Symmetrie und Spiegelung

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Achsenspiegelung?
• Achsenspiegelung eines Punktes
• Achsenspiegelung einer Strecke
• Achsenspiegelung von Vielecken
• Was ist Achsensymmetrie?
• Wie kannst du eine Symmetrieachse finden?
• Was ist eine Punktspiegelung?
• Punktspiegelung eines Punktes
• Punktspiegelung einer Strecke
• Punktspiegelung von Vielecken
• Zusammenfassung der Eigenschaften einer Punktspiegelung
• Was ist Punktsymmetrie?
• Wir basteln eine punktsymmetrische Figur
• Wie kannst du ein Symmetriezentrum finden?

Was ist eine Achsenspiegelung?

Eine Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Das bedeutet, dass sowohl die Form als auch die Größe von geometrischen Figuren bei einer Achsenspiegelung gleich bleiben.

Du benötigst für eine Achsenspiegelung eine Spiegelachse.

Achsenspiegelung eines Punktes

Hier siehst du, wie eine Achsenspiegelung eines Punktes $P$ durchgeführt wird.

• Der Punkt $P$ soll an der Spiegelachse gespiegelt werden.
• Zunächst zeichnest du eine Linie, die von $P$ ausgehend senkrecht zu der Spiegelachse steht. Also im rechten Winkel zueinander stehen. Diese senkrechte Linie zur Spiegelachse zeichnest du über die Spiegelachse hinaus.
• Nun misst du den Abstand $d$ von Punkt $P$ zu der Spiegelachse.
• Diesen Abstand $d$ misst du auf der gegenüberliegenden Seite der Spiegelachse an der neuen Linie nochmals ab.
• Der Bildpunkt $P'$ des Originalpunktes $P$ entspricht dem Punkt auf der Linie mit dem gemessen Abstand zur Spiegelachse.

Achsenspiegelung einer Strecke

Du spiegelst eine Strecke $\overline{PQ}$, indem du die beiden Punkte $P$ und $Q$, so wie beschrieben, an der Spiegelachse spiegelst. So gelangst du zu den Bildpunkten $P'$ und $Q'$. Die Verbindung dieser Bildpunkte ist die an der Spiegelachse gespiegelte Bildstrecke $\overline{P'Q'}$.

Die Bildstrecke ist ebenso lang wie die Originalstrecke. Das bedeutet, dass die beiden Strecken kongruent sind. „Kongruent“ bedeutet deckungsgleich.

Achsenspiegelung von Vielecken

Als Beispiel siehst du hier die Achsenspiegelung eines Dreiecks.

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• Du spiegelst jeden Eckpunkt des Originaldreiecks, $P$, $Q$ und $R$, wie beschrieben.
• Die durch Spiegelung erhaltenen Bildpunkte $P'$, $Q'$ und $R'$ verbindest du schließlich miteinander zu dem Bilddreieck.

Da alle Seiten des Bilddreiecks ebenso lang sind wie die des Originaldreiecks, sind die beiden Dreiecke kongruent.

Was ist Achsensymmetrie?

Jede Figur, die bei einer Achsenspiegelung in sich selbst übergeht, heißt achsensymmetrisch.

Du kannst dir dies so vorstellen, es gibt eine Achse, welche die Figur halbiert. Wenn du an diese Achse einen Spiegel anlegst, erhältst du mit der halben Figur und dem Spiegelbild wieder die ganze Figur. Diese Achse wird als Symmetrieachse bezeichnet.

Diese Symmetrieachse entspricht der Spiegelachse bei der Achsenspiegelung.

Du kennst sicher einige achsensymmetrische Figuren:

• Wenn du den „halben“ Buchstaben A an der Spiegelachse spiegelst, erhältst du den „ganzen“ Buchstaben A. Das bedeutet, dass dieser Buchstabe achsensymmetrisch ist. Die Symmetrieachse verläuft genau durch die Mitte.

• Ein Schmetterling ist nahezu achsensymmetrisch.

• Ein gleichschenkliges Trapez ist achsensymmetrisch.

• Dein Gesicht ist auch annähernd achensymmetrisch, bis auf die Frisur.

Achte doch einmal darauf, welche Figuren sind achsensymmetrisch? Du wirst ganz viele solcher Figuren entdecken.

Wie kannst du eine Symmetrieachse finden?

Um festzustellen, ob eine Figur achsensymmetrisch ist, musst du eine Symmetrieachse finden. Anschaulich kannst du eine achsensymmetrische Figur ausschneiden, dann gibt es eine Linie, entlang der du die Figur falten kannst. Du erhältst dann zwei Hälften der Figur, welche sich genau abdecken.

Umgekehrt kannst du ein Blatt Papier falten und ein Muster ausschneiden. Wenn du das Blatt dann wieder auffaltest, hältst du eine achsensymmetrische Figur in der Hand. Die Symmetrieachse ist die Kante, an welcher das Papier gefaltet war.

Viel Spaß beim Basteln von achsensymmetrischen Figuren.

Was ist eine Punktspiegelung?

Eine Punktspiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Die Lage einer Figur kannst du mit einer Punktspiegelung verändern, aber die Form und auch die Größe der Figur bleiben gleich.

