Skalarprodukt

Skalarprodukt Übung

• Gib die richtigen Aussagen zum Skalarprodukt zweier Vektoren an.

  Tipps

  Wie kann man das Skalarprodukt zweier Vektoren veranschaulichen?

  Bilde Eselsbrücken: Zerlege den Begriff Skalarprodukt in die Teile Skalar und Produkt.

  Lösung

  Wir kennen zwei Definitionen, um das Skalarprodukt zweier Vektoren zu berechnen.

  Zum einen mithilfe des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$:

  $\vec a \boldsymbol{\cdot} \vec b= |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos(\alpha)$, wobei $|\vec b|\cdot \cos(\alpha)$ die Projektion des Vektors $\vec b$ auf den Vektor $\vec a$ darstellt.

  Und zum anderen durch die Summe der Produkte der ersten bzw. der zweiten Koordinaten beider Vektoren:

  $\vec a \boldsymbol{\cdot} \vec b= a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.

  Das Ergebnis eines Skalarprodukts zweier Vektoren ist stets ein Skalar, also eine reelle Zahl.

• Berechne das Skalarprodukt.

  Tipps

  Beachte, dass aus der Summe wegen des Vorzeichens des zweiten Produkts eine Differenz geworden ist.

  Das Skalarprodukt ist definiert als $\vec a \boldsymbol{\cdot} \vec b= a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.

  Lösung

  Man multipliziert jeweils die erste Koordinate beider Vektoren miteinander und addiert das Produkt der zweiten Koordinaten beider Vektoren.

  Für zwei beliebige Vektoren $a,b \in \mathbb{R^2}$ sieht die Formel dann wie folgt aus:

  $\vec a \boldsymbol{\cdot} \vec b= a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.

  Wir setzen die gegebenen Koordinaten der Vektoren ein und erhalten:

  $ \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right) \boldsymbol{\cdot} \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) = 2 \cdot 3 + -1 \cdot 1 = 6 - 1 = 5$.

  Ändert sich das Ergebnis, wenn wir $\vec b \boldsymbol{\cdot} \vec a$ berechnen? Nein! Das Skalarprodukt ist im reellen Vektorraum kommutativ, da wir ausschließlich addieren und multiplizieren und diese Rechenoperationen auch kommutativ sind: $a+b = b+a$ und $a \cdot b = b \cdot a$.

• Leite das Skalarprodukt für Vektoren im dreidimensionalen Raum her.

  Tipps

  Schlussfolgere aus der Bildung des Skalarprodukts zweier Vektoren im $\mathbb{R^2}$ die Bildung des Skalarprodukts zweier Vektoren im $\mathbb{R^3}$.

  Im $\mathbb{R^2}$ multiplizieren wir jeweils die ersten und die zweiten Koordinaten beider Vektoren miteinander und addieren diese Produkte, sodass wir ein Skalar erhalten. Analog gehen wir im $\mathbb{R^3}$ vor.

  Lösung

  Wir wissen, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren in einer Ebene definiert ist als die Summe der Produkte der jeweils ersten und zweiten Koordinaten der Vektoren $\vec a$ und $\vec b$:

  $\vec a \boldsymbol{\cdot} \vec b= a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.

  Analog können wir im dreidimensionalen Raum vorgehen:

  Wir bilden die Summe der Produkte der jeweils ersten, zweiten und dritten Koordinaten der Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ mit $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right)$ und $\vec{v}=\left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$:

  $\vec u \boldsymbol{\cdot} \vec v= u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

• Bestimme die gesuchten Größen.

  Tipps

  Beachte, dass in Aufgabe $2$ eine Gradzahl gesucht ist.

  Im dreidimensionalen Raum berechnet man das Skalarprodukt analog zum zweidimensionalen Raum.

  Lösung

  Das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 8 \\ -2 \end{array}\right)$ und $\vec{b}=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 9 \end{array}\right)$

  berechnen wir mithilfe der Formel: $\vec a \boldsymbol{\cdot} \vec b= a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$:

  $\left(\begin{array}{c} 8 \\ -2 \end{array}\right) \boldsymbol{\cdot} \left(\begin{array}{c} 6 \\ 9 \end{array}\right)= 8 \cdot 6 + -2 \cdot 9= 48 - 18 = 30$.

