Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen

Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Übung

• Beschreibe, wie du beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren gebrochenrationaler Terme vorgehst.

  Tipps

  Das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ und der größte gemeinsame Teiler $\text{ggT}$ sind wie folgt definiert:

  • Das $\text{kgV}$ zweier ganzer Zahlen ist die kleinste ganze Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist.

  • Der $\text{ggT}$ zweier ganzer Zahlen ist die größte ganze Zahl, die beide Zahlen teilt.

  Sieh dir folgende Beispiele an:

  • $\dfrac 12+\dfrac 13=\dfrac 36+\dfrac 26=\dfrac 56$,

  • $\dfrac 12\cdot\dfrac 13=\dfrac 16$ und

  • $\dfrac 12 :\dfrac 14=\dfrac 12\cdot\dfrac 41=\dfrac 42=2$.

  Lösung

  Im Folgenden betrachten wir das Vorgehen beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren gebrochenrationaler Terme.

  Addition und Subtraktion gebrochenrationaler Terme

  Möchten wir Bruchterme addieren oder subtrahieren, so müssen wir diese zunächst gleichnamig machen – das heißt, wir bringen die Brüche auf den gleichen Nenner. Hierfür bestimmen wir erst einmal das $\text{kgV}$ der Nenner der Bruchterme. Anschließend erweitern wir alle Bruchterme so, dass ihre Nenner dem gefundenen $\text{kgV}$ entsprechen. Nun können wir die Bruchterme addieren, indem wir die Zähler addieren und die Nenner beibehalten. Bei der Subtraktion der Bruchterme müssen wir die Zähler subtrahieren und die Nenner wieder beibehalten.

  Multiplikation gebrochenrationaler Terme

  Wenn wir Bruchterme multiplizieren möchten, müssen wir alle Zähler und alle Nenner jeweils miteinander multiplizieren. Anschließend können wir den resultierenden Bruchterm, wenn möglich, kürzen.

  Division gebrochenrationaler Terme

  Möchten wir Bruchterme dividieren, müssen wir den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren. Anschließend kürzen wir den resultierenden Bruchterm, wenn möglich.

• Berechne die gesuchten gebrochenrationalen Terme.

  Tipps

  Um Bruchterme addieren oder subtrahieren zu können, musst du sie zunächst gleichnamig machen.

  Du machst Bruchterme gleichnamig, indem du sie auf einen Hauptnenner erweiterst. Der Hauptnenner entspricht dem $\text{kgV}$ der Nenner der Bruchterme.

  Du erweiterst einen Bruchterm, indem du Zähler und Nenner mit der gleichen ganzen Zahl multiplizierst.

  Manchmal kannst du den resultierenden Bruchterm noch kürzen. Hierfür teilst du Zähler und Nenner durch die gleiche ganze Zahl, nämlich dem $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner.

  Du dividierst zwei Bruchterme, indem du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizierst. Bei einer Division werden die einzelnen Terme folgendermaßen bezeichnet:

  Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient.

  Lösung

  Wir werden im Folgenden Bruchterme addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Bevor wir die Aufgaben allerdings lösen, sehen wir uns noch das Vorgehen bei den jeweiligen Rechenoperationen an.

  Aufgabe 1

  In dieser Aufgabe sollen zwei Bruchterme addiert werden. Möchten wir Bruchterme addieren, so müssen wir sie zunächst gleichnamig machen. Hierfür erweitern wir die Brüche auf den Hauptnenner, also auf ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ($\text{kgV}$). Das $\text{kgV}$ von $6x$ und $2x^2$ ist $6x^2$. Es folgt

  • $\dfrac{5}{6x} + \dfrac{3}{2x^2}=\dfrac{5\cdot x}{6x\cdot x} + \dfrac{3\cdot 3}{2x^2\cdot 3}=\dfrac{5x}{6x^2} + \dfrac{9}{6x^2}$.

  Nun addieren wir diese Bruchterme, indem wir ihre Zähler addieren und ihre Nenner beibehalten. So ergibt sich dann folgender Bruchterm:

  • $\dfrac{5x+9}{6x^2}$.

  Der Zähler und der Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, sodass wir diesen Bruchterm nicht weiter kürzen können.

