Kreisgleichungen mit drei Punkten bestimmen

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video zeige ich dir, wie du Kreisgleichungen mit drei Punkten bestimmen kannst. Und zwar mache ich das am Beispiel der Koordinatengleichung eines Kreises, die habe ich hier nochmal aufgeschrieben: (x-m1)² + (y-m2)² = r² , dabei sind x und y die xy-Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreisrand, m1 und m2 die xy-Koordinate des Mittelpunktes und r der Radius. Und ich mache das auf zwei verschiedene Arten, einmal werde ich den Mittelpunkt und den Radius durch Mittelsenkrechten berechnen und einmal durch die Koordinatengleichung. Und ich habe hier schon mal drei Punkte, A (2|3), B (4|1) und C(5|5). Und wichtig bei diesen drei Punkten ist auf jeden Fall, diese drei Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen, sonst würden sie keinen Kreis bilden. Und wenn sie nicht auf einer Geraden liegen, bilden sie auf jeden Fall schon mal ein Dreieck und das kannst du hier links sehen am Beispiel dieser drei Punkte. Diese drei Punkte bilden ein Dreieck und vielleicht kennst du den Satz noch, dass die Mittelsenkrechten sich in einem Dreieck-, also die drei Mittelsenkrechten, in einem Punkt schneiden. Und wenn du hier eine Mittelsenkrechte mal betrachtest, dann siehst du, ich nehme jetzt mal die Mittelsenkrechte auf AB, dass jeder Punkt auf dieser Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu A wie zu B hat. Und wenn die drei Mittelsenkrechten sich in einem Punkt schneiden, dann muss dieser Punkt natürlich den gleichen Abstand zu allen drei Punkten des Dreiecks haben und das heißt, das ist gerade Mittelpunkt des Umkreises dieses Dreiecks. Und ich werde jetzt zuerst einmal, wie hier schon angeschrieben, den Mittelpunkt und daran folgend auch den Radius des entsprechenden Kreises dadurch berechnen, dass ich die Mittelsenkrechten aufstelle. Und das mache ich jetzt an diesem Beispiel, das kannst du hier im Koordinatensystem sehen, erstmal mit der Mittelsenkrechten, die auf der Strecke AB steht. Dafür bräuchte ich zuerst einmal den Verbindungsvektor von A nach B und das ist gerade 4-2=2 und 1-3=-2. Und jetzt benötige ich einen Vektor n1, der senkrecht auf AB steht. Und ein solcher Vektor ist zum Beispiel gegeben dadurch-, durch (1|1). Ganz allgemein, das wirst du gleich bei der anderen Mittelsenkrechten nochmal sehen, drehst du einfach nur die beiden Koordinaten um und tauschst ein Vorzeichen, also hieße es hier (-2|2), wenn du ein Vorzeichen tauschst, dann wäre (2|2) und ich habe das dann vereinfacht zu dem Vektor (1|1) der kollinear zu (2|2) ist. Und nun brauche ich noch-, jetzt habe ich also einen Vektor, der senkrecht auf die Gerade steht, die durch die Punkte A und B geht. Und jetzt brauche ich noch den Mittelpunkt der Strecke AB und kann dann die Geradengleichung g der entsprechenden Mittelsenkrechten aufstellen. Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten bekomme ich dadurch, dass ich die x-Koordinaten addiere und durch zwei Teile, 4+2=6 und 6/2=3. 1+3=4 und 4/2=2. Das heißt, der Mittelpunkt AB wäre bei (3|2) und die Geradengleichung lautet dann g=(3|2)+s(1|1). Das wäre also die Gleichung der Mittelsenkrechten, die auf der Strecke AB des Dreiecks senkrecht steht und durch den Mittelpunkt dieser Strecke geht, das kannst du schon mal im Koordinatensystem sehen. Und genau dasselbe mache ich dann mit AC. Also auch hier brauche ich wieder den Verbindungsvektor AC und der ist 5-2=3 und 5-3=2 und hier auch wieder einen Vektor, n2 diesmal, der senkrecht auf diesem Verbindungsvektor steht. Und das ist das, was ich vorhin schon meinte. Um ganz allgemein einen Normalenvektor zu bekommen, vertauschst du einfach nur die Koordinaten, (2|3), und bei einem der beiden änderst du noch das Vorzeichen. Ich habe das jetzt mal hier gemacht, also -3. Und du siehst, wenn du das