Abstand zweier Punkte – Herleitung (Satz des Pythagoras)

Abstand zweier Punkte – Herleitung (Satz des Pythagoras) Übung

• Berechne die gesuchten Entfernungen.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Katheten-Quadrate gleich dem Quadrat über der Hypotenuse ist.

  Die Katheten sind diejenigen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, welche den rechten Winkel bilden.

  Den Satz des Pythagoras kannst du wie folgt nach der Seite $c$ umstellen:

  $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

  Lösung

  Das in dieser Aufgabe abgebildete rechtwinklige Dreieck stellt sowohl die zurückzulegende Strecke der Dorfbewohner als auch die der Drachen dar. Dabei ist uns Folgendes bekannt:

  • Die Dorfbewohner gehen von $B(2\vert 1)$ über $C(10\vert 1)$ nach $A(10\vert 7)$ um den großen See herum.
  • Die Drachen fliegen von $B(2\vert 1)$ nach $A(10\vert 7)$ über den See hinweg.

  Gesucht sind die Strecken, welche die Dorfbewohner und die Drachen zurücklegen müssen. Lass uns diese gemeinsam berechnen.

  Strecke der Dorfbewohner

  Dafür addieren wir die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks. Kathete $a$ erhalten wir, indem wir die $x$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ subtrahieren. Demnach gilt $a=10\ \text{km}-2\ \text{km}=8\ \text{km}$. Kathete $b$ erhalten wir, indem wir die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ subtrahieren. Somit erhalten wir $b=7\ \text{km}-1\ \text{km}=6\ \text{km}$. Die Dorfbewohner gehen also $8\ \text{km}+6\ \text{km}=14\ \text{km}$.

  Strecke der Drachen

  Die Berechnung der Strecke der Drachen erfolgt über den Satz des Pythagoras. Dieser besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Katheten-Quadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Für das abgebildete Dreieck erhalten wir also:

  $a^2+b^2=c^2$.

  Die gesuchte Strecke wird durch die Hypotenuse $c$ des Dreiecks beschrieben. Wenn wir die Gleichung nach dieser umstellen, erhalten wir folgende Formel für die Berechnung des Abstands der Punkte $A$ und $B$:

  $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

  Nun ersetzen wir die Katheten $a$ und $b$ mit den Koordinaten $x$ und $y$:

  $c=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

  Da wir mit dieser Formel eine Distanz berechnen möchten, ersetzen wir den Buchstaben $c$ mit einem $d$ für Distanz:

  $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

  Jetzt können wir unsere Koordinaten einsetzen und die Strecke der Drachen berechnen:

  $d=\sqrt{(10-2)^2+(7-1)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.

  Die Drachen müssen also eine Strecke von nur $10\ \text{km}$ zurücklegen.

• Gib den Abstand zwischen $P_1$ und $P_2$ an.

  Tipps

  Die Größe $d$ steht für die Distanz. Die Formel für die Berechnung der Distanz zweier Punkte wird von dem Satz des Pythagoras abgeleitet. Dieser lautet:

  $\underbrace{a^2}_{\substack{\text{Kathete}}}+\underbrace{b^2}_{\substack{\text{Kathete}}}=\underbrace{c^2}_{\substack{\text{Hypotenuse}}}$.

  Verwende die folgende Formel für die Berechnung des Abstands zweier Punkte $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$:

  $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

  Gesucht ist die Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle für $\sqrt{5}$.

  Nun trägst du in eine Tabelle die nächstkleinere und nächstgrößere Quadratzahl ein:

  $ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \sqrt{4}&\sqrt{5}&\sqrt{6}&\sqrt{7}&\sqrt{8}&\sqrt{9}\\ \hline 2&&&&&3\\ \end{array} $

  Fülle nun die restliche Tabelle so aus, dass von der $2$ bis zur $3$ gleichmäßige Abstände zwischen den Zahlen vorliegen.

  Lösung

  Um die Länge der Laternen-Kette zu bestimmen, muss Chang den Abstand zwischen den Punkten $P_1(8\vert 3)$ und $P_2(9\vert 5)$ ermitteln. Nun möchten wir ihm dabei helfen.

  Für die Berechnung des Abstands zweier Punkte $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ benötigen wir die folgende Formel:

  $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

  Wir setzen nun unsere Koordinaten in die Formel ein:

  $d=\sqrt{(9-8)^2+(5-3)^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$.

