Von der Koordinatenform in die Parameterform

Von der Koordinatenform in die Parameterform Übung

• Beschreibe die Umwandlung einer Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform.

  Tipps

  Ebenengleichung in Parameterform:

  $E$: $\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Dabei ist $\vec{p}$ der Stützvektor und die beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind die Richtungsvektoren.

  Der Stützvektor $\vec{p}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).

  Lösung

  Eine Ebene können wir angeben in:

  • Parameterform
  • Normalenform
  • Koordinatenform

  
  

  Ebenengleichung in Parameterform:

  $E$: $\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor, $\vec{u}$ und $\vec{v}$ stellen die Richtungsvektoren dar.

  Ebenengleichung in Normalenform:

  $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

  Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor und $\vec{n}$ den Normalenvektor dar.

  Ebenengleichung in Koordinatenform:

  $E$: $ax+by+cz=d \qquad(a, b, c, d \in \mathbb{R})$

  Wir können sehen, dass die Koordinatenform eine etwas andere Darstellung der Ebene ist und ohne Vektoren auskommt.

  
  

  Wir betrachten die Umwandlung einer Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform. Um die Ebene in Parameterform anzugeben, brauchen wir:

  • einen Stützvektor: Der Stützvektor $\vec{p}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).
  • zwei Richtungsvektoren: Die beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ spannen die Ebene auf. Sie können mit den Parametern $r$ und $s$ so multipliziert werden, dass jeder Punkt auf der Ebene erreicht wird.

  
  

  Bestimmung eines Stützvektors

  Um den Stützvektor zu konstruieren, benötigen wir einen beliebigen Punkt auf der Ebene. Wir können beispielsweise für die $x$- und $y$-Koordinate einfach $0$ wählen, wodurch sich die $z$-Koordinate ergibt. Wir erhalten also den Stützvektor:

  $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix}$

  Zwischenschritt: Bestimmung des Normalenvektors

  Um die Richtungsvektoren zu ermitteln, stellen wir zunächst den Normalenvektor der Ebene auf. Diesen können wir einfach aus den Koeffizienten in der Koordinatenform ablesen.

  Bestimmung zweier Richtungsvektoren

  Die Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein und orthogonal zum Normalenvektor verlaufen. Um sicherzugehen, dass die Richtungsvektoren orthogonal zum Normalenvektor verlaufen, legen wir fest, dass ihr Skalarprodukt mit dem Normalenvektor jeweils gleich null sein soll.

  Wir betrachten zunächst den Richtungsvektor $\vec{u}$ und notieren das Skalarprodukt:

  $\vec{u} \cdot \vec{n} =\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$

  Wir müssen nun die Koordinaten des Richtungsvektors geschickt so wählen, dass das Skalarprodukt null ergibt:

  $\vec{u} \cdot \vec{n} =\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = u_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3$

  Der zweite Richtungsvektor $\vec{v}$ muss auch orthogonal zum Normalenvektor sein. Beim zweiten Richtungsvektor müssen wir aber außerdem darauf achten, dass er linear unabhängig zum ersten Richtungsvektor ist. Das bedeutet: Es darf keine reelle Zahl $t$ geben, mit der man $\vec{u}$ multiplizieren kann, um $\vec{v}$ zu erhalten. Dies können wir einfach dadurch erreichen, indem wir ihn so konstruieren, dass er einen Nulleintrag in einer anderen Zeile hat als Vektor $\vec{u}$. Wir erhalten dann genauso durch geschicktes Wählen der anderen beiden Koordinaten den zweiten Richtungsvektor $\vec{v}$.

  Abschließend können wir die Parameterform der Ebene notieren:

  $E$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

• Vervollständige die Bestimmung der Richtungsvektoren aus der Koordinatenform.

  Tipps

  Den Normalenvektor kannst du einfach aus den Koeffizienten in der Koordinatenform ablesen.

  In der Rechnung ist in der zweiten Zeile jeweils das Skalarprodukt aus den Richtungsvektoren und dem Normalenvektor notiert. Dieses muss jeweils null ergeben, da Richtungsvektoren und Normalenvektor orthogonal zueinander sind.

  Für das Skalarprodukt gilt:

  $\vec{u} \cdot \vec{n} =\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = u_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 =0$

  Lösung

  Wir betrachten die Umwandlung einer Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform an einem Beispiel:

  $E$: $2x+4y-2z=-8$

  Um die Ebene in Parameterform anzugeben, brauchen wir:

  • einen Stützvektor: Der Stützvektor $\vec{p}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).
  • zwei Richtungsvektoren: Die beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ spannen die Ebene auf. Sie können mit den Parametern $r$ und $s$ so multipliziert werden, dass jeder Punkt auf der Ebene erreicht wird.