  Auf dieselbe Weise berechnen wir auch das Skalarprodukt von

  $\left(\begin{array}{c} 5 \\ -3 \end{array}\right) \boldsymbol{\cdot} \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}\right) = 5 \cdot 4 + -3 \cdot 2= 20 - 6 = 14$.

  Um das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)$

  im $\mathbb{R^3}$ zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel: $\vec u \boldsymbol{\cdot} \vec v= u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$ .

  Wir setzen die Werte ein und erhalten:

  $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \boldsymbol{\cdot} \left(\begin{array}{c} 3 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)= 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-6) + 0 \cdot 4 = 0$.

  Wenn das Skalarprodukt Null ergibt, wissen wir, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren ein rechter Winkel ist, also $90°$ beträgt. Denn nur, wenn der Vektor $\vec v$ senkrecht zu $\vec u$ steht, ist der Betrag der Projektion des Vektors $\vec v$ auf den Vektor $\vec u$, also $|\vec u|\cdot |\vec v|\cdot \cos(90°) = 0$.

• Gib den passenden Term an.

  Tipps

  Mithilfe welcher trigonometrischen Beziehung kann man im rechtwinkligen Dreieck $|\vec F_s|$ berechnen?

  $|\vec F_s|$ ist in diesem rechtwinkligen Dreieck zum Winkel $\varphi$ die Ankathete und $|\vec F|$ die Hypotenuse.

  $\cos(\varphi)= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  $\sin(\varphi)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  $\tan(\varphi)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Lösung

  Wir betrachten das rechtwinklige Dreieck. Gesucht ist ein Term, den wir für $|\vec F_s|$ einsetzen können. $|\vec F_s|$ stellt für den Winkel $\varphi$ die Ankathete und $|\vec F|$ die Hypotenuse dar. Wir können also die trigonometrische Beziehung aufstellen:

  $\cos(\varphi)= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac {|\vec F_s| }{|\vec F| }$

  Diese formen wir nun nach $|\vec F_s|$ um und setzen dies in die Gleichung ein.

  $|\vec F_s| = \cos(\varphi)\cdot |\vec F|$

  Arbeit $=$ Kraft $\cdot$ Weg $= |\vec F_s| \cdot |\vec s| = |F| \cdot \cos(\varphi) \cdot |\vec s|$

• Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

  Tipps

  Forme die Gleichung zur Berechnung von Skalarprodukten zweier Vektoren nach $\cos(\alpha)$ um.

  Den Betrag eines Vektors $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right)$ berechnet man mit:

  $|\vec v | = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

  Lösung

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist definiert als:

  $\vec p \boldsymbol{\cdot} \vec q= |\vec p|\cdot |\vec q|\cdot \cos(\beta)$

  Diese Gleichung formen wir nach $\cos(\beta)$ um:

  $\cos(\beta) = \frac{\vec p\boldsymbol{\cdot} \vec q}{|\vec p|\cdot |\vec q|}$

  Nun setzen wir die Vektoren $\vec{p} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)$ und $\vec{q}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0,5 \\ -5 \end{array}\right)$ ein:

  $ \begin{align*} \cos(\beta) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \boldsymbol{\cdot} \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0,5 \\ -5 \end{array}\right)}{\left| \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)\right| \cdot \left| \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0,5 \\ -5 \end{array}\right)\right| } \\ \cos(\beta) &=\frac{4\cdot 3+2\cdot 0,5+(-1)\cdot (-5)}{\sqrt{4^2 +2^2 + (-1)^2}\cdot \sqrt{3^2+0,5^2+(-5)^2}} \\ \cos(\beta) &=\frac{18}{\sqrt{21}\cdot \sqrt{34,25}} =\frac{18}{\sqrt{719,25}} \approx 0,6712 \\ \end{align*} $

  Um den Winkel nun zu berechnen, wenden wir den Arkuskosinus an und erhalten:

  $\beta \approx 47,84°$