  Um dieses Ergebnis ohne Taschenrechner in eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle umzurechnen, notieren wir uns eine Tabelle, in der die nächstkleinere und die nächstgrößere Quadratzahl vorkommen.

  $ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \sqrt{4}&\sqrt{5}&\sqrt{6}&\sqrt{7}&\sqrt{8}&\sqrt{9}\\ \hline 2&&&&&3\\ \end{array} $

  Wie du siehst, haben wir auch alle Wurzeln der natürlichen Zahlen zwischen $\sqrt 4$ und $\sqrt 9$ in die Tabelle aufgenommen. Die zweite Zeile der Tabelle füllen wir nun so aus, dass wir in gleichmäßigen Abständen von der $2$ zur der $3$ gelangen. Es folgt:

  $ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \sqrt{4}&\sqrt{5}&\sqrt{6}&\sqrt{7}&\sqrt{8}&\sqrt{9}\\ \hline 2&2,2&2,4&2,6&2,8&3\\ \end{array} $

  Wir erhalten somit das Ergebnis $d=2,2$.

• Ermittle den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$.

  Tipps

  Die Distanz $d$ zweier Punkte $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ kannst du mit der folgenden Formel bestimmen:

  $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

  Im Folgenden siehst du eine Liste der Quadratzahlen von $10$ bis $20$:

  $ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} 10^2&11^2&12^2&13^2&14^2&15^2&16^2&17^2&18^2&19^2&20^2\\ \hline 100&121&144&169&196&225&256&289&324&361&400 \end{array} $

  Lösung

  Im Folgenden wird das Vorgehen bei der Berechnung der Distanz zweier Punkte am Beispiel $A(-12\vert -3)$ und $B(0 \vert -8)$ verdeutlicht.

  Die Distanz $d$ zweier Punkte $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ kannst du mit der folgenden Formel bestimmen:

  $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

  Diese wenden wir nun auf unser Beispiel an. Wir setzen die Koordinaten der Punkte $A(-12\vert -3)$ und $B(0 \vert -8)$ in die obige Formel ein und erhalten:

  $d=\sqrt{(0-(-12))^2+(-8-(-3))^2}$.

  Nun berechnen wir die Terme in den Klammern und quadrieren diese:

  $d=\sqrt{(0-(-12))^2+(-8-(-3))^2}=\sqrt{(12)^2+(-5)^2}=\sqrt{144+25}$.

  Zuletzt fassen wir die beiden Quadratzahlen zusammen und ziehen die Wurzel:

  $d=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$.

  Bei allen drei Beispielen resultiert eine Quadratzahl unter der Wurzel, sodass du für die Distanz $d$ eine ganze Zahl erhältst. Bei der Berechnung der Abstände der übrigen drei Beispiele gehst du genauso vor. Dann erhältst du folgende Ergebnisse:

  Abstand der Punkte $A(-3\vert 2)$ und $B(-7 \vert -1)$

  $d=\sqrt{(-7-(-3))^2+(-1-2)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

  Abstand der Punkte $A(-3\vert 3)$ und $B(-9 \vert -5)$

  $d=\sqrt{(-9-(-3))^2+(-5-3)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

  Abstand der Punkte $A(-6\vert 8)$ und $B(6\vert -8)$

  $d=\sqrt{(6-(-6))^2+(-8-8)^2}=\sqrt{(12)^2+(-16)^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$

• Bestimme die Distanz zwischen den Fußballspielern Luke und Max.

  Tipps

  Gesucht ist der Abstand zwischen den Punkten $L(10\vert 5)$ und $M(14\vert 8)$. Verwende hierzu die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

  Du quadrierst eine Zahl, indem du diese Zahl einmal mit sich selbst multiplizierst:

  $5^2=5\cdot 5=25$.

  Die $25$ ist eine Quadratzahl. Ziehst du die Wurzel einer Quadratzahl, so erhältst du eine ganze Zahl.

  Lösung

  Folgende Spielerpositionen sind uns bekannt:

  • Luke $L(10\vert 5)$
  • Max $M(14\vert 8)$
  • Tobi $T(12\vert 5)$

  Außerdem wissen wir, dass der Fußballspieler Luke seinem Mitspieler Max den Ball zuspielen möchte. Wir möchten nun berechnen, wie weit Luke schießen muss. Es ist also die Distanz zwischen den Punkten $L(10\vert 5)$ und $M(14\vert 8)$ gesucht. Für die Berechnung verwenden wir die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

  Wir setzen die Koordinaten ein und rechnen:

  $d=\sqrt{(14-10)^2+(8-5)^2}=\sqrt{(4)^2+(3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

  Luke muss also $5\ \text{m}$ weit schießen.

