Addition und Subtraktion von Vektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren Übung

• Beschreibe, wie Vektoren addiert und subtrahiert werden.

  Tipps

  Vektoren sind nicht ortsgebunden. Du kannst sie daher beliebig verschieben.

  Der Gegenvektor wird rechnerisch durch Umkehr der Vorzeichen gebildet:

  Der Gegenvektor von $\vec{v}$ ist $-\vec{v}$.

  Lösung

  Vektoren lassen sich durch Pfeile darstellen. Diese sind durch ihre Länge und ihre Richtung gekennzeichnet. Sie sind jedoch nicht ortsgebunden im Raum. Wir können sie daher auch verschieben.

  Wir betrachten die Addition der beiden Vektoren $\vec{a} + \vec{b}$:
  Um den Vektor $\vec{b}$ zum Vektor $\vec{a}$ zu addieren, legen wir den Vektor $\color{#669900}{\mathbf{\vec{b}}}$ an die Pfeilspitze von $\color{#669900}{\mathbf{\vec{a}}}$ an. Wir zeichnen dann einen neuen Pfeil ein, der im Startpunkt von $\vec{a}$ beginnt und an der Pfeilspitze von $\vec{b}$ endet. Dieser neue Vektor ist die Summe $\vec{a} + \vec{b}$.

  Wir betrachten die Subtraktion der beiden Vektoren $\vec{a} - \vec{b}$:
  Dies entspricht der Addition $\vec{a} + (- \vec{b})$. Anschaulich bedeutet dies, dass wir den Vektorpfeil $\vec{b}$ umkehren müssen.
  Um den Vektor $\vec{b}$ vom Vektor $\vec{a}$ zu subtrahieren, legen wir daher den Gegenvektor von $\color{#669900}{\mathbf{\vec{b}}}$ an die Pfeilspitze von $\color{#669900}{\mathbf{\vec{a}}}$ an. Wir zeichnen dann wieder einen neuen Pfeil ein, der im Startpunkt von $\color{#669900}{\mathbf{\vec{a}}}$ beginnt und in der Pfeilspitze des Gegenvektors endet. Dieser neue Vektor ist die Differenz $\vec{a} - \vec{b}$.

• Bestimme das Ergebnis der Rechnung.

  Tipps

  Um Vektoren rechnerisch zu addieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren.

  Achte auf negative Vorzeichen und setze gegebenenfalls zuerst Klammern: $-4-(-1) = -4+1 = -3$

  Lösung

  Zeichnerisch können wir Vektorpfeile addieren, indem wir den Startpunkt des einen Pfeils an die Pfeilspitze des anderen Pfeils zeichnen. Der Pfeil des Summenvektors verläuft dann von Startpunkt des ersten Pfeils direkt zur Spitze des zweiten Pfeils.
  Um Vektoren rechnerisch zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren bzw. subtrahieren.

  
  

  Bei den gegebenen Aufgaben rechnen wir wie folgt:

  $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+({-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

  $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 \\ ({-2})+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$

  $\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ({-5})+0 \\ 3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \end{pmatrix}$

  $\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-4 \\ ({-4})-({-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

• Formuliere die dargestellte Rechenoperation.

  Tipps

  Achte auf die Richtung der Vektoren.

  Lösung

  Wir können Vektorpfeile durch Aneinandersetzen grafisch addieren und subtrahieren:

  Addition: $\vec{a} + \vec{b}$:
  Um den Vektor $\vec{b}$ zum Vektor $\vec{a}$ zu addieren, legen wir den Vektor $\vec{b}$ an die Pfeilspitze von $\vec{a}$ an. Wir zeichnen dann den Summenvektor von $\vec{a}$ beginnend und in der Pfeilspitze von $\vec{b}$ endend.

  Subtraktion: $\vec{a} - \vec{b}$:
  Wir legen den Gegenvektor $-\vec{b}$ an die Pfeilspitze von $\vec{a}$ an. Wir zeichnen den Differenzvektor im Startpunkt von $\vec{a}$ beginnend und an der Pfeilspitze von $-\vec{b}$ endend. Alternativ können wir den Differenzvektor auch von der Pfeilspitze von $\vec{b}$ zur Pfeilspitze von $\vec{a}$ zeichnen, wenn beide Vektoren im gleichen Punkt starten.

