Normalenform einer Ebene

Normalenform einer Ebene Übung

• Gib an, welche Aussagen zur Normalenform einer Ebene korrekt sind.

  Tipps

  Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

  $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

  Es sind zwei Aussagen richtig.

  Lösung

  Die Normalenform einer Ebene enthält als wesentliches Element den Normalenvektor. Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebene. Zusammen mit dem Stützvektor $\vec{p}$, der auf einen beliebigen Punkt einer Ebene zeigt, legt er eine Normalenebene eindeutig fest.

  Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

  $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

  
  

  Wir betrachten die gegebenen Aussagen:

  
  

  Aussage 1

  • Die Normalenform einer Ebene enthält den Stützvektor und zwei Normalenvektoren.

  Diese Aussage ist inkorrekt: Da der Normalenvektor senkrecht zur Ebene ist, legt er zusammen mit dem Stützvektor die Ebene eindeutig fest. Denn wenn wir die Richtung des Normalenvektors ändern, er aber weiterhin senkrecht auf der Ebene stehen soll, ändern wir damit auch die entsprechende Ebene.

  
  

  Aussage 2

  • Der Normalenvektor verläuft orthogonal zu jedem Vektor, der in der Ebene liegt.

  Diese Aussage ist korrekt: Der Normalenvektor verläuft orthogonal zur Ebene und somit auch zu jedem Vektor, der in der Ebene liegt.

  
  

  Aussage 3

  • Das Skalarprodukt von einem beliebigen Vektor in der Ebene und dem Normalenvektor ist immer null.

  Diese Aussage ist korrekt, denn zwei Vektoren sind genau dann orthogonal zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.

  
  

  Aussage 4

  • Das Skalarprodukt zwischen Stützvektor und dem Normalenvektor ist immer null.

  Diese Aussage ist inkorrekt, da der Stützvektor und der Normalenvektor nicht immer senkrecht zueinander stehen.

• Vervollständige die Umwandlung der gegebenen Ebene von der Parameterform in die Normalenform.

  Tipps

  Du kannst den Normalenvektor aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnen.

  Den Stützvektor kannst du aus der Parameterform übernehmen.

  Das ist die Normalenform einer Ebene:

  $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

  Der Vektor $\vec{p}$ ist hier der Stützvektor und der Vektor $\vec{n}$ ist der Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

  Lösung

  Die allgemeine Ebenengleichung in Parameterform lautet:

  $E$: $\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor, $\vec{u}$ und $\vec{v}$ stellen die Richtungsvektoren dar.

  
  

  Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

  $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

  Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor und $\vec{n}$ den Normalenvektor dar.

  
  

  Wir betrachten jetzt die Umwandlung von der Parameterform in die Normalenform am Beispiel:

  $E$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Um die Normalenform aufzustellen, müssen wir den Normalenvektor bestimmen. Dieser muss orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren sein. Wir können ihn mithilfe des Vektorproduktes der beiden Richtungsvektoren bestimmen, denn es gilt:

  Wenn zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ nicht kollinear sind, ist das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ orthogonal zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

  
  

  Wir berechnen also den Normalenvektor, indem wir das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmen:

  $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ u_3v_1 - u_1v_3 \\ u_1v_2 - u_2v_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-4 \\ 16-1 \\ 2-(-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 15 \\ 10 \end{pmatrix}$

  Wir können nun die Normalenform der Ebene aufstellen, indem wir den Stützvektor der Parameterform übernehmen und den eben berechneten Normalenvektor verwenden:

  $E$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 15 \\ 10 \end{pmatrix}$

  
  

  Hinweis: Es ist auch möglich, den Vektor, welcher sich aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren ergibt, zu skalieren und dann als Normalenvektor zu nutzen. Dazu teilen wir alle Koordinaten des Vektors durch eine natürliche Zahl:

  $\begin{pmatrix} -5 \\ 15 \\ 10 \end{pmatrix} = 5 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Wir verwenden hier jedoch direkt das Vektorprodukt, so wie es im Video gezeigt wurde.