  
  

  Bestimmung eines Stützvektors

  Um den Stützvektor zu konstruieren, benötigen wir einen beliebigen Punkt auf der Ebene. Wir können beispielsweise für die $x$- und $y$-Koordinate einfach $0$ wählen, wodurch sich die $z$-Koordinate ergibt:

  $E$: $2 \cdot 0+4 \cdot 0-2z=-8 \quad \leftrightarrow \quad -2z=-8 \quad \leftrightarrow \quad z = 4$

  Wir erhalten also den Stützvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix}$.

  
  

  Zwischenschritt: Bestimmung des Normalenvektors

  Um die Richtungsvektoren zu ermitteln, stellen wir den Normalenvektor der Ebene auf. Diesen können wir einfach aus den Koeffizienten in der Koordinatenform ablesen:

  $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

  Diese Werte müssen wir also in die Lücken des Normalenvektors eintragen.

  
  

  Bestimmung zweier Richtungsvektoren

  Die Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein und orthogonal zum Normalenvektor verlaufen. Um sicherzustellen, dass die Richtungsvektoren orthogonal zum Normalenvektor verlaufen, legen wir fest, dass ihr Skalarprodukt mit dem Normalenvektor jeweils gleich null sein soll.

  Wir betrachten den Richtungsvektor $\vec{u}$ und notieren zunächst allgemein das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor:

  $\vec{u} \cdot \vec{n} =\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

  Wir müssen nun die Koordinaten des Richtungsvektors geschickt so wählen, dass das Skalarprodukt null ergibt. In unserem Fall haben wir die erste und letzte Koordinate gegeben. Da $2 \cdot 2 = 4$ und $0 \cdot (-2)=0$ ist, können wir die so erhaltene $4$ hervorragend ausgleichen, indem wir $-1$ als zweite Koordinate einsetzen:

  $\vec{u} \cdot \vec{n} =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 + 0 \cdot (-2) = 0$

  Unser erster Richtungsvektor lautet also $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

  Der zweite Richtungsvektor $\vec{v}$ muss auch orthogonal zum Normalenvektor sein. Beim zweiten Richtungsvektor müssen wir aber außerdem darauf achten, dass er linear unabhängig zum ersten Richtungsvektor ist. Das bedeutet, es darf keine reelle Zahl $t$ geben, mit der man $\vec{u}$ multiplizieren kann, um $\vec{v}$ zu erhalten. Dies können wir einfach dadurch erreichen, indem wir ihn so konstruieren, dass er einen Nulleintrag in einer anderen Zeile hat als Vektor $\vec{u}$. In unserem Fall haben wir bereits die ersten beiden Koordinaten gegeben und ergänzen:

  $\vec{v} \cdot \vec{n} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 0$

  Unser zweiter Richtungsvektor lautet also $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

  Wir können jetzt die Parameterform der Ebene notieren:

  $E$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

• Entscheide, welche Parameterform zu welcher Koordinatenform gehört.

  Tipps

  Du kannst die Aufgabe mithilfe der Punktprobe lösen.

  Achte auf die Vorzeichen.

  Lösung

  Um zu überprüfen, welche Parameterform zu welcher Koordinatenform gehört, können wir die Punktprobe verwenden. Diese kann zwar allgemein keine eindeutige Zuordnung bieten, aufgrund der begrenzten Anzahl an zuzuordnenden Paaren bietet sie in dieser Aufgabe jedoch die schnellste Lösung.

  Wir gehen wie folgt vor:

  • Wir wählen zwei beliebige Zahlen für die Parameter $r$ und $s$.
  • Danach setzen wir diese Zahlen in die Parameterform ein und berechnen daraus den Punkt.
  • Nun setzen diesen Punkt in die Koordinatenform ein.
  • Wir überprüfen, ob die sich so ergebende Gleichung korrekt ist.

  
  
  

  1. $E$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Wir wählen $r=1$ und $s=2$ und erhalten:

  $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -12 \\ 9 \end{pmatrix}$

  Jetzt setzen wir nacheinander in die gegebenen Koordinatenformen ein:

  Einsetzen in $E_1$ ergibt:

  $3 \cdot (-6) - 1 \cdot (-12) + 4 \cdot 9 = -18 + 12 +36 = 30 \neq 0 \rightarrow$ passt nicht!

