Geradenscharen

Geradenscharen Übung

• Gib die Besonderheiten der Geradenschar an.

  Tipps

  Da der Parameter in dem Stützvektor auftaucht, bleibt der Richtungsvektor immer gleich.

  Um eine spezielle Gerade der Geradenschar zu erhalten, setzt du für den Parameter $a$ einen Wert in die Geradengleichung ein. Dies siehst du hier für $a=1$.

  Lösung

  Wenn man verschiedene Werte für $a$ einsetzt, erhält man

  $g_0:\vec x=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

  $g_{-1}:\vec x=\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

  $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

  Man sieht, dass sich zwar die Stützvektoren unterscheiden, die Richtungsvektoren jedoch nicht. Das bedeutet, dass alle diese Geraden parallel zueinander sind. Sie sind aber nicht identisch, weil sich die Stützvektoren unterscheiden.

  Man kann sich nun den Stützvektor genauer anschauen und diesen umformen:

  $\begin{pmatrix} 3+a\\ 2+2a\\ 1-a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}$

  Es wird ein Vektor mit dem Produkt aus einem Parameter und einem Vektor addiert. Wir haben also eine Geradengleichung. Alle Stützvektoren liegen somit auf einer Geraden.

  Man kann damit die Geradenschar auch so schreiben:

  $g_a:\vec x=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

  Dies ist eine Ebenengleichung. Die Menge der Geraden in dieser Geradenschar läuft durch alle Punkte einer Ebene; je nachdem, wie der Parameter $a$ gewählt wird.

• Bestimme die Geraden der Geradenschar zu gegebenen Parametern sowie die Gerade für $t=1$.

  Tipps

  Eine Geradengleichung hat die Form

  $g:\vec x=\vec a+r\vec v$.

  Dabei sind

  • $\vec a$ der Stützvektor,
  • $\vec v$ der Richtungsvektor und
  • $r\in \mathbb{R}$ ein Parameter.

  Um eine spezielle Gerade der Schar zu erhalten, setzt du den Parameter ein. Dies kannst du hier an dem Beispiel $a=-1$ sehen.

  Lösung

  Um sich die Besonderheiten dieser Geradenschar klarzumachen, kann man sich zunächst die Geraden für verschiedene Parameter anschauen:

  $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 3,5 \end{pmatrix}$

  $g_0:\vec x=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2,5 \end{pmatrix}$

  Man kann schon einmal erkennen, dass alle Geraden den gleichen Stützvektor haben, also durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen.

  Wenn man sich die Gerade einmal für $t=1$ anschaut, erkennt man Folgendes:

  $\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -a\\ a\\ 2,5+a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 6,5 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

  Dies ist eine Geradengleichung. Auf der entsprechenden Geraden liegen alle Punkte, die man erhält, wenn man verschiedene Werte für $a$ bei $t=1$ in die Geradenschar einsetzt.

• Bestimme, für welchen Parameter $a$ der Punkt $P(5|14|-1)$ auf der Geraden der Geradenschar liegt.

  Tipps

  Das zu lösende Gleichungssystem hat drei Gleichungen und zwei Unbekannte: $a$ und $t$.

  Beachte, dass alle drei Gleichungen berücksichtigt werden müssen.

  In diesem Beispiel tritt ein besonderer Fall auf. Zwei Gleichungen sind äquivalent.

  Lösung

  Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man den Ortsvektor des Punktes für $\vec x$ in die Geradengleichung ein und löst das resultierende Gleichungssystem.

  Dieses Gleichungssystem schreiben wir zeilenweise auf. Jede Gleichung wird so umgeformt, dass links die Unbekannten stehen und rechts eine konstante Zahl.

  $\begin{align} &\text{(I)}& a-t & =2\\ & \text{(II)}& 2a+2t & =12\\ & \text{(III)}& -a+t & =-2 \end{align}$

  Man kann erkennen, dass das $-1$-fache der Gleichung (I) die Gleichung (II) ist. Eine der beiden Gleichungen muss also nicht weiter betrachtet werden, weil hier keine weiteren Informationen enthalten sind. Wenn man das Doppelte der Gleichung (III) zu der Gleichung (II) addiert, erhält man $4t=8$. Nun kann man durch $4$ dividieren und gelangt zu $t=2$.

  Wir können $t=2$ in die Gleichung (III) einsetzen. Dies führt zu $-a+2=-2$. Durch Subtraktion von $2$ und anschließende Multiplikation mit $-1$ erhält man $a=4$. Dies ist der gesuchte Parameter.