• Entscheide, welche Vektoren als Normalenvektor für die Ebene möglich sind.

  Tipps

  Es können auch mehrere Vektoren als Normalenvektoren für eine Ebene möglich sein.

  Da die $x$-$y$-Ebene horizontal verläuft, muss der Normalenvektor senkrecht nach oben, parallel zu $z$-Achse verlaufen.

  Lösung

  In einem dreidimensionalen Koordinatensystem stehen die drei Achsen senkrecht zueinander. Wir sprechen daher auch von einem kartesischen Koordinatensystem.
  Die Ebenen, die von den Achsen aufgespannt werden, nennen wir Koordinatenebenen: Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal. Die $y$-$z$-Ebene und die $x$-$z$-Ebene verlaufen hingegen vertikal. Auch diese Ebenen stehen – wie die Koordinatenachsen – senkrecht aufeinander.

  Um geeignete Normalenvektoren zu den Ebenen zu finden, vergegenwärtigen wir uns noch einmal:
  Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebene.

  Hinweis: Zu einer Ebene gibt es beliebig viele verschiedene Normalenvektoren, welche alle parallel zueinander sind.

  
  

  Die $\boldsymbol{x}$-$\boldsymbol{y}$-Ebene

  Da diese Ebene horizontal verläuft, muss der Normalenvektor senkrecht nach oben, parallel zu $z$-Achse verlaufen. Ein Normalenvektor der $x$-$y$-Ebene hat daher allgemein diese Form:

  $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix} \quad$ mit $a \in \mathbb{R}$

  Folgender Vektor ist daher ein Normalenvektor der $x$-$y$-Ebene:

  $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $

  
  

  Die $\boldsymbol{y}$-$\boldsymbol{z}$-Ebene

  Diese Ebene verläuft vertikal. Der Normalenvektor muss horizontal, parallel zu $x$-Achse verlaufen. Ein Normalenvektor der $y$-$z$-Ebene hat daher allgemein diese Form:

  $\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad$ mit $a \in \mathbb{R}$

  Folgende Vektoren sind daher Normalenvektoren der $y$-$z$-Ebene:

  $\vec{u_2} =\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{u_4} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

  
  

  Die $\boldsymbol{x}$-$\boldsymbol{z}$-Ebene

  Diese Ebene verläuft vertikal. Der Normalenvektor muss horizontal, parallel zu $y$-Achse verlaufen. Ein Normalenvektor der $x$-$z$-Ebene hat daher allgemein diese Form:

  $\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 0 \end{pmatrix} \quad$ mit $a \in \mathbb{R}$

  Folgende Vektoren sind daher Normalenvektoren der $y$-$z$-Ebene:

  $\vec{w_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{w_5} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

• Ermittle aus den zwei gegebenen Richtungsvektoren einer Ebene den Normalenvektor.

  Tipps

  Wir berechnen also den Normalenvektor, indem wir das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmen.

  Vektorprodukt:

  $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ u_3v_1 - u_1v_3 \\ u_1v_2 - u_2v_1 \end{pmatrix}$

  Achte auf die Vorzeichen.

  Lösung

  Um aus zwei Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ einer Ebene den Normalenvektor zu bestimmen, verwenden wir das Vektorprodukt, denn es gilt: Wenn zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ nicht kollinear sind, ist das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ orthogonal zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

  Wir berechnen also den Normalenvektor, indem wir das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmen:

  Vektorprodukt: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ u_3v_1 - u_1v_3 \\ u_1v_2 - u_2v_1 \end{pmatrix}$

  
  
  

  Beispiel 1

  $\vec{u} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

  Normalenvektor $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-3) \\0 \cdot 2 - (-5) \cdot 1 \\ -5 \cdot (-3) - 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 0 \\ 0 - (-5) \\ 15 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}$