  Aufgabe 2

  In dieser Aufgabe sollen zwei Bruchterme subtrahiert werden. Wenn wir Bruchterme subtrahieren möchten, müssen wir diese zunächst gleichnamig machen. Das $\text{kgV}$ von $4x$ und $3x+1$ ist $12x^2+4x$. Es folgt:

  • $\dfrac{3}{4x} - \dfrac{x^2}{3x+1}=\dfrac{3\cdot (3x+1)}{4x\cdot (3x+1)} - \dfrac{x^2\cdot 4x}{(3x+1)\cdot 4x}=\dfrac{9x+3}{12x^2+4x} - \dfrac{4x^3}{12x^2+4x}$.

  Nun subtrahieren wir diese Bruchterme, indem wir ihre Zähler subtrahieren und ihre Nenner beibehalten. So ergibt sich folgender Bruchterm:

  • $\dfrac{-4x^3+9x+3}{12x^2+4x}$.

  Der Zähler und der Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, sodass wir diesen Bruchterm nicht weiter kürzen können.

  Aufgabe 3

  In dieser Aufgabe sollen zwei Bruchterme miteinander multipliziert werden. Wenn wir Bruchterme multiplizieren möchten, müssen wir Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren. Es folgt dann:

  • $\dfrac{5}{8x^2} \cdot\dfrac{2x^3}{3}=\dfrac{5\cdot 2x^3}{8x^2\cdot 3}=\dfrac{10x^3}{24x^2}$.

  Der Zähler und der Nenner haben einen größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$), nämlich $2x^2$. Also können wir diesen Bruchterm mit $2x^2$ so weit wie möglich kürzen:

  • $\dfrac{10x^3 : 2x^2}{24x^2 : 2x^2}=\dfrac{5x}{12}$.

  Aufgabe 4

  In dieser Aufgabe sollen zwei Bruchterme dividiert werden. Wenn wir Bruchterme dividieren möchten, müssen wir den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren. Dabei multiplizieren wir wieder Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Es folgt dann:

  • $\dfrac{4x^3}{x+1} : \dfrac{x+2}{x}=\dfrac{4x^3}{x+1}\cdot\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{4x^3\cdot x}{(x+1)\cdot (x+2)}=\dfrac{4x^4}{x^2+3x+2}$.

  Der Zähler und der Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, sodass wir diesen Bruchterm nicht weiter kürzen können.

• Ermittle die gesuchten $\text{kgV}$ und $\text{ggT}$.

  Tipps

  Um den $\text{ggT}\left(4x^4+8x^3\ ;\ 6x^4\right)$ zu bestimmen, solltest du den ersten Term wie folgt ausklammern:

  • $4x^4+8x^3=4x^3(x+2)$.

  Somit musst du nur noch den $\text{ggT}$ von $4x^3$ und $6x^4$ ermitteln.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $\text{ggT}\left(18x^3\ ;\ 12x^2\right)=6x^2$,

  • $\text{kgV}\left(18x^3\ ;\ 12x^2\right)=36x^3$.

  Lösung

  Wenn wir Bruchterme gleichnamig machen möchten, müssen wir zunächst den Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ der Nenner, finden. Möchten wir Bruchterme so weit wie möglich kürzen, so müssen wir Zähler und Nenner durch deren größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ teilen.

  Im Folgenden sehen wir uns an, wie wir das $\text{kgV}$ und den $\text{ggT}$ einiger Terme bestimmen können.

  Beispiel 1

  Wir suchen das $\text{kgV}$ der Terme $2x$ und $x^2$. Wir haben hier die Faktoren $2$ und $1$ vor den Variablen. Das $\text{kgV}$ dieser Faktoren ist schon mal $2$. Wenn wir $x$ und $x^2$ vergleichen, erkennen wir, dass $x^2$ die größere Potenz und ein Vielfaches von $x$ ist. Somit erhalten wir insgesamt das folgende $\text{kgV}$:

  • $\text{kgV}\left(2x\ ;\ x^2\right)=2x^2$.

  Beispiel 2

  Wir suchen den $\text{ggT}$ der Terme $2x$ und $6x$. Wir haben hier die Faktoren $2$ und $6$ vor den Variablen. Deren Teilermengen sind $T_2=\{1;2\}$ und $T_6=\{1;2;3;6\}$. Somit ist der $\text{ggT}$ dieser beiden Zahlen die $2$. Da in beiden Termen die Größe $x$ in einfacher Potenz vorkommt, ist hier der $\text{ggT}$ gleich $x$. Somit erhalten wir insgesamt den folgenden $\text{ggT}$:

  • $\text{ggT}\left(2x\ ;\ 6x\right)=2x$.

  Beispiel 3

  Wir suchen den $\text{ggT}$ der Terme $4x^4+8x^3$ und $6x^4$. Wir können den ersten Term wie folgt ausklammern:

  • $4x^4+8x^3=4x^3(x+2)$.