  Der Punkt $P(5|14|-1)$ liegt also auf der Geraden $g_a:\vec x=\begin{pmatrix} 3+4\\ 2+2 \cdot 4\\ 1-4 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\ 10\\ -3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

  Du kannst dies überprüfen, indem du $t=2$ in die Geradengleichung einsetzt.

• Prüfe, ob zwei Geraden der Geradenschar gemeinsame Punkte haben.

  Tipps

  Wenn du prüfen willst, ob diese Geraden identisch sind, genügt es zu überprüfen, ob der Stützvektor (genauer: der zugehörige Punkt) der Geraden $g_b$ auf dieser Geraden liegt.

  Du machst eine Punktprobe. Dies führt zu einem Gleichungssystem.

  Bei dem Gleichungssystem müssen alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein, wenn man eine Lösung einsetzt.

  Lösung

  Der Scharparameter taucht bei dieser Geradenschar im Stützvektor auf. Das bedeutet, dass sich der Richtungsvektor nicht ändert. Also sind alle Geraden der Geradenschar parallel zueinander.

  Man betrachtet nun zwei verschiedene Parameter $a\neq b$ und prüft, ob der Stützvektor von $g_b$ (genauer: der zugehörige Punkt) auf der Geraden $g_a$ liegt. Dies führt zu

  $\begin{pmatrix} 3+b\\ 2+2b\\ 1-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+a\\ 2+2a\\ 1-a \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

  und damit zu dem Gleichungssystem:

  $\begin{array}{lrcl} (I)& 3+b&=&3+a-t\\ (II)&2+2b&=&2+2a+2t\\ (III)&1-b&=&1-a+t \end{array}~\Leftrightarrow~\begin{array}{rcl} b-a+t&=&0\\ 2b-2a-2t&=&0\\ a-b-t&=&0 \end{array}$

  Wenn man die erste Gleichung mit $2$ multipliziert und zu der zweiten addiert, erhält man $4b-4a=0$ oder äquivalent dazu $a=b$. Dies ist allerdings ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass $a\neq b$ sein muss. Das bedeutet, dass jeweils zwei Geraden der Geradenschar parallel zueinander sind, aber nicht identisch.

  Diese Tatsache ist übrigens nicht immer gegeben. Wenn der Stützvektor

  $\begin{pmatrix} 3-a\\ 2+2a\\ 1+a \end{pmatrix}$

  lauten würde, könnte man diesen wie folgt schreiben:

  $\begin{pmatrix} 3-a\\ 2+2a\\ 1+a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} $

  Dies ist eine Gerade. Der Richtungsvektor ist der Gleiche wie bei der Geradenschar.

  Das bedeutet, dass alle Geraden der Geradenschar identisch sind.

• Beschreibe, was eine Geradenschar ist.

  Tipps

  Eine Geradengleichung hat die Form

  $g:\vec x=\vec a+r\vec v$.

  Dabei sind

  • $\vec a$ der Stützvektor,
  • $\vec v$ der Richtungsvektor und
  • $r\in \mathbb{R}$ ein Parameter.

  Lösung

  Was ist eine Geradenschar?

  Eine Geradenschar sind Geraden, die in der Geradengleichung einen weiteren Parameter haben. Dieser Parameter wird als Scharparameter bezeichnet.

  Zu jedem dieser Scharparameter gehört eine Gerade der Schar.

  Der Scharparameter kann zum Beispiel im Stützvektor oder im Richtungsvektor auftauchen.

• Leite die Ebenengleichung einer Ebene her, in welcher alle Geraden der Geradenschar liegen.

  Tipps

  Schreibe den Stützvektor, in welchem der Scharparameter vorkommt, als Gerade.

  Wenn der Scharparameter im Stützvektor enthalten ist, liegen die Stützvektoren auf einer Geraden. Der Parameter dieser Geraden ist der Scharparameter der Geradenschar.

  Klingt kompliziert, ist es aber nicht.

  Um die gesuchte Ebenengleichung zu bestimmen, musst du den Scharparameter aus dem Stützvektor herausnehmen.

  Es würde übrigens keine Ebenengleichung vorliegen, sondern nur eine Gerade, wenn der Richtungsvektor der Geraden, welche durch die Ortsvektoren der Geraden verläuft, kollinear zu dem Richtungsvektor der Geradenschar wäre.

  Lösung

  Der Stützvektor kann so geschrieben werden:

  $\begin{align} \begin{pmatrix} 2a-4\\ 1+a\\ 3-2a \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2a\\ a\\ -2a \end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix} \end{align}$

  Dies ist eine Geradengleichung. Wenn man diese in die Gleichung der Geradenschar einsetzt, erhält man

  $g_a:\vec x=\begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$

  Da die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sind, ist dies eine Ebenengleichung.