Du benötigst für eine Punktspiegelung ein Spiegelzentrum, auch Symmetriezentrum genannt. Dies ist ein Punkt, um welchen du die Figur um $180$° drehst, um die Bildfigur zu erhalten. Wenn du die Bildfigur um den gleichen Punkt wieder um $180$° drehst, kommst du zurück zur Ausgangsfigur.

Punktspiegelung eines Punktes

Hier siehst du, wie eine Punktspiegelung eines Punktes $P$ durchgeführt wird.

• Der Punkt $P$ soll an dem Spiegelzentrum $Z$ gespiegelt werden.
• Zunächst zeichnest du eine Halbgerade von $P$ durch $Z$.
• Nun misst du den Abstand $d$ von Punkt $P$ zu dem Spiegelzentrum $Z$.
• Diesen Abstand $d$ trägst du auf der gegenüberliegenden Seite des Spiegelzentrums $Z$ auf der Halbgeraden ab.
• Dies ist der Bildpunkt $P'$.

Punktspiegelung einer Strecke

Du spiegelst eine Strecke $\overline{PQ}$, indem du jeden der beiden Punkte $P$ und $Q$ an dem Spiegelzentrum spiegelst. So gelangst du zu den Bildpunkten $P'$ und $Q'$. Die Verbindung dieser Bildpunkte ist die Bildstrecke $\overline{P'Q'}$.

• Die Bildstrecke ist ebenso lang wie die Originalstrecke. Beide Strecken sind kongruent (oder deckungsgleich). Das bedeutet: Größe und Form ändern sich nicht, nur die Lage kann sich ändern.
• Die beiden Strecken, Originalstrecke und Bildstrecke, sind parallel zueinander.

Punktspiegelung von Vielecken

Wie du Vielecke spiegelst, kannst du hier am Beispiel eines Dreiecks sehen:

• Du spiegelst jeden der Eckpunkte des Originaldreiecks, $P$, $Q$ und $R$.

• Nun verbindest du die Bildpunkte, $P'$, $Q'$ und $R'$, zu dem Bilddreieck.

• Da die Seiten des Original- und des Bilddreiecks parallel und gleich lang sind, erhältst du zwei kongruente Dreiecke.

• Auch die Winkel bleiben bei der Punktspiegelung unverändert.

Zusammenfassung der Eigenschaften einer Punktspiegelung

• Strecken werden immer auf eine gleich lange, parallele Strecken abgebildet.
• Winkel werden auf gleich große Winkel abgebildet.
• Geometrische Figuren werden auf kongruente geometrische Figuren (mit gleichen Seitenlängen und Winkelgrößen) abgebildet. Alle sich entsprechenden Seiten der Original- und Bildfigur sind parallel zueinander.

Diese Eigenschaften kennst du bereits von einer Achsenspiegelung. Bei der Punktspiegelung bleibt aber im Gegensatz zu der Achsenspiegelung die Orientierung von Punkten beibehalten. Die Eckpunkte $ABC$ und $A'B'C'$ beispielsweise sind jeweils gegen den Uhrzeigersinn angeordnet.

Was ist Punktsymmetrie?

Jede Figur, die bei einer Punktspiegelung in sich selbst übergeht, heißt punktsymmetrisch. Man sagt dazu auch drehsymmetrisch mit dem Drehwinkel $180^\circ$.

Kennst du punktsymmetrische Figuren?

• Der Buchstabe X ist punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum befindet sich genau in der Mitte.

• Auch die folgenden Buchstaben sind punktsymmetrisch: Das I, das Z, das N.

Übrigens sind Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm ebenfalls symmetrisch. Doch sind all diese Figuren punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch? Vorsicht, das ist gar keine einfache Frage! Es gibt nämlich Formen, die sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch sind wie zum Beispiel ein Quadrat, ein Rechteck oder eine Raute.

Wir basteln eine punktsymmetrische Figur

Anschaulich kannst du dir das auch so vorstellen:

• Du faltest ein Blatt Papier in der Mitte.
• Dann faltest du das Blatt noch einmal, sodass die zweite Faltkante senkrecht zu der ersten verläuft.
• Schneidest du nun eine Figur aus und faltest das Papier wieder auf, erhältst du eine punktsymmetrische Figur.
• Die beiden Faltkanten schneiden sich in einem Punkt. Dies ist das Symmetriezentrum.

Du kannst hieran auch erkennen, dass du eine Punktspiegelung auch durchführen kannst, indem du zweimal an senkrechten Achsen spiegelst, die durch das Spiegelzentrum verlaufen.

Probier es doch selbst einmal und bastel dir punktsymmetrische Figuren.

Wie kannst du ein Symmetriezentrum finden?

Schauen wir uns einmal als Beispiel für die Punktsymmetrie die Spielkarte der Herz-Dame an. Diese Karte ist punktsymmetrisch.

Um das Symmetriezentrum zu finden, gehst du so vor:

• Du verbindest zwei Punkte (in diesem Beispiel das D oben links und unten rechts) mit einer Geraden.
• Nun verbindest du zwei weitere Punkte (die beiden Herzen unten links und oben rechts) mit einer Geraden.
• Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist das Symmetriezentrum.

Dies ist auch ein Beispiel für eine Figur, die zwar punktsymmetrisch ist, allerdings nicht achsensymmetrisch.