  Somit müssen wir nur noch den $\text{ggT}$ der Terme $4x^3$ und $6x^4$ bestimmen. Wir betrachten zunächst die Teilermengen der Vorfaktoren:

  • $T_4=\{1;2;4\}$ und
  • $T_6=\{1;2;3;6\}$.

  Somit erhalten wir die folgenden $\text{ggT}$:

  • $\text{ggT}\left(4;6\right)=2$ und
  • $\text{ggT}\left(x^3;x^4\right)=x^3$.

  Der gesuchte $\text{ggT}$ lautet dann:

  • $\text{ggT}\left(4x^4+8x^3\ ;\ 6x^4\right)=2x^3$.

  Beispiel 4

  Wir suchen das $\text{kgV}$ der Terme $x+1$ und $2x+2$. Da der Term $2x+2$ ein Vielfaches von $x+1$ ist, lautet das gesuchte $\text{kgV}$

  • $\text{kgV}\left(x+1\ ;\ 2x+2\right)=2x+2$.

• Bestimme die resultierenden Bruchterme.

  Tipps

  Du kannst nur gleichnamige Bruchterme addieren und subtrahieren. Erweitere also die Bruchterme zunächst auf den Hauptnenner, nämlich das $\text{kgV}$ der Nenner der Bruchterme.

  Beim Dividieren zweier Bruchterme musst du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

  Lösung

  Im Folgenden werden wir Bruchterme addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Dabei gehen wir wie folgt vor.

  Addition von Bruchtermen

  1. Hauptnenner, also $\text{kgV}$ der Nenner, bestimmen
  2. Bruchterme gleichnamig machen, also auf den Hauptnenner erweitern
  3. Bruchterme addieren: Zähler addieren und Nenner beibehalten

  Subtraktion von Bruchtermen

  1. Hauptnenner, also $\text{kgV}$ der Nenner, bestimmen
  2. Bruchterme gleichnamig machen, also auf den Hauptnenner erweitern
  3. Bruchterme subtrahieren: Zähler subtrahieren und Nenner beibehalten

  Multiplikation von Bruchtermen

  1. Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren
  2. resultierenden Bruchterm gegebenenfalls mit dem $\text{ggT}$ so weit wie möglich kürzen

  Division von Bruchtermen

  1. Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren
  2. resultierenden Bruchterm gegebenenfalls mit dem $\text{ggT}$ so weit wie möglich kürzen

  Nun können wir uns den Aufgaben widmen.

  Aufgabe 1

  Es ist $\text{kgV}(2x\ ;\ x^2)=2x^2$ der Hauptnenner, auf den wir beide Bruchterme zunächst erweitern und diese anschließend addieren.

  $\dfrac{x+1}{2x}+\dfrac{3x+2}{x^2}=\dfrac{(x+1)\cdot x}{2x\cdot x}+\dfrac{(3x+2)\cdot 2}{x^2\cdot 2}=\dfrac{x^2+x}{2x^2}+\dfrac{6x+4}{2x^2}=\dfrac{x^2+7x+4}{2x^2}$

  Aufgabe 2

  Wir multiplizieren den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors.

  $\dfrac{2}{x}:\dfrac{6}{x}=\dfrac{2}{x}\cdot \dfrac{x}{6}=\dfrac{2x}{6x}$

  Diesen Bruchterm können wir noch mit dem $\text{ggT}(2x\ ;\ 6x)=2x$ kürzen zu

  $\dfrac{2x:2x}{6x:2x}=\dfrac{1}{3}$.

  Aufgabe 3

  Es ist $\text{kgV}(x+1\ ;\ 2x+2)=2x+2$ der Hauptnenner, auf den wir beide Bruchterme zunächst erweitern und diese anschließend subtrahieren.

  $\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{2x+2}=\dfrac{2\cdot 2}{(x+1)\cdot 2}-\dfrac{1}{2x+2}=\dfrac{4}{2x+2}-\dfrac{1}{2x+2}=\dfrac{3}{2x+2}$

  Aufgabe 4

  Wir multiplizieren Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner und erhalten

  $\dfrac{2}{x^4+2x^3}\cdot\dfrac{3x^4}{4}=\dfrac{2\cdot 3x^4}{(x^4+2x^3)\cdot 4}=\dfrac{6x^4}{4x^4+8x^3}=\dfrac{6x^4}{4x^3(x+2)}$.

