Ebenen – Gleichungen und Lagebeziehungen

Ebenen im $\mathbb{R}^{3}$

Eine Ebene im $\mathbb{R}^{3}$ kann wie folgt gegeben sein:

$E:\vec x=\vec a+r\cdot \vec v+s\cdot \vec w$

Dies wird als Parameterform der Ebene bezeichnet. Die einzelnen Größen haben die folgende Bedeutung:

• $\vec x$ ist ein Vektor, welcher auf einen beliebigen Punkt der Ebene zeigt.
• $\vec a$ ist ein Vektor, welcher auf einen gegebenen Punkt der Ebene zeigt. Dieser Vektor wird als Stützvektor bezeichnet.
• $r\in\mathbb{R}$ und $s\in\mathbb{R}$ sind Parameter.
• $\vec v$ und $\vec w$ sind die Richtungsvektoren der Ebene.

Es existieren noch weitere Darstellungsformen von Ebenen. Je nach Fragestellung wirst du sehen, welche der Formen sinnvoller ist.

Die Normalenform: $E:\left(\vec x-\vec a\right)\star \vec n=0$. Dabei ist $\vec a$ der Stützvektor und $\vec n$ ein Normalenvektor der Ebene. Dieser steht senkrecht zu der Ebene. Einen solchen Vektor kannst du als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmen.

Die Hesse-Normalenform: Um diese Form zu erhalten, dividierst du in der Normalenform auf beiden Seiten durch die Länge des Normalenvektors. Diese Darstellungsform verwendest du zur Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Ebene.

Die Koordinatenform: $E:n_{x}\cdot x+n_{y}\cdot y+n_{z}\cdot z=\vec n\star \vec a$. Dabei sind $n_{x}$, $n_{y}$ sowie $n_{z}$ die Koordinaten des Normalenvektors. Auf der rechten Seite steht das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem Stützvektor.

Du kannst auch von der Koordinatenform wieder zurück zu der Parameterform kommen: Hierfür benötigst du zwei nicht kollineare Vektoren $\vec v$ sowie $\vec w$, welche senkrecht zu dem Normalenvektor $\vec n$ sind. Dies sind die Richtungsvektoren. Einen Punkt der Ebene findest du zum Beispiel so: Du setzt $x=y=0$ und formst dann $n_{z}\cdot z=\vec n \star \vec a$ nach $z$ um. So erhältst du einen Punkt $(0|0|z)$, welcher in der Ebene liegt. Dies geht natürlich nur, wenn $n_{z}\neq 0$ ist. Andernfalls setzt du zwei andere Koordinaten gleich $0$. Übrigens: Ein so gefundener Punkt wird Achsenabschnittpunkt genannt.

Lagebeziehung Punkt zu Ebene

Sei $P$ ein Punkt im $\mathbb{R}^{3}$. Es ist für viele Anwendungen interessant, mehr über die Lagebeziehung zwischen $P$ und der Ebene $E:\vec x=\vec a+r\cdot \vec v+s\cdot \vec w$ zu erfahren.

Dazu wird der Ortsvektor des Punktes $P$ mit der Ebenengleichung gleichgesetzt: $E:\vec p=\vec a+r\cdot \vec v+s\cdot \vec w$. Ergibt sich eine eindeutige Lösung für $r$ und $s$, liegt der Punkt auf der Ebene.

Ist die Gleichung aber nicht lösbar, liegt der Punkt auch nicht auf der Ebene. Der Punkt befindet sich dann oberhalb oder unterhalb der Ebene.

Ist die Ebene in Koordinatenform gegeben, können die Koordinaten des Punktes auch einfach in die Ebenengleichung eingesetzt werden. Ergibt sich für die entstandene Gleichung eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf der Ebene, sonst nicht.

Lagebeziehung Gerade zu Ebene

Sei $g:\vec x=\vec b+t\cdot \vec u$ eine Gerade im $\mathbb{R}^{3}$. Es ist für viele Anwendungen interessant, mehr über die Lagebeziehung zwischen $g$ und der Ebene $E:\vec x=\vec a+r\cdot \vec v+s\cdot \vec w$ zu erfahren.

Zunächst untersucht man, ob der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: Einmal kann die Gerade in der Ebene liegen. Dann liegen auch alle Punkte der Geraden in der Ebene. Setzt man die Vorschriften für $g$ und $E$ gleich, entstehen für alle drei Koordinatengleichungen wahre Aussagen.

Die Gerade kann aber auch parallel zur Ebene verlaufen. In diesem Fall entsteht beim Gleichsetzen von $g$ und $E$ in den drei Koordinatengleichungen mindestens eine falsche Aussage.

Schließlich bleibt noch die Möglichkeit, dass die Gerade die Ebene in einem Punkt $S$, dem Schnittpunkt, schneidet. Dies ist der Fall, wenn der Richtungsvektor der Geraden nicht senkrecht zu dem Normalenvektor der Ebene ist. Gleichsetzen von $g$ und $E$ liefert hier genau eine Lösung: Die Koordinaten des Schnittpunktes $S$.

Der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene heißt Spurpunkt. Das Berechnen von Schattenwürfen ist eine häufige Anwendung von Spurpunkten.

Lagebeziehung Ebene zu Ebene

Seien $E_1$ und $E_2$ zwei Ebenen im $\mathbb{R}^{3}$ mit den Normalenformen $E_{1}:\left(\vec x-\vec a\right)\star \vec n_{1}=0$ und $E_{2}:\left(\vec x-\vec b\right)\star \vec n_{2}=0$. Es ist für viele Anwendungen interessant, mehr über die Lagebeziehung zwischen $E_1$ und $E_2$ zu erfahren.

Wenn die Normalenvektoren $\vec n_{1}$ sowie $\vec n_{2}$ dieser beiden Ebenen kollinear zueinander sind, gibt es die folgenden beiden Lagebeziehungen: Einmal können die Ebenen identisch sein. Gleichsetzen der Parameterformen von $E_1$ und $E_2$ ergibt dann für alle drei Koordinatengleichungen wahre Aussagen.

Die Ebenen können aber auch parallel sein. Dann entsteht beim Gleichsetzen von $E_1$ und $E_2$ mindestens eine falsche Aussage.

Schließlich bleibt noch der Fall, dass die Normalenvektoren der Ebenen nicht kollinear zueinander sind. Dann schneiden sich die Geraden und Gleichsetzen der Parameterformen von $E_1$ und $E_2$ führt zu der Gleichung der Schnittgeraden.