  Wir betrachten nun unsere Abbildungen:

  erste Abbildung:
  Der Vektor $\vec{v}$ wurde an den Vektor $\vec{u}$ angesetzt:
  $\vec{u} + \vec{v}$

  zweite Abbildung:
  Der Vektor $\vec{u}$ wurde an den Vektor $\vec{w}$ angesetzt:
  $\vec{w} + \vec{u}$

  dritte Abbildung:
  Der Vektor $\vec{w}$ wurde an den Vektor $\vec{u}$ angesetzt:
  $\vec{u} + \vec{w}$

  vierte Abbildung:
  Der Vektor $-\vec{v}$ (Gegenvektor von $\vec{v}$) wurde an den Vektor $\vec{u}$ angesetzt:
  $\vec{u} - \vec{v}$

• Berechne die Additions- und Subtraktionsaufgaben zu Vektoren.

  Tipps

  Beispiel:

  $\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 5+({-4}) \\ 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

  Lösung

  Um Vektoren rechnerisch zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren bzw. subtrahieren.
  Bei den gegebenen Aufgaben rechnen wir wie folgt:

  $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ({-2})-({-3}) \\ 4-0 \\ ({-3})-({-7}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$

  $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+({-2})+2 \\ 2+6+({-4}) \\ ({-3})+5+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

  $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -9 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-({-9})+3 \\ ({-2})-4+4 \\ ({-3})-({-5})+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

• Gib das Ergebnis der Vektoraddition an.

  Tipps

  Beachte die Rechenregeln bei der Addition ganzer Zahlen. Hier siehst du die Regeln an einigen Beispielen:

  $4 + (-3) = 4-3 = 1$
  $4 + (+3) = 4+3 = 7$
  $-4 + (-3) = -4-3 = -7$
  $-4 + (+3) = -4+3 = -1$

  Beispiel:

  $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+8 \\ 5+({-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$

  Lösung

  Um Vektoren rechnerisch zu addieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren.
  Bei der gegebenen Aufgabe achten wir besonders auf die Vorzeichen:

  $\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + ({-4}) \\ ({-7}) + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ -7+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

• Überprüfe die Aussagen zur Addition und Subtraktion von Vektoren.

  Tipps

  Die Addition von ganzen Zahlen ist assoziativ, da gilt:

  $a + (b + c) = (a + b) + c \quad$ (Assoziativgesetz)

  Lösung

  Vektoren können wir anschaulich durch das Aneinandersetzen von Vektorpfeilen addieren und subtrahieren. Um Vektoren rechnerisch zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir die Koordinaten zeilenweise addieren bzw. subtrahieren.

  Wir betrachten die gegebenen Aussagen:

  „Der Summenvektor ist immer länger als die Vektoren der Summanden.“
  Falsch! Dies ist nicht immer der Fall. Je nach Richtung der einzelnen Vektoren kann der Summenvektor auch kürzer sein als einer oder beide Summanden. Ein Beispiel siehst du in der Darstellung oben.

  „Der Summenvektor beginnt immer im Anfangspunkt des Vektors des ersten Summanden.“
  Falsch! Da Vektoren nicht ortsgebunden sind, können sie beliebig im Raum verschoben werden. Dies gilt auch für den Summenvektor.

  „Werden mehr als zwei Vektoren addiert, so werden sie wie eine Kette aneinandergereiht.“
  Richtig! Es können beliebig viele Vektoren addiert werden. Jeder weitere Summand wird an die Spitze des vorherigen Summanden gesetzt. Damit bildet sich eine Art Vektorkette. Der Summenvektor kann dann vom Anfangspunkt des ersten Vektors zur Spitze des letzten Vektors gezeichnet werden.

  „Die Vektoraddition ist assoziativ.“
  Richtig! Bei Beachtung der Vorzeichen können die Klammern beliebig getauscht werden:
  $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \right)= \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1+b_1+c_1 \\ a_2+b_2+c_2 \end{pmatrix}$

  „Durch Vertauschen von Minuend und Subtrahend bei der Subtraktion von Vektoren erhält man den Gegenvektor.“
  Richtig! Der Gegenvektor wird rechnerisch durch Umkehr der Vorzeichen gebildet. Das heißt allgemein ist $-\vec{v}$ der Gegenvektor von $\vec{v}$. Für den Gegenvektor einer Differenz mit Minuend $\vec{a}$ und Subtrahend $\vec{b}$ gilt dann: $-(\vec{a} - \vec{b}) = -\vec{a} - (-\vec{b}) = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$. Hier sind Minuend und Subtrahend vertauscht.

  „Bei der Addition und Subtraktion von Vektoren werden Klammern ignoriert.“
  Falsch! Klammern müssen auch beim Rechnen mit Vektoren beachtet werden.