleitung der Iterationsvorschrift
  • Aufstellen der Tangentengleichung
  • Bestimmung der Nullstelle der Tangente
  • Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens
• Beispiel
• Die Grenzen des Newton-Verfahrens
  • Die Funktion besitzt keine Nullstelle
  • Die Stellen wiederholen sich
  • Die erste Ableitung ist 0
  • Worauf achtzugeben ist

Was ist das Newton-Verfahren?

Wenn du Nullstellen berechnen willst, helfen dir häufig diese klassischen Methoden:

• Die Nullstellen einer linearen Funktion erhältst du durch Äquivalenzumformungen.
• Die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnest du mit der p-q-Formel.
• Um die Nullstellen einer kubischen Funktion zu bestimmen, musst du eine Nullstelle raten und dann eine Polynomdivision durchführen. Das funktioniert jedoch nur, wenn eine Nullstelle ganzzahlig ist.

Wie kannst du die Nullstellen einer kubischen Funktion finden, wenn keine Nullstelle ganzzahlig ist? Du verwendest das Newton-Verfahren.

Das Newton-Verfahren, auch Tangentenverfahren genannt, ist ein iteratives Verfahren zur approximativen Bestimmung von Nullstellen. Es geht also um die Näherungen von Nullstellen.

Die Grundidee: Wir legen eine Tangente im Punkt $P(x_0|y_0=f(x_0))$ an die nichtlineare Funktion an. $x_0$ wird als Startwert bezeichnet. Dann wird die Nullstelle $x_1$ dieser Tangenten bestimmt. Im Koordinatensystem ist dieser erste Schritt abgebildet.

Dann wiederholen wir diesen Schritt (daher heißt es ja auch ein iteratives Verfahren). Wir legen diesmal die Tangente im Punkt $P(x_1|y_1)$ an die nichtlineare Funktion an. Die Nullstelle dieser Tangente wird dann $x_2$ genannt.

So fährt man fort, bis der Funktionswert des Berührpunktes (der Tangenten) möglichst nahe bei $0$ ist. Dann schneiden die Tangente und der nichtlineare Funktionsgraph die x-Achse nämlich an (fast) derselben Stelle.

Herleitung der Iterationsvorschrift

Schauen wir uns einmal, ausgehend von dem Startwert $x_0$, die Bestimmung von $x_1$ an.

Aufstellen der Tangentengleichung

Allgemein hat eine Tangentengleichung die Form $t(x)=m\cdot x+n$.

• Dabei ist $m=f'(x_0)$ die Steigung des Tangenten (die erste Ableitung von $f(x)$ an der Stelle $x_0$).
• $n$ ist der y-Achsenabschnitt. Dieser muss noch bestimmt werden.

Da der Punkt $P(x_0|f(x_0))$ auf der Tangente liegt, erhältst du diese Gleichung:

$f(x_0)=f'(x_0)\cdot x_0+n$.

Diese Gleichung kann nach $n$ umgeformt werden: $n=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0$. Dies führt zu dieser Tangentengleichung:

$t(x)=f'(x_0)\cdot x+f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0$.

Bestimmung der Nullstelle der Tangente

Wir benennen nun die Nullstelle der Tangenten mit $x_1$, dann gilt $t(x_1)=0$ oder

$f'(x_0)\cdot x_1+f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0=0$ .

Division durch $f'(x_0)$ führt zu $x_1+\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}-x_0=0$. Nun kann $x_0$ addiert und $\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ subtrahiert werden:

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$.

Wenn du nun in dieser Gleichung auf der rechten Seite überall $x_0$ durch $x_1$ ersetzt, erhältst du $x_2$ und so weiter.

Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens

Damit kannst du die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens angeben:

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Warum heißt das eigentlich „Iterationsvorschrift“?

Wenn du mit $x_0$ startest, kannst du $x_1$ berechnen. Mit diesem $x_1$ kannst du $x_2$ berechnen und damit $x_3$ und so weiter. Du kommst also Schritt für Schritt zu einer näherungsweisen Nullstelle, indem du die immer gleiche Vorschrift wiederholst.

„Iterare“ ist das lateinische Wort für „wiederholen“.

Beispiel

Nun üben wir das Newton-Verfahren einmal an einem Beispiel. Gesucht wird die Nullstelle dieser Funktion:

$f(x)=x^3-1,5x^2+x-1,5$.

Die zugehörige Ableitung ist $f'(x)=3x^2-3x+1$.

Der Startwert sei $x_0=2$. Der erste Schritt sieht dann so aus:

$x_1=2-\frac{f(2)}{f'(2)}=2-\frac{2,5}{7}\approx1,6429$.

Nun wird der Funktionswert $f(x_1)\approx 0,5286$ berechnet. Dies ist noch nicht so nahe bei $0$. Weiter geht's:

$x_2=1,6429-\frac{f(1,6429)}{f'(1,6429)}=1,6429-\frac{0,5286}{4,1687}\approx1,5161$.

Wieder wird der Funktionswert berechnet: $f(1,5161)\approx0,0531$. Du siehst, dass dieser Wert schon näher bei $0$ ist als der vorherige Funktionswert. Wir berechnen nun $x_3$:

$x_3=1,5161-\frac{f(1,5161)}{f'(1,5161)}=1,5161-\frac{0,0531}{3,3474}\approx1,5002$ .

Der Funktionswert an dieser Stelle ist $f(1,5002)\approx0,00045$. Dieser Wert ist schon sehr nahe bei $0$. Die tatsächlich Nullstelle liegt bei $x_N=1,5$.

Die Grenzen des Newton-Verfahrens

Die Funktion besitzt keine Nullstelle

Das Newton-Verfahren muss nicht unbedingt zu einer Lösung führen. Dies ist ganz sicher der Fall, wenn die Funktion gar keine Nullstelle besitzt.

Die Stellen wiederholen sich

Allerdings kann das Newton-Verfahren auch zu Stellen führen, welche immer wiederkehren. Dies kann man sich an einem Beispiel klarmachen: $f(x)=x^3-2x+2$ mit der Ableitung $f'(x)=3x^2-2$.

Sei nun $x_0=0$ der Startwert, dann erhältst du:

$x_1=0-\frac{f(0)}{f'(0)}=0-\frac{2}{-2}=1$.

Mit diesem $x_1$ kannst du ebenso $x_2$ berechnen:

$x_2=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{1}{1}=1-1=0$.

Du siehst, dies ist die gleiche Stelle, mit welcher wir begonnen haben. Das bedeutet, dass $x_i=0$ gilt für jeden geraden Index $i$ und $1$ für jeden ungeraden Index $i$.

Die erste Ableitung ist 0

Schaue dir die Funktionsgleichung $f(x)=x^2-4$ an. Diese Funktion besitzt zwei Nullstellen bei $\pm 2$. Die Ableitung dieser Funktion ist $f'(x)=2x$.

Wenn nun der Startwert $x_0=0$ ist, folgt $f'(x_0)=0$. Das bedeutet, dass bei der Iterationsvorschrift

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

durch $0$ dividiert wird. Dies ist natürlich verboten.

Worauf achtzugeben ist

Ganz allgemein kann man festhalten, dass die Konvergenz des Newton-Verfahrens mit der Wahl des Startwertes zusammenhängt. Es ist also wichtig, dass du eine ungefähre Vorstellung davon hast, wo die Nullstelle liegt, und entsprechend einen sinnvollen Startwert wählst.