Skalarprodukt bildest, 32=6 und 2(-3)=-6, das Skalarprodukt ergibt null, das heißt, die beiden Vektoren stehen senkrecht. Und für die entsprechende Mittelsenkrechte brauche ich auch hier wieder einen Mittelpunkt und t mal den Richtungsvektor, das wäre (2|-3) in dem Fall. Und der Mittelpunkt bei AC ist (2+5)/2=3,5 und (3+5)/2=4. Also hätten wir jetzt schon mal die beiden Geradengleichungen in Parameterform der Mittelsenkrechten auf AB und der Mittelsenkrechten auf AC. Und wenn wir nun diese beiden Geraden miteinander schneiden, also einen Schnittpunkt berechnen, haben wir den gesuchten Mittelpunkt des Umkreises und es reicht auch tatsächlich zwei Geraden dafür zu betrachten, da wir ja wissen, dass die drei Mittelsenkrechten sich in einem Punkt schneiden, müssen wir jetzt nicht nochmal die dritte Mittelsenkrechte aufstellen und da auch nochmal einen Schnittpunkt berechnen, weil das wird der gleiche sein. Und das werde ich jetzt im Folgenden mal machen. So, nun habe ich hier in dem ersten Schritt schon mal die Geradengleichungen von zwei Mittelsenkrechten aufgestellt und von diesen beiden Geraden müssen wir jetzt einen Schnittpunkt berechnen, das habe ich schon mal vorbereitet. Also die erste Geradengleichung war ja (3|2)+s(1|1), die andere war (3,5|4)+t*(2|-3) und das liefert diese beiden Gleichungen (I) und (II). Und wenn ich jetzt von der ersten die zweiten abziehe (I)-(II), siehst du, dieses s fällt raus, also (I)-(II)i liefert die Gleichung 3-2=1, s ist ja weg, 3,5-4=-0,5 und 2t-(-3t)=5t. Jetzt lösen wir diese Gleichung nach t auf, also plus 0,5, das heißt, wir haben hier stehen 1,5=5t. Und dann durch fünf, jetzt drehe ich das mal um, t=0,3. Und mit diesem t gleich 0,3 bekäme ich dann mein entsprechendes s=1,1 raus. Und wenn ich t entweder hier einsetze oder s da, bekomme ich natürlich den entsprechenden Schnittpunkt raus, also den Mittelpunkt. Ich nehme mal s her, weil es einfacher ist. Also hätte ich hier den Mittelpunkt, die x-Koordinate ist 3+1,1=4,1. Und die y-Koordinate ist 2+1,1=3,1. Damit haben wir schon den Mittelpunkt gefunden. Und zur Bestimmung des Radius' setzen wir den Mittelpunkt jetzt hier ein, 4,1 und 3,1 und entsprechend von einem der Punkte x und y auch hier, also würde da stehen-, A nehme ich mal her, (2-4,1)² plus die y-Koordinate von A ist (3-3,1)² ist gleich r². Und ich möchte ja dieses r jetzt berechnen, das heißt, ich rechne hier das Quadrat aus, also 2,1²+0,1²=r². Also kommt dann raus 4,42=r². Und wenn ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehe, bekomme ich heraus-, ich schreibe das jetzt mal hier hin, r≈2,1 Längeneinheiten. So, damit habe ich meinen Mittelpunkt, (4,1|3,1), und meinen Radius, ungefähr 2,1 Längeneinheiten. Und das kannst du in dem Koordinatensystem auch gut sehen. Also gut-, relativ. Der Mittelpunkt ist 4,1 in der x-Koordinate, 3,1 und im entsprechenden Radius. Und nun schaue ich mir nochmal die Koordinatengleichung an, das mache ich dann hier. Also die Koordinatengleichung lautet dann (x-4,1)²+(y-3,1)²=r². r² war aber 4,42. Und wenn ich das jetzt mit Binomischen Formeln ausrechne, bekomme ich die Koordinatengleichung x²-8,2x+y²-6,2y+22=0. Zur Kontrolle könntest du jetzt hier entsprechend die Punkte einsetzen und es muss immer gleich null rauskommen, weil diese drei Punkte ja den Kreis beschrieben haben. Damit hätte ich jetzt mal den Mittelpunkt, M, also hier, und den Radius r über die Mittelsenkrechten bestimmt. Und im Folgenden schaue ich mir nochmal an, wie man Mittelpunkt und Radius über die Koordinatengleichung bestimmen kann. Fein. Im ersten Teil haben wir jetzt den Mittelpunkt und den Radius des Kreises dadurch berechnet, dass wir den Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten ausgerechnet haben. Und jetzt im Folgenden zeige ich dir, wie du Mittelpunkt und den Radius der Kreisgleichung durch die