  Diesen Bruchterm können wir noch mit dem $\text{ggT}(6x^4\ ;\ 4x^3)=2x^3$ kürzen zu

  $\dfrac{6x^4:2x^3}{4x^3(x+2):2x^3}=\dfrac{3x}{2x+4}$.

• Beschreibe, wie du beim Kürzen und Erweitern von Bruchtermen vorgehst.

  Tipps

  Den Bruch $\frac 6{12}$ kannst du wie folgt kürzen.

  • $\dfrac{6:2}{12:2}=\dfrac 36$

  • $\dfrac{6:3}{12:3}=\dfrac 24$

  • $\dfrac{6:6}{12:6}=\dfrac 12$

  Möchtest du den Bruch $\frac 6{12}$ also so weit wie möglich kürzen, so musst du Zähler und Nenner durch $6$ teilen.

  Es gilt:

  • $\text{ggT}(6;12)=6$ und
  • $\text{kgV}(6;12)=12$.

  Lösung

  Wenn wir Brüche oder Bruchterme addieren oder subtrahieren möchten, so müssen wir diese gleichnamig machen. Hierzu müssen wir wissen, wie man Brüche erweitert.

  Manchmal erhalten wir beim Rechnen mit Brüchen oder Bruchtermen auch Ergebnisse, die man noch kürzen kann. Hierzu müssen wir wissen, wie man Brüche so weit wie möglich kürzen kann.

  Es gilt:

  Brüche oder Bruchterme erweitern

  • Möchte man Brüche oder Bruchterme erweitern, so muss man Zähler und Nenner mit der gleichen ganzen Zahl multiplizieren.

  Brüche oder Bruchterme kürzen

  • Möchte man Brüche oder Bruchterme kürzen, so muss man Zähler und Nenner durch die gleiche ganze Zahl dividieren.
  • Möchte man Brüche oder Bruchterme so weit wie möglich kürzen, so muss man Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ teilen.

• Erschließe den resultierenden Bruchterm.

  Tipps

  Beachte die Vorrangregel Punkt- vor Strichrechnung!

  Dividiere zwei Bruchterme, indem du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizierst.

  Bei der Addition und Subtraktion von Bruchtermen müssen diese gleichnamig sein.

  Lösung

  Wir betrachten folgende Rechenaufgabe:

  $\dfrac{2x}{5}-\dfrac{1}{x^2}:\dfrac{5}{x}+\dfrac{x-1}{x^2}\cdot\dfrac{x}{3}$.

  Diese setzt sich aus unterschiedlichen Rechenoperationen zusammen. Eine Vorrangregel besagt, dass Punkt- vor Strichrechnung ausgeführt werden muss. Also berechnen wir zuerst die Division und die Multiplikation.

  Division
  Wir multiplizieren den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors. Den resultierenden Bruchterm können wir mit $x$ kürzen:

  • $\dfrac{1}{x^2}:\dfrac{5}{x}=\dfrac{1}{x^2}:\dfrac{x}{5}=\dfrac{x}{5x^2}=\dfrac{1}{5x}$.

  Multiplikation
  Wir multiplizieren Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Den resultierenden Bruchterm können wir mit $x$ kürzen:

  • $\dfrac{x-1}{x^2}\cdot\dfrac{x}{3}=\dfrac{(x-1)\cdot x}{x^2\cdot 3}=\dfrac{x^2-x}{3x^2}=\dfrac{x-1}{3x}$.

  Nun haben wir die Aufgabe ein wenig vereinfacht. Wir müssen nun von links nach rechts weiterrechnen mit folgender Aufgabe:

  $\dfrac{2x}{5}-\dfrac{1}{5x}+\dfrac{x-1}{3x}$.

  Subtraktion
  Wir machen die Bruchterme gleichnamig und subtrahieren:

  • $\dfrac{2x}{5}-\dfrac{1}{5x}=\dfrac{2x\cdot x}{5\cdot x}-\dfrac{1}{5x}=\dfrac{2x^2}{5x}-\dfrac{1}{5x}=\dfrac{2x^2-1}{5x}$.

  Addition
  Nun müssen wir nur noch die Addition durchführen. Wir machen wieder gleichnamig und addieren. Es folgt:

  • $\dfrac{2x^2-1}{5x}+\dfrac{x-1}{3x}=\dfrac{(2x^2-1)\cdot 3}{5x\cdot 3}+\dfrac{(x-1)\cdot 5}{3x\cdot 5}=\dfrac{6x^2-3}{15x}+\dfrac{5x-5}{15x}=\dfrac{6x^2+5x-8}{15x}$.