• Gib die Formeln für die Berechnung des Abstands zweier Punkte an.

  Tipps

  Die Formel, mit der der Abstand zwischen zwei Punkten berechnet werden kann, wird von dem Satz des Pythagoras abgeleitet. Dieser lautet:

  $\underbrace{a^2}_{\substack{\text{Kathete}}}+\underbrace{b^2}_{\substack{\text{Kathete}}}=\underbrace{c^2}_{\substack{\text{Hypotenuse}}}$.

  Dabei entspricht die Hypotenuse der gesuchten Distanz $d$.

  Gegeben sind die Punkte $A(1\vert 5)$ und $B(4\vert 2)$. Nun betrachten wir das Quadrat der Differenz der $x$-Koordinaten:

  • $(x_1-x_2)^2=(1-4)^2=(-3)^2=-3\cdot (-3)=9$
  • $(x_2-x_1)^2=(4-1)^2=(3)^2=3\cdot 3=9$

  Wie du siehst, spielt die Reihenfolge bei der Subtraktion keine Rolle, sofern die resultierende Differenz quadriert wird.

  Lösung

  Die Formel für die Berechnung der Distanz $d$ zweier Punkte $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ wird von dem Satz des Pythagoras abgeleitet. Dieser lautet:

  $\underbrace{a^2}_{\substack{\text{Kathete}}}+\underbrace{b^2}_{\substack{\text{Kathete}}}=\underbrace{c^2}_{\substack{\text{Hypotenuse}}}$.

  Dabei entspricht die Hypotenuse $c$ der gesuchten Distanz $d$. Also ersetzen wir nun $c$ durch $d$ und vertauschen die Seiten der Gleichung.

  $d^2=a^2+b^2$

  Die Katheten $a$ und $b$ kannst du über die Differenz der $x$- und $y$-Koordinaten bestimmen. Es folgt:

  $d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$.

  Mit dieser Formel kannst du bereits den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen. Wir können diese aber auch noch weiter umformen.

  Da die Differenzen quadriert werden, spielt die Reihenfolge der Subtraktion keine Rolle. Daher können wir die Katheten ebenfalls durch folgende Differenzen ersetzen:

  $d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$.

  Abschließend wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen, sodass wir eine Formel für die Distanz $d$ erhalten:

  $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.

• Ermittle die Länge des benötigten Seils.

  Tipps

  Du kannst dir die Formel für die Distanz aus dem Satz des Pythagoras herleiten:

  $a^2+b^2=c^2$.

  Die Koordinaten des Punktes $P_2$ sind gegeben durch $P_2(70\vert 95)$.

  Die horizontale Entfernung entspricht der Distanz entlang der $x$-Achse und die vertikale Entfernung entlang der $y$-Achse.

  Lösung

  Gesucht ist die Länge eines Seils, welches vom Punkt $P_1(10\vert 15)$ bis zu dem Punkt $P_2$ reichen soll.

  Uns ist bekannt, dass der Punkt $P_2$ eine horizontale Entfernung von $60\ \text{m}$ und eine vertikale Entfernung von $80\ \text{m}$ zum Punkt $P_1$ hat.

  Demnach erhalten wir die folgenden Koordinaten für den Punkt $P_2$:

  $P_2(10+60\vert 15+80)$ also $P_2(70\vert 95)$.

  Mit diesen beiden Punkten und der Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ können wir nun ermitteln, wie lang Thorsten das Seil wählen muss. Bei unseren Koordinaten entspricht eine Einheit einem Meter. Wir rechnen:

  $d=\sqrt{(70-10)^2+(95-15)^2}=\sqrt{(60)^2+(80)^2}$.

  Wie du bereits erkennen kannst, erhalten wir für die Differenzen in den Klammern die horizontale und vertikale Entfernung. Genau diese werden nämlich durch die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks, welches wir bei der Abstandsberechnung betrachten, beschrieben. Wir hätten uns also auch das Aufstellen des Punktes $P_2$ sparen und direkt mit den gegebenen Distanzen rechnen können. Nun weiter in unserer Rechnung:

  $d=\sqrt{(60)^2+(80)^2}=\sqrt{3~600+6~400}=\sqrt{10~000}=100$.

  Thorsten benötigt für sein Bauprojekt also ein Seil mit einer Länge von $100\ \text{m}$.