Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Einführung

In diesem Text werden Elemente der beiden folgenden mathematischen Teilgebiete vorgestellt.

Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. In diesem werden algebraische Methoden genutzt, um geometrische Zusammenhänge zu untersuchen.

Lineare Algebra

Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen.

Vektorrechnung

Mithilfe von Vektoren können in der Geometrie Parallelverschiebungen in der Ebene bzw. im Raum dargestellt werden. Im Folgenden betrachten wir Vektoren mit drei Einträgen.

• Du kannst Vektoren miteinander addieren oder voneinander subtrahieren.
• Du kannst einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren.
• Die Länge eines Vektors ist durch $\left|\vec a\right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$ definiert. Dabei sind $a_x$, $a_y$ und $a_z$ die drei Einträge des Vektors $\vec a$.
• Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec a\star \vec b$ liefert als Ergebnis eine Zahl.
• Das Kreuzprodukt (oder auch Vektorprodukt) zweier Vektoren $\vec a\times \vec b$ liefert als Ergebnis einen Vektor. Der Ergebnisvektor $\vec c$ steht dabei senkrecht auf den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$.

Punkte im $\mathbb{R}^{3}$

Punkte werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet. Im $\mathbb{R}^{3}$ hat jeder Punkt $3$ Koordinaten. Zusätzlich zu der $x$- und $y$-Koordinate aus dem $\mathbb{R}^{2}$ gibt es noch die $z$-Koordinate. Manchmal werden diese auch als $x_{1}$-, $x_{2}$- sowie $x_{3}$-Koordinate bezeichnet.

Der Vektor, der vom Koordinatenursprung $O$ zu einem Punkt führt, wird als Ortsvektor dieses Punktes bezeichnet. Schau dir zum Beispiel den Punkt $A$ mit den Koordinaten $(1|3|{-4})$ an. Der zugehörige Ortsvektor ist gegeben durch:

$\vec a= \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ {-4} \end{pmatrix}$

Der Vektor, der zwei Punkte miteinander verbindet, ist der Verbindungsvektor. Der Abstand zweier Punkte ist die Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte.

Geraden im $\mathbb{R}^{3}$

Eine Gerade im $\mathbb{R}^{3}$ ist durch folgende Gleichung gegeben:

$g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec v$

Dabei haben die einzelnen Größen die folgende Bedeutung:

• $\vec x$ ist ein Vektor, der auf einen beliebigen Punkt der Geraden zeigt.
• $\vec a$ ist ein Vektor, der auf einen gegebenen Punkt der Geraden zeigt. Dieser Vektor wird auch als Stützvektor bezeichnet.
• $r\in\mathbb{R}$ ist ein Parameter.
• $\vec v$ ist der Richtungsvektor der Geraden.

Lagebeziehung Punkt zu Gerade

In diesem Szenario betrachten wir einen Punkt $P$ und eine Gerade $g$. Es gibt nun genau zwei Möglichkeiten. Entweder der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$. Dann hat die Gleichung $\vec p=\vec a+r\cdot \vec v$ eine eindeutige Lösung für $r$. Das Berechnen von $r$ wird als Punktprobe bezeichnet. Wenn der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$ liegt, ist die Gleichung nicht lösbar. Dann kann man den kürzesten Abstand von $P$ zu $g$ bestimmen.

Lagebeziehung Gerade zu Gerade

Sind die Richtungsvektoren zweier Geraden kollinear, so sind die Geraden identisch oder parallel zueinander. Andernfalls schneiden sich die Geraden oder sind windschief.

Wenn zwei Geraden sich schneiden, kannst du den Schnittpunkt und den Schnittwinkel berechnen. Bei parallelen oder windschiefen Geraden kannst du den (kürzesten) Abstand der Geraden zueinander berechnen.

Ebenen im $\mathbb{R}^{3}$

Eine Ebene im $\mathbb{R}^{3}$ kann durch folgende Gleichung gegeben sein:

$E:\vec x=\vec a+r\cdot \vec v+s\cdot \vec w$

Diese Gleichung wird Parametergleichung der Ebene genannt. Die einzelnen Größen haben die folgende Bedeutung:

• $\vec x$ ist ein Vektor, der auf einen beliebigen Punkt der Ebene zeigt.
• $\vec a$ ist ein Vektor, der auf einen gegebenen Punkt der Ebene zeigt. Dieser Vektor wird als Stützvektor bezeichnet.
• $r\in\mathbb{R}$ und $s\in\mathbb{R}$ sind Parameter.
• $\vec v$ und $\vec w$ sind die Richtungsvektoren der Ebene.

