Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken

Skalarprodukt – Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken Übung

• Gib die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms an.

  Tipps

  Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

  Es gilt der trigonometrische Pythagoras: $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

  Ein Spezialfall wäre der, in welchem die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht stehen. Das heißt $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.

  Ein weiterer Spezialfall sind kollineare Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Dann hat das Parallelogramm den Flächeninhalt $0$.

  Es gilt $|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2=(\vec{a}\cdot \vec{b})^2$.

  Lösung

  Die Fläche eines Parallelogramms ist gegeben durch das Produkt einer Seite und der dazugehörigen Höhe.

  $A_P=|\vec{a}|\cdot |\vec{h}|$.

  Da der Sinus des spitzen Winkels $\alpha$ gegeben ist durch $\sin(\alpha)=\frac{|\vec{h}|}{|\vec{b}|}$ gilt:

  $A_P=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\alpha)=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2 \cdot \sin^2(\alpha)}$.

  Es gilt der trigonometrische Pythagoras: $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$:

  $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2 \cdot (1-\cos^2(\alpha))}$.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist $\vec{a}\cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$. Dies ist äquivalent zu

  $\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$. Dies kann in den obigen Term eingesetzt werden:

  $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2 \cdot \left(1-\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\right)^2\right)}$

  und damit ist die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms ($ABDC$), welches durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet wird, bewiesen. Sie lautet also:

  $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

  Man kann sich die Reihenfolge der Subtraktion dadurch einprägen, dass im Falle der Orthogonalität der beiden Vektoren der Subtrahend $0$ wäre. Somit würde unter der Wurzel bei umgekehrter Subtraktion ein negativer Term stehen.

  Die Klammersetzung bei dem Skalarprodukt ist wichtig, da

  $(\vec{a})^2\cdot (\vec{b})^2=|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2$,

  das heißt, unter der Wurzel $\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a})^2\cdot (\vec{b})^2}$ steht $0$.

• Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

  Tipps

  Zur Berechnung des Verbindungsvektors bildest du die Differenz des Endvektors und des Anfangsvektors.

  Vektoren werden subtrahiert, indem sie koordinatenweise subtrahiert werden.

  Für die Länge eines Vektors im dreidimensionalen Raum gilt:

  $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

  Somit lässt sich $|\vec{a}|^2$ berechnen durch $|\vec{a}|^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2$.

  Für ein Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ im $\mathbb{R}^3$ gilt:

  $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$.

  Lösung

  Um die oben angegebene Formel

  $A_{ABC}= \frac12 \sqrt{|\vec{AB}|^2\cdot |\vec{AC}|^2-(\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$

  verwenden zu können, müssen zunächst die entsprechenden Verbindungsvektoren berechnet werden.

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 5\\5\\0 \end{pmatrix};~\vec{AC}=\begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}$

  Dabei wird koordinatenweise die Differenz von Endvektor und Anfangsvektor berechnet.

  Nun kann man die Länge der jeweiligen Vektoren im Quadrat und auch das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen:

  $|\vec{AB}|^2=\left|\begin{pmatrix} 5\\5\\0 \end{pmatrix}\right|^2=5^2+5^2+0^2=50;~|\vec{AC}|^2=\left|\begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}\right|^2=2^2+5^2+2^2=33$

  $\vec{AB} \cdot \vec{AC}=\begin{pmatrix} 5\\5\\0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}=5 \cdot 2+5\cdot5+0\cdot2=35$

  Somit ist der gesuchte Flächeninhalt

  $A_{ABC}=\frac12\sqrt{50 \cdot 33-35^2}≈10,3$ [FE].

  „[FE]“ steht dabei für Flächeneinheiten. Diese Angabe wird verwendet, wenn in der Aufgabenstellung keine Maßangaben vorgegeben sind.

• Berechne das Skalarprodukt und die Länge der Vektoren.

  Tipps

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte der jeweiligen Koordinaten der beiden Vektoren.

  Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten.

  Vergiss bitte nicht die Klammern beim Quadrieren negativer Zahlen, denn $(-1)^2=1$ aber $-1^2=-1$.

