Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen

Das wichtigste Merkmal von quadratischen Funktionen ist, dass der höchste Exponent der Variablen den Wert $2$ hat. Die allgemeine Gleichung einer solchen Funktion lautet:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$.

Dabei darf der Parameter $a$ nicht Null sein. Man nennt $ax^{2}$ das quadratische Glied, $bx$ das lineare Glied und $c$ das absolute Glied. Beispiele für quadratische Funktionen sind $x^{2}$, $5x^{2}-8$ oder $-x^{2}+3x$.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Parabeln sind nach oben oder unten geöffnet und immer symmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft parallel zur $y$-Achse. Der Schnittpunkt einer Parabel und ihrer Symmetrieachse wird Scheitelpunkt genannt. Hier siehst du verschiedene Parabeln:

Normalparabel

Die Normalparabel ist der Graph der Funktion $f(x)=x^{2}$. Sie hat den Scheitelpunkt in $(0;0)$ und ist nach oben geöffnet. Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen und die Nullstelle ist $x_0=0$.

Vorzeichen

Schau dir die Funktionsgleichung $f(x)=-x^{2}$ an. Dies ist die obige Gleichung mit einem negativen Vorzeichen. Hier ist der zugehörige Graph eine Normalparabel, die an der $x$-Achse gespiegelt wird. Dadurch ist sie nach unten geöffnet.

Streckung und Stauchung

Wenn der Parameter $a$ in $f(x)=ax^{2}$ zwischen $0$ und $1$ liegt ($0 < a < 1$), ist von einer Stauchung der Parabel die Rede. Ist $a$ größer als $1$ ($a > 1$), so wird die Parabel gestreckt.

Verschiebung entlang der $x$- und $y$-Achse

Hat eine quadratische Funktion die Form $f(x)=x^{2}+c$, so verschiebt sich ihr Graph entlang der $y$-Achse. Dabei gilt:

• Wenn $c\gt 0$ gilt, dann wird der Graph nach oben verschoben.
• Wenn $c\lt 0$ gilt, dann wird der Graph nach unten verschoben.

Der Parameter $d$ in $f(x)=(x+d)^{2}$ bewirkt, dass die Parabel entlang der $x$-Achse verschoben wird. Es gilt:

• Für $d\lt 0$ verschiebt sich die Parabel nach rechts.
• Für $d\gt 0$ verschiebt sich die Parabel nach links.

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform

Die allgemeine Scheitelpunktform eine quadratischen Funktion ist $f(x)=a(x+d)^{2}+e$. Der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel hat die Koordinaten $(-d \vert e)$. Der Scheitelpunkt lässt sich auch aus der allgemeinen Formel $f(x)=ax^{2}+bx+c$ für quadratische Funktionen errechnen. Er hat dann diese Koordinaten:

$\left(\dfrac{-b}{2a} \Big\vert \dfrac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$

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Nullstellen

Um Nullstellen von quadratischen Funktionen zu ermitteln, musst du die Gleichung $x^{2}+px+q = 0$ lösen. Je nach der Lage ihres Graphen hat die Funktion keine, eine oder zwei Nullstelle(n). Wie viele Nullstellen eine Funktion hat, lässt sich an der sogenannten Diskriminante $D=(\frac{p}{2})^{2}-q$ ablesen. Dies ist genau der Term, der bei der $pq$-Formel unter der Wurzel steht. Es gilt:

• Für $D\lt 0$ existiert keine Nullstelle.
• Für $D = 0$ existiert genau eine Nullstelle.
• Für $D\gt 0$ existieren zwei Nullstellen.

Extremwertaufgaben

Mithilfe der Scheitelpunktform kann man Extremwertaufgaben lösen. Diese dienen zur Optimierung von Werten, z.B. von Längen, Flächen oder Gewinnspannen.