Weitere Darstellungsformen von Ebenen

• Normalengleichung oder Normalenform: $E:\left(\vec x-\vec a\right)\star \vec n=0$. Dabei ist $\vec a$ der Stützvektor und $\vec n$ ein Normalenvektor der Ebene. Dieser steht senkrecht zu der Ebene. Einen solchen Vektor kannst du mit Hilfe des Kreuzprodukts der beiden Richtungsvektoren bestimmen.
• Hesse-Normalenform: Um diese Form zu erhalten, dividierst du in der Normalengleichung auf beiden Seiten durch die Länge des Normalenvektors. Diese Darstellungsform verwendest du zur Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Ebene.
• Koordinatengleichung oder Koordinatenform: $E:n_{x}\cdot x+n_{y}\cdot y+n_{z}\cdot z=\vec n\star\vec a$. Dabei sind $n_{x}$, $n_{y}$ sowie $n_{z}$ die Koordinaten des Normalenvektors.

Lagebeziehung Punkt zu Ebene

Tipp: Verwende hierfür die Koordinatengleichung. Setze die Koordinaten des Punktes für $x$, $y$ und $z$ ein.

Wenn die Gleichung erfüllt ist, liegt der Punkt in der Ebene. Andernfalls liegt der Punkt nicht in der Ebene. Du kannst dann den Abstand des Punktes zu der Ebene berechnen. Hierfür verwendest du die Hesse-Normalenform.

Lagebeziehung Gerade zu Ebene

Bei der Betrachtung einer Gerade $g$ und einer Ebene $E$ gibt es drei Möglichkeiten:

1. Die Gerade ist parallel zur Ebene. In diesem Fall kannst du den Abstand der Geraden zu der Ebene berechnen. Dieser ist für alle Punkte der Geraden gleich. Du berechnest also den Abstand eines Punktes der Geraden zu der Ebene.
2. Die Gerade liegt in der Ebene. Dies ist der Fall, wenn der Richtungsvektor von $g$ senkrecht zu $\vec n$ ist und der Stützvektor von $g$ ein Punkt von $E$ ist.
3. Die Gerade schneidet die Ebene. In diesem Fall kannst du den Schnittpunkt und auch den Schnittwinkel berechnen.

Lagebeziehung Ebene zu Ebene

Wenn man die Lagebeziehung zweier Ebenen untersucht, gibt es ebenfalls drei Möglichkeiten. Die Ebenen können...

• ... identisch sein.
• ... echt parallel zueinander sein.
• ... eine Schnittgerade besitzen.

Kugeln im $\mathbb{R}^{3}$

Eine Kugel im $\mathbb{R}^{3}$ ist gegeben durch die folgende Vektorgleichung:

$K:\left(\vec x-\vec m\right)^{2}=r^{2}$

Dabei berechnest du das Quadrat auf der linken Seite mit Hilfe des Skalarprodukts. Die einzelnen Bezeichnungen haben die folgende Bedeutung:

• $\vec x$ ist ein Vektor, welcher auf einen beliebigen Punkt auf dem Kugelrand zeigt.
• $\vec m$ ist der Ortsvektor des Mittelpunktes $M$ der Kugel.
• $r\in\mathbb{R}$ ist der Radius der Kugel.

Lagebeziehung Punkt zu Kugel

Ein Punkt kann innerhalb einer Kugel, auf dem Kugelrand oder außerhalb der Kugel liegen.

Lagebeziehung Gerade zu Kugel

Auch hier gibt es drei Möglichkeiten. Die Gerade kann...

• ... die Kugel in zwei Punkten schneiden. Eine solche Gerade wird als Sekante bezeichnet.
• ... die Kugel in einem Punkt berühren. Eine solche Gerade wird als Tangente bezeichnet.
• ... keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kugelrand haben. Dies ist eine Passante.

Lagebeziehung Ebene zu Kugel

Auch für diese Lagebeziehung gibt es drei Möglichkeiten. Die Ebene und die Kugel berühren sich. Man spricht von einer Tangentialebene. Die Ebene kann den Kugelrand auch schneiden. Die Schnittmenge ist ein Kreis. Schließlich kann sie auch keine gemeinsamen Punkte mit dem Kugelrand haben.