Gebrochenrationale Terme vereinfachen

Gebrochenrationale Terme vereinfachen Übung

• Vereinfache den gebrochenrationalen Term.

  Tipps

  Faktorisieren bedeutet, dass ein Term in mehrere Faktoren zerlegt wird. $12$ kannst du unter anderem zu $4\cdot 3$ oder $2\cdot 2\cdot 3$ faktorisieren.

  Beim Faktorisieren ist es oft hilfreich, eine binomische Formel zu verwenden. Die zweite binomische Formel lautet:

  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Lösung

  Die Rechnung kannst du so ordnen:

  Der Zähler des Terms $\frac{x-5}{x^2-10x+25}$ ist bereits vereinfacht.

  Also muss nur noch der Nenner faktorisiert werden. Dann ergibt sich folgender gebrochenrationaler Term mit faktorisiertem Nenner:

  • $=\dfrac{x-5}{(x-5)(x-5)}$.

  Faktorisieren bedeutet, dass ein Term in mehrere Faktoren zerlegt wird. Hier wurde dafür die zweite binomische Formel angewandt. Diese lautet: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
  Diese Formel kannst du rückwärts auf den Nenner des gegebenen Terms anwenden. Dabei gilt $x=a$ und $5=b$ und es folgt:

  • $x^2-10x+25=(x-5)^2=(x-5)\cdot(x-5)$.

  Nun kann man den gebrochenrationalen Term mit faktorisiertem Nenner noch kürzen zu: $\dfrac{1}{x-5}$.

  Nach der Faktorisierung kannst du den Faktor $x-5$ kürzen, denn dieser Faktor kommt im Nenner und Zähler des Bruchs vor.

• Vereinfache den gebrochenrationalen Term.

  Tipps

  Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl oder der größte Term, durch den zwei oder mehrere Zahlen oder Terme teilbar sind.

  Hast du den größten gemeinsamen Teiler im Nenner und Zähler eines Bruchs bestimmt und ausgeklammert, kannst du den Bruch durch ihn kürzen.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  „Um den Term zu vereinfachen, muss er zuerst einen größten gemeinsamen Teiler finden. Dazu faktorisiert er den Nenner und Zähler des Bruchs. (...)“

  • Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl oder der größte Term, durch den zwei oder mehrere Zahlen oder Terme teilbar sind. Hast du ihn in Nenner und Zähler eines Bruchs bestimmt und ausgeklammert, kannst du den Bruch durch ihn kürzen.

  „Den Faktor $x^2+13x+42$ kann er weiter faktorisieren. Dann erhält er: $=(x+6)\cdot (x+7)$.“

  • Multiplizierst du diesen Term aus, erhältst du wieder $x^2+13x+42$.

  „Für den gebrochenrationalen Term (...) kann er noch den Faktor $6$ in die Faktoren $2$ und $3$ zerlegen. Das ergibt: $\frac{3 \cdot 2 \cdot x^2 \cdot (x+7) }{2 \cdot (x+6)\cdot (x+7)}$.“

  • Der größte gemeinsame Teiler ist also $2(x+7)$.

  „Das Binom $(x+7)$ und den Faktor $2$ kann er kürzen und erhält: $\frac{3 \cdot x^2 }{ (x+6)}$.“

• Erschließe den vereinfachten gebrochenrationalen Term.

  Tipps

  Zu Beginn ist es immer hilfreich, den größtmöglichen Faktor in Zähler und Nenner auszuklammern. Anschließend kannst du weiter faktorisieren.

  Nachdem Nenner und Zähler faktorisiert sind, kannst du gleiche Faktoren im Nenner und Zähler streichen.

  Lösung

  Die Rechnung wird in dieser Reihenfolge durchgeführt:

  Zuerst klammert sie die größtmöglichen Faktoren in Zähler und Nenner aus: $\frac{3(x^2-25)}{2x(x^2+10x+25)}$.

  Zu Beginn ist es immer hilfreich, den größtmöglichen Faktor in Zähler und Nenner auszuklammern. Anschließend kannst du weiter faktorisieren.

  Dann faktorisiert sie den Zähler weiter: $\frac{3(x-5)(x+5)}{2x(x^2+10x+25)}$.

  Nachdem der Zähler vollständig faktorisiert ist, muss sie noch den Nenner weiter faktorisieren: $\frac{3(x-5)(x+5)}{2x(x+5)(x+5)}$.

  Nach dem Faktorisieren kürzt sie den gebrochenrationalen Term zu: $\frac{3(x-5)}{2x(x+5)}$.

  Nachdem Nenner und Zähler faktorisiert sind, kannst du gleiche Faktoren im Nenner und Zähler streichen.

• Ermittle die vereinfachte Form des gebrochenrationalen Terms.

  Tipps

  Um den Term zu vereinfachen, musst du zuerst den größtmöglichen Faktor im Nenner und Zähler ausklammern.