  
  

  Beispiel 2

  $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

  Normalenvektor $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \cdot (-3) - 2 \cdot 4 \\2 \cdot 5 - 0 \cdot (-3) \\ 0 \cdot 4 - (-1) \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-8 \\ 10-0 \\ 0 - (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix}$

  
  

  Beispiel 3

  $\vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

  Normalenvektor $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \\2 \cdot 2 - (-4) \cdot (-2) \\ -4 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2-8 \\ 4 -8 \\ -16 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -4 \\ -18 \end{pmatrix}$

  
  

  Beispiel 4

  $\vec{u} = \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

  Normalenvektor $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \cdot 0 - 5 \cdot 0 \\5 \cdot 5 - 10 \cdot 0 \\ 10 \cdot 0 - (-3) \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-0 \\ 25-0 \\ 0 - (-15) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 25 \\ 15 \end{pmatrix}$

• Gib an, wodurch eine Ebene eindeutig festgelegt ist.

  Tipps

  Ein Stützvektor $\vec{p}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).

  Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebene.

  Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

  $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

  Die allgemeine Ebenengleichung in Parameterform lautet:

  $E$: $\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Lösung

  Eine Ebene können wir angeben in:

  • Parameterform
  • Normalenform
  • Koordinatenform

  
  

  Die Parameterform

  Die allgemeine Ebenengleichung in Parameterform lautet:

  $E$: $\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Der Stützvektor $\vec{p}$ verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).

  Die beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ spannen die Ebene auf. Sie können mit den Parametern $r$ und $s$ so multipliziert werden, dass jeder Punkt auf der Ebene erreicht wird.

  
  

  Die Normalenform

  Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

  $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

  Der Stützvektor $\vec{p}$ verläuft auch hier vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).

  Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebene.

  
  

  Die Koordinatenform

  Die Koordinatenform ist eine etwas andere Darstellung der Ebene und kommt ohne Vektoren aus. Sie sieht allgemein wie folgt aus:

  $E$: $ax+by+cz=d \qquad(a, b, c, d \in \mathbb{R})$

  
  

  $\Rightarrow$ Eine Ebene ist also eindeutig festgelegt durch:

  • einen Stützvektor und einen Normalenvektor oder
  • einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.

• Vergleiche die beiden Ebenen.

  Tipps

  Beide Ebenen haben den gleichen Stützvektor. Dieser verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt).

  Der Richtungsvektor der ersten Ebene ist gleich dem Normalenvektor der zweiten Ebene, nämlich $\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$.

  Lösung

  Wir haben zwei Ebenen gegeben:

  Ebene $\boldsymbol{E_1}$ in Parameterform:

  $E_1$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

  Ebene $\boldsymbol{E_2}$ in Normalenform:

  $E_2$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = 0$

  
  

  Bei der Betrachtung der beiden Ebene fällt auf:

  Beide Ebenen haben den gleichen Stützvektor, nämlich $\begin{pmatrix} 9 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$.

  Der Stützvektor verläuft immer vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene (dem Stützpunkt). Wir können also schlussfolgern, dass beide Ebenen den Punkt $\boldsymbol{P(9|4|-1)}$ enthalten.

  Der Richtungsvektor der ersten Ebene ist gleich dem Normalenvektor der zweiten Ebene, nämlich $\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$.

  Da der Normalenvektor $\vec{n}$ senkrecht auf der zweiten Ebene steht, wohingegen der Richtungsvektor in der Ebene $E_1$ liegt, können wir schlussfolgern, dass die beiden Ebenen senkrecht zueinander stehen.

  Die $\boldsymbol{y}$-Koordinate von Ebene $\boldsymbol{E_2}$ ist $\boldsymbol{0}$:

  Daraus können wir schlussfolgern, dass die Ebene $E_2$ parallel zur $y$-Achse verläuft.