  Lösung

  Skalarprodukt und Länge sind wie folgt definiert:

  $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$ und

  $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

  Somit ist

  $\left|\begin{pmatrix} -4\\0\\-3 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{(-4)^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5$

  $\left|\begin{pmatrix} 8\\0\\-6 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{8^2+0^2+(-6)^2}=\sqrt{100}=10$

  $\begin{pmatrix} -4\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\0\\-6 \end{pmatrix}=(-4)\cdot 8+0\cdot0+(-3)\cdot(-6)=-14$.

• Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

  Tipps

  Zur Berechnung des Verbindungsvektors zweier Punkte bildest du die Differenz aus dem Ortsvektor des Endpunktes und dem des Anfangspunktes.

  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks lautet:

  $A=\frac12\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$.

  Lösung

  Zur Berechnung des Flächeninhaltes benötigt man die Formel

  $A=\frac12\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$.

  Also müssen

  1. zwei Verbindungsvektoren und
  2. von diesen beiden Verbindungsvektoren jeweils die Länge im Quadrat sowie
  3. das Skalarprodukt berechnet werden.

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} -3\\2\\2 \end{pmatrix}$ und

  $\vec{AC}=\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$.

  Dabei wird jeweils von dem Ortsvektor des Endpunktes der des Anfangspunktes subtrahiert. Die Längen dieser Vektoren (jeweils quadriert) sind:

  $\left|\begin{pmatrix} -3\\2\\2 \end{pmatrix}\right|^2=(-3)^2+2^2+2^2=17$

  $\left|\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}\right|^2=(-1)^2+1^2+0^2=2$.

  Das Skalarprodukt ergibt sich wie folgt:

  $\begin{pmatrix} -3\\2\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}=-3\cdot(-1)+2\cdot1+2\cdot0=5$.

  Damit kann die Formel angewendet werden

  $A_{ABC}=\frac12 \sqrt{17\cdot2-5^2}=\frac12 \sqrt{9}=1,5$ [FE].

• Stelle die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks auf.

  Tipps

  Spezialfälle bei der Formel sind

  • die Orthogonalität und
  • die Kollinearität der Vektoren.

  Sind die Vektoren orthogonal, gilt $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.

  Sind die Vektoren kollinear, gilt $|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2=(\vec{a} \cdot \vec{b})^2$.

  Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms $(ABDC)$, welches durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet wird, lautet $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms $(ABDC)$, welches durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet wird, lautet

  $A_P=\sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

  Da das Dreieck den halben Flächeninhalt des Parallelogramms hat, ist der Flächeninhalt gegeben durch

  $A_{ABC}=\frac12 A_P=\frac12 \sqrt{|\vec{a}|^2\cdot |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$.

• Wende anhand des Dreiecks $ABC$ eine andere Formel zur Berechnung des Flächeninhalts an.

  Tipps

  $\vec{a}=\vec{AB}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}$

  und

  $\vec{b}=\vec{AC}= \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix}$.

  Die Länge eines Vektor ist

  $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

  Lösung

  $\vec{a}=\vec{AB}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}$

  und

  $\vec{b}=\vec{AC}= \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix}$.

  Die Berechnung des Vektorproduktes ist, mit etwas Übung, gut durchzuführen:

  $\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot 1-(-1)\cdot(-1)\\(-1)\cdot (-2)-1\cdot1\\1\cdot(-1)-1\cdot (-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1 \\1 \end{pmatrix}$

  Die Länge dieses Vektors ist

  $\left|\begin{pmatrix}0\\1 \\1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}≈1,4$.

  Damit ist der Flächeninhalt des betrachteten Dreiecks $0,7$ [FE].

  Dieses Ergebnis überprüfen wir mit der Formel $A=\frac12\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$:

  • $|\vec{a}|^2=3$ und $|\vec{b}|^2=6$,
  • $(\vec{a}\cdot \vec{b})^2=(-4)^2=16$.
  • Somit ist $A=\frac12\sqrt{3 \cdot6-16}=\frac12\sqrt{2}\approx 0,7$.