  Im Anschluss faktorisierst du Nenner und Zähler so weit wie möglich und kürzt gleiche Faktoren.

  Lösung

  Um den Term zu vereinfachen, musst du zuerst den größtmöglichen Faktor aus Nenner und Zähler ausklammern. Dann faktorisierst du Nenner und Zähler so weit wie möglich. Zuletzt kürzt du. Hierzu schauen wir uns folgenden gebrochenrationalen Term an:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{8x^2+32x}{2x^4+16x^3+32x^2}&=\dfrac{8x(x+4)}{2x^2(x^2+8x+16)} \\ &=\dfrac{8x(x+4)}{2x^2(x+4)(x+4)} \\ &=\dfrac{4}{x(x+4)} \\ &=\dfrac{4}{x^2+4x} \\ \end{array}$

  Hier wurde zum Faktorisieren des Terms $x^2+8x+16$ die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ mit $a=x$ und $b=4$ verwendet.

  Nun betrachten wir folgendes Beispiel:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{8x^3-72x}{8x^2-24x}&=\dfrac{8x(x^2-9)}{8x(x-3)}\\ &=\dfrac{8x(x-3)(x+3)}{8x(x-3)}\\ &=(x+3)\\ \end{array}$

  Hier wurde die dritte binomische Formel $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ mit $a=x$ und $b=3$ verwendet.

  Die anderen gebrochenrationalen Terme kannst du analog bestimmen. Dann ergibt sich:

  • $\dfrac{8x^2-32x}{12x^3-8x^2}=\dfrac{2x-8}{3x^2-2x}$

  • $\dfrac{9x^4-15x^2}{9x^4+32x^3-12x^2}=\dfrac{3x^2-5}{3x^2+8x-4}$

• Bestimme die korrekten Aussagen zu gebrochenrationalen Termen.

  Tipps

  Eine Variable ist nur ein Platzhalter für eine Zahl. Beim Rechnen kannst du Variablen wie eine Zahl behandeln.

  Zahlen, die im Nenner und Zähler eines Bruchs vorkommen, kannst du kürzen, weil du in diesem Fall eine Zahl durch sich selbst teilst. Das ergibt immer $1$.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Zahlen, die zu einer Variablen addiert oder subtrahiert werden, kannst du ausklammern.“

  • Du kannst nur Zahlen ausklammern, die als Faktor in allen Teilen einer Addition oder Subtraktion vorkommen. Zum Beispiel: $2x+6y=2x+2\cdot 3y=2(x+3y)$

  „Auch wenn Variablen als Faktor im Nenner und Zähler des Bruchs vorkommen, können sie nicht gekürzt werden.“

  • Wie Zahlen können Variablen oder Terme gekürzt werden, wenn sie als Faktor im Nenner und Zähler des Bruchs vorkommen.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Um gebrochenrationale Terme zu vereinfachen, musst du den Bruch kürzen.“

  „Um gebrochenrationale Terme vollständig zu vereinfachen, musst du den größten gemeinsamen Teiler des Nenners und Zählers finden.“

  „Du kannst Zahlen oder Terme kürzen, die als Faktor im Nenner und im Zähler des Bruchs vorkommen.“

• Ermittle, ob der Term korrekt vereinfacht wurde.

  Tipps

  Beim Faktorisieren ist es manchmal hilfreich, die dritte binomische Formel zu verwenden:

  $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

  Lösung

  Bei diesen Termen wurden Fehler gemacht:

  • $\frac{x^2-y^2}{8x^2-8xy}\neq\frac{1+x}{4}$

  So kannst du den Term korrekt vereinfachen:

  $\begin{array}{llll} \frac{x^2-y^2}{8x^2-8xy} &=\frac{(x+y)(x-y)}{8x(x-y)} \\ &=\frac{(x+y)}{8x} \end{array}$

  Hier wurde die dritte binomische Formel angewandt:

  $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

  • $\frac{9x(x^2-y^2)}{18xy(x^2-2xy+y^2)}\neq\frac{x-y}{2(x+y)}$

  Diesen Term kannst du so korrekt vereinfachen:

  $\begin{array}{llll} \frac{9x(x^2-y^2)}{18xy(x^2-2xy+y^2)} &=\frac{9x(x-y)(x+y)}{18xy(x-y)(x-y)} \\ &=\frac{(x+y)}{2y(x-y)} \\ \end{array}$

  Hier wurde außerdem die zweite binomische Formel angewandt:

  $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$

  Diese Terme wurden korrekt vereinfacht:

  • $\frac{3x^2+3xy}{3xy^2+9x^2}=\frac{3x(x+y)}{3x(y^2+3x)}=\frac{x+y}{y^2+3x}$

  • $\frac{8xy}{4x}=\frac{4x\cdot 2y}{4x}=2y$