  Einsetzen in $E_2$ ergibt:

  $1 \cdot (-6) + 4 \cdot (-12) - 2 \cdot 9 = -6 -48 -18 = -72 \neq 10 \rightarrow$ passt nicht!

  Einsetzen in $E_3$ ergibt:

  $2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-12) + 4 \cdot 9 = -12 -36 + 36 = -12 \rightarrow$ passt!

  $\Rightarrow$ zugehörige Ebene: $E_3$: $2x + 3y +4z = -12$

  
  

  2. $E$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Wir wählen $r=2$ und $s=-1$ und erhalten:

  $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \\ -7 \end{pmatrix}$

  Nun setzen wir nacheinander in die verbliebenen Koordinatenformen ein:

  Einsetzen in $E_1$ ergibt:

  $3 \cdot 8 - 1 \cdot (-3) + 4 \cdot (-7) = 24 + 3 -28 = -1 \neq 0 \rightarrow$ passt nicht!

  Einsetzen in $E_2$ ergibt:

  $1 \cdot 8 + 4 \cdot (-3) - 2 \cdot (-7) = 8 - 12 + 14 = 10 \rightarrow$ passt!

  $\Rightarrow$ zugehörige Ebene: $E_2$: $x +4y -2z = 10$

  
  

  3. $E$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Wir wählen $r=1$ und $s=1$ und erhalten:

  $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

  Jetzt setzen wir nacheinander in die verbliebenen Koordinatenformen ein:

  Einsetzen in $E_1$ ergibt:

  $3 \cdot 4 - 1 \cdot (-2) + 4 \cdot (-1) = 12 +2 -4 = 10 \neq 0 \rightarrow$ passt nicht!

  Einsetzen in $E_4$ ergibt:

  $ 3 \cdot (-2) +2 \cdot (-1) = -6 -2 = -8 \rightarrow$ passt!

  $\Rightarrow$ zugehörige Ebene: $E_4$: $3y + 2z = -8$

  
  

  4. $E$: $\vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Diese Ebene können wir nun automatisch der Ebene $E_1$ zuordnen!

  $\Rightarrow$ zugehörige Ebene: $E_1$: $3x - y +4z =0$

• Berechne die fehlenden Werte in der Parameterform.

  Tipps

  Setze den Stützvektor in die Koordinatenform ein und löse nach $d$ auf.

  Um die beiden Richtungsvektoren zu vervollständigen, musst du erst den Normalenvektor aus den Koeffizienten in der Koordinatenform ablesen.

  Beispiel Ebene 1:

  Normalenvektor: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} $

  Erster Richtungsvektor: $\begin{pmatrix} 2 \\ e \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 + e \cdot 6 + 0 \cdot (-1) = 6 + 6e = 0$

  $ \qquad \Rightarrow e=-1$

  Lösung

  Um eine Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform umzuwandeln, ermitteln wir einen Stützvektor aus der Koordinatenform, indem wir beispielsweise für die $x$- und $y$-Koordinate $0$ wählen, wodurch sich die $z$-Koordinate ergibt. Anschließend lesen wir als Zwischenschritt den Normalenvektor aus den Koeffizienten in der Koordinatenform ab. Da die Richtungsvektoren orthogonal auf dem Normalenvektor stehen, müssen wir sie so wählen, dass jeweils das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor null ergibt. Abschließend können wir die Parameterform der Ebene notieren:

  $E$: $\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Dabei ist der Vektor $\vec{p}$ der Stützvektor und die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind die Richtungsvektoren.

  
  
  

  Wir führen dies für die gegebenen Ebenen durch:

  
  

  Ebene 1: $E_1$: $3x + 6y -z =1$

  In diese Ebene wird der Stützvektor mit $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d\end{pmatrix}$ eingesetzt:

  $0+0-d=1 \quad \Leftrightarrow \quad d=-1$

  Aus der Koordinatenform können wir außerdem direkt den Normalenvektor ablesen:

  $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}$

  Nun bestimmen wir die Richtungsvektoren:

  • erster Richtungsvektor: $\begin{pmatrix} 2 \\ e \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 + e \cdot 6 + 0 \cdot (-1) = 6 + 6e = 0 \quad \Leftrightarrow \quad e=-1$
  • zweiter Richtungsvektor: $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 6 + f \cdot (-1) = 6 - f = 0 \quad \Leftrightarrow \quad f=6$

  Damit ergibt sich folgende Parameterform der Ebene:

  $E_1$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  
  

  Ebene 2: $E_2$: $x - 4y + 3z =4$

  In diese Ebene wird der Stützvektor mit $\begin{pmatrix} d \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ eingesetzt:

  $d+0+0=4 \quad \Leftrightarrow \quad d=4$

  Aus der Koordinatenform können wir zudem direkt den Normalenvektor ablesen:

  $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

  Jetzt bestimmen wir die Richtungsvektoren:

  • erster Richtungsvektor: $\begin{pmatrix} e \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = e \cdot 1 + 0 \cdot (-4) + 1 \cdot 3 = e + 3 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad e=-3$
  • zweiter Richtungsvektor: $\begin{pmatrix} f \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = f \cdot 1 + (-1) \cdot (-4) + 0 \cdot 3 = f + 4 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad f=-4$

  Damit ergibt sich folgende Parameterform der Ebene:

  $E_2$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  
  

  Ebene 3: $E_3$: $-2x -y + 6z =-2$

  In diese Ebene wird der Stützvektor mit $\begin{pmatrix} 0 \\ d \\ 0\end{pmatrix}$ eingesetzt:

  $0-d+0=-2 \quad \Leftrightarrow \quad d=2$

  Aus der Koordinatenform können wir außerdem direkt den Normalenvektor ablesen:

  $\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}$

  Nun bestimmen wir die Richtungsvektoren:

  • erster Richtungsvektor: $\begin{pmatrix} 1 \\ e \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-2) + e \cdot (-1) + 0 \cdot 6 = -2 -e = 0 \quad \Leftrightarrow \quad e=-2$
  • zweiter Richtungsvektor: $\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ f \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-2) + 6 \cdot (-1) + f \cdot 6 = -6 + 6f = 0 \quad \Leftrightarrow \quad f=1$

  Damit ergibt sich folgende Parameterform der Ebene:

  $E_3$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

• Benenne die in der Parameterform enthaltenen Vektoren.

  Tipps

  Der Stützvektor $\vec{p}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).

  Die beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ spannen die Ebene auf. Sie können mit den Parametern $r$ und $s$ so multipliziert werden, dass jeder Punkt auf der Ebene erreicht wird.

  Der Normalenvektor taucht in der Ebenengleichung in Parameterform nicht auf.

  Lösung

  Die Parameterform

  Die allgemeine Ebenengleichung in Parameterform lautet:

  $E$: $\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Der Stützvektor $\vec{p}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).
  Die beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ spannen die Ebene auf. Sie können mit den Parametern $r$ und $s$ so multipliziert werden, dass jeder Punkt auf der Ebene erreicht wird.

  In unserer Formel gilt also:

  $E$: $\vec{x} =\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}}_{\text{Stützvektor}} + r \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\text{Richtungsvektor}} + s \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\text{Richtungsvektor}} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Hinweis: Der Normalenvektor taucht in der Ebenengleichung in Parameterform nicht auf. Er ist nur in der Normalenform der Ebene enthalten.

• Überprüfe die Aussagen.

  Tipps

  Nur eine der Aussagen ist korrekt.

  Der Vektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ wird auch Nullvektor genannt. Seine Länge ist null. Er hat keine bestimmte Richtung.

  Der Stützvektor $\vec{p}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).
  Die beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ spannen die Ebene auf. Sie können mit den Parametern $r$ und $s$ so multipliziert werden, dass jeder Punkt auf der Ebene erreicht wird.

  Lösung

  Wir überprüfen die gegebenen Aussagen:

  
  

  Aussage 1:

  • Der Vektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ ist als Stützvektor nicht möglich.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch: Der Vektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ wird auch Nullvektor genannt. Seine Länge ist null. Eine Ebene mit dem Nullvektor als Stützvektor verläuft durch den Ursprung. Sie wird auch Ursprungsebene genannt.

  
  

  Aussage 2:

  • Der Vektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ ist als Richtungsvektor nicht möglich.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist richtig: Der Nullvektor hat keine bestimmte Richtung und kann daher nicht als Richtungsvektor fungieren.

  
  

  Aussage 3:

  • Richtungsvektor und Stützvektor können nicht identisch sein.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch: Der Stützvektor verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene, wohingegen die beiden Richtungsvektoren die Ebene aufspannen. Sind Richtungsvektor und Stützvektor identisch, so handelt es sich um eine Ursprungsebene.

  
  

  Aussage 4:

  • Ein Richtungsvektor darf maximal eine Nullkoordinate haben.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch: Der Richtungsvektor kann auch zwei Nullkoordinaten haben. In diesem Fall muss der Normalenvektor bei der dritten Koordinate eine Null stehen haben. Drei Nullkoordinaten sind hingegen nicht möglich (siehe Aussage 2).