Koordinatengleichungen berechnen kannst. Wenn diese drei Punkte einen Kreis bilden und am Anfang habe ich ja schon gesagt, diese drei Punkte liegen auf einem-, bilden ein Dreieck, ansonsten würden sie auf einer Geraden liegen und dann bilden sie keinen Kreis. Dann muss jeder dieser Punkte natürlich auf dem Kreisrand liegen und das ist gerade die Bedeutung dieser Koordinatengleichung. Wenn ein Punkt xy auf dem Kreisrand liegt, dann heißt das (x-m1)² + (y-m2)² =r², das ist gerade der quadrierte Abstand dieses Punktes zum Mittelpunkt, ist gerade der quadrierte Radius. Das heißt, für jeden dieser Punkte A (2|3), B (4|1), C (5|5), muss diese Koordinatengleichung gelten. Das heißt, ich habe jetzt hier schon mal vorbereitet, für A (2|3) wäre das x-m1, also x=2, (2-m1)²+(3-m2)²=r². Und das gleiche mit B und C, (4-m1)²+(2-m2)²=r² und auch bei C, wie du hier sehen kannst. Wenn du jetzt hier jeweils das Quadrat mit den Binomischen Formeln auflöst, wirst du sehen, in jeder dieser drei Gleichungen steht das m1 zum Quadrat und auch das m2 zum Quadrat, hier m1², m22 und so weiter und so fort. Das heißt, wenn du von dieser Gleichung diese abziehst, dann fliegt m12 raus, m2² raus und auch r². Und wenn du genauso von dieser Gleichung diese abziehst, fällt wieder m12 raus, m22 raus und r². Das kannst du gerne dir mal anschauen, du erhältst also die folgenden Gleichungen und das alles vereinfacht: (I) 4m1-4m2=4 und (II) 6m1+4m2=37. Ich betrachte hier das gleiche Beispiel wie vorhin, das heißt, wir können dann auch kontrollieren, es muss natürlich das gleiche Ergebnis auch wieder rauskommen. Also diese drei Gleichungen sagen halt, ich habe die unbekannten Größen m1, m2, x- und y-Koordinate von M und den unbekannten Radius. Und du siehst, jetzt habe ich nur noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Und hier steht -4m2, hier steht +4m2, wenn ich die beiden Gleichungen addiere, also (I) plus (II), steht da 4m1+6m1=10m1, -4m2+4m2 fliegt raus und 4+37=41. Ich teile auf beiden Seiten durch zehn und erhalte m1=4,1. Das ist genau das Ergebnis, was wir vorhin auch schon hatten. Entsprechend erhalte ich die zweite Koordinate 3,1 und auch den Radius, wie gesagt, das war das gleiche Beispiel wie vorhin, 2,1 Längeneinheiten, hier gehört natürlich ein ungefähr gleich “≈” hin. Und wenn du die beiden Mittelpunktkoordinaten ausgerechnet hast, müsstest du nur hier in eine der drei Gleichungen die beiden Mittelpunktkoordinaten 4,1 und 3,1 einsetzen und erhältst den quadrierten Radius und wenn du nachher die Wurzel ziehst, erhältst du den gesuchten Radius 2,1. Die Koordinatengleichung schreibe ich diesmal nicht nochmal auf, die hatte ich ja vorhin schon mal gehabt. Und das wäre also eine andere Möglichkeit, den Mittelpunkt auszurechnen. Du kannst dir die dir angenehmere Variante aussuchen. Ich wiederhole nochmal kurz, was ich in diesem Video gemacht habe: Ich habe geschaut, wie Kreisgleichungen mit drei Punkten bestimmt werden können und was diese drei Punkte auch überhaupt an Voraussetzungen haben müssen. Das habe ich anhand der Koordinatengleichungen gemacht und zwar einmal dadurch, dass ich halt weiß, dass die drei Mittelsenkrechten in einem Dreieck sich in einem Punkt schneiden, dem Mittelpunkt des Umkreises, also habe ich zwei Mittelsenkrechten aufgestellt und habe den Schnittpunkt dieser beiden berechnet. Das ist dann der Mittelpunkt des Kreises. Den Radius bekomme ich, indem ich den in eine der Gleichungen einsetze, die sahen ja genauso aus wie hier. Oder aber ich schaue mir die Koordinatengleichung an und setze die drei Punkte in dieser Koordinatengleichung ein, erhalte also eins, zwei, drei Gleichungen in eins, zwei, drei Unbekannten und kann dann so den Mittelpunkt berechnen und natürlich auch den zugehörigen Radius. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen, bis zum nächsten Mal, dein Frank.