Linearer Unterraum

Hallo, dieses Mal haben wir eine Frage bekommen, und zwar von der Irina. Und Irina möchte wissen, was ein linearer Unterraum ist und wie man raus kriegt, ob eine gegebene Teilmenge eines Vektorraums auch ein linearer Unterraum von diesem ist. Und das möchte ich jetzt gerne mal beantworten. Wenn man die Frage nach einem Unterraum stellt, dann geht daraus hervor, dass man eigentlich schon weiß, was ein Vektorraum ist. Trotzdem möchte ich jetzt hier noch einmal kurz zusammenfassen, was einen reellen Vektorraum ausmacht. Ein Vektorraum ist eine Menge V, in der man addieren und vervielfachen kann, ohne aus der Menge heraus zu kommen. Die Vektoren, die Elemente möchte ich hier einmal mit Pfeilen ^-> bezeichnen. Für das Rechnen im Vektorraum gelten einige Gesetze. Nämlich: 1) Bei der Addition darf man vertauschen. Es gibt einen neutralen Vektor, der bei der Addition mit V, V identisch lässt. Jeder Vektor hat einen inversen Vektor. 2) Die Vervielfachung muss assoziativ sein. c und d sind hier also reelle Zahlen und V ist ein Vektor. 3) Wenn ich einen Vektor mit 1 vervielfache, muss der Vektor selber heraus kommen. 4) Und dann gelten noch die Distributivgesetze, die sozusagen dafür sorgen, dass Addition und Vervielfachung kompatibel sind. Ein Beispiel ist der zweidimensionale reelle Raum, also gewissermaßen die Menge aller Richtungen in der Ebene. Die kann man auch addieren und vervielfachen und es kommt immer wieder ein neuer Vektor raus. Und was ist jetzt ein linearer Unterraum? Per Definition ist das erst einmal eine nicht-leere Teilmenge U des Vektorraumes V, die selber wieder ein Vektorraum ist. Also bestimmte Elemente eines Vektorraums, die für sich genommen, auch schon ein Vektorraum sind. Nehmen wir mal als Beispiel die Menge aller Vektoren des R², bei denen die zweite Koordinate 0 ist. Solche Elemente kann ich auch beim Addieren vertauschen. Das neutrale Element von R², nämlich 00 ist auch in U. Das Inverse von x/0 ist -x/0, ist also auch in U. Und die anderen Gesetze gelten ja sowieso im Ganzen R², also insbesondere auch in U. Jetzt wäre es aber ganz schön lästig, wenn man bei jeder Teilmenge von so einem Vektorraum, noch einmal die ganzen Axiome durchgehen muss. Und deswegen gibt es ein Kriterium, was einem sagt, ob eine Teilmenge ein Unterraum ist oder nicht: das Unterraumkriterium. Wir haben also eine Teilmenge U eines Vektorraums V und die ist ein linearer Unterraum, wenn ... 1. U≠Ø 2. Die Summe zweier Vektoren aus U wieder in U liegt. 3. Wenn jedes Vielfache aus U auch wieder in U liegt. Es muss also Abgeschlossenheit vorliegen, gegenüber Addition und Vervielfachung. Ok, jetzt hat die Irina folgende Menge gehabt: Und zwar die Menge aller xy für die gilt, dass x≥y ist. Und x und y sind reelle Zahlen. Ob das ein linearer Unterraum von R² ist. Wir testen jetzt mal, ob die 3 Bedingungen erfüllt sind: 1) M1 ist auf jeden Fall schon mal nicht leer, denn der Vektor 1/0 ist zum Beispiel drin. 2) Das sollen jetzt 2 Vektoren aus M1 sein, wir addieren die. Da bekommen wir als Ergebnis in der oberen Komponente x1+x2 und in der unteren y1+y2. Weil aber die beiden Vektoren vorne beide in M1 sind, muss ja x1≥y1 sein und x2≥y2. Und dann ist natürlich die Summe x1+x2≥y1+y2. Das heißt, das Ergebnis liegt auch in unserer Menge M1. Zweitens ist also erfüllt. 3) Nehmen wir jetzt mal den Vektor 2/1, der ist in M1 und als c nehmen wir den Faktor -1. Dann ist c×2/1=-2/-1. Und das liegt nicht in U. Denn -2, der obere Eintrag ist kleiner als -1. Die dritte Bedingung ist also nicht erfüllt, weil wir ein Gegenbeispiel gefunden haben. Und damit ist M1 kein linearer Unterraum. Alles schön und gut, aber wie kommt man jetzt darauf, gerade dieses Element zu wählen? Bei einem Vektorraum muss mit jedem Element auch dessen Inverses mit drin sein, also -V. Und so eine ≥ Relation, die erhält sich nicht bei Multiplikation mit -1, die wird dann zu <. Deswegen konnte man sich denken, dass das wahrscheinlich kein Untervektorraum ist. Irinas 2. Beispiel waren alle Vektoren der Gestallt 2x3x, für beliebiges x Element R. 1) die Menge ist schon mal nicht leer, weil zum Beispiel 0/0 drin ist, für x=0. 2) jetzt nehme ich mir zwei verschiedene solcher Elemente, die diese Gestallt haben und addiere diese. Dann erhalte ich 2x1+2x2 im oberen Eintrag und 3x1+3x2 im unteren. Und dann kann ich 2 oben und 3 unten ausklammern. Dann bekomme ich also 2×x1+x2 und 3×x1+x2. Und das ist aber wieder ein Element von M2, weil ich ja ein und dasselbe Element aus R oben mit 2 und unten mit 3 multipliziert habe. Ich hab also widere diese charakteristische Gestalt von M2. 3) ich nehme mir ein beliebiges c und multipliziere das mit so einem Element 2x/3x. Da multipliziere ich komponentenweise und in den Komponenten kann ich vertauschen, sodass ich am Schluss im oberen Eintrag 2×(cx) habe und im unteren 3×(cx). Also habe ich wieder das gleiche Element, was immer noch in R ist, oben mit 2 und unten mit 3 multipliziert. Also ist die dritte Bedingung erfüllt. Das Element hat genau wieder die Gestallt von M2 und somit ist das also ein linearer Unterraum. Wenn man die Vektoren der Menge mal so schreibt, also das x ausklammert so zu sagen, dann sieht man, dass das alle Vielfachen von dem Vektor 2/3 sind. Grafisch würde das also so aussehen, dann sieht man, dass das eine gerade durch den Punkt 0/0 ist. Und das könnt ihr euch merken, die linearen Unterräume des R² sind nämlich: R² der 0-Vektorraum alle Geraden, die durch den Ursprung gehen.   Ich hoffe, ich habe dir geholfen Irina und allen anderen, die ähnliche Probleme haben.