Projektion und Spiegelung von Punkten

Projektion und Spiegelung von Punkten Übung

• Gib an, auf welcher Ebene die Punkte liegen.

  Tipps

  Es ist jeweils diejenige Koordinate null, deren Achse beim Aufspannen der Ebene nicht beteiligt ist.

  Punkte in der $x$-$z$-Ebene: Die $y$-Koordinate ist null.

  Beispiel:

  Der Punkt $D(0|1|2)$ liegt in der $y$-$z$-Ebene.

  Lösung

  Im dreidimensionalen Koordinatensystem stehen die Ebenen, die von den drei Achsen aufgespannt werden, senkrecht aufeinander:

  • Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal.
  • Die $y$-$z$-Ebene verläuft vertikal.
  • Die $x$-$z$-Ebene verläuft auch vertikal.

  Da das dreidimensionale Koordinatensystem drei Achsen hat, bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel.

  Um die Lage eines Punktes auf einer Koordinatenebene zu erkennen, gilt: Es ist jeweils diejenige Koordinate null, deren Achse beim Aufspannen der Ebene nicht beteiligt ist. Konkret bedeutet dies:

  Punkte in der $\boldsymbol{x}$-$\boldsymbol{y}$-Ebene: Die $z$-Koordinate ist null:

  • $A({-}4|{-}1|0)$
  • $E(2|{-}1|0)$

  Punkte in der $\boldsymbol{x}$-$\boldsymbol{z}$-Ebene: Die $y$-Koordinate ist null:

  • $F({-}2|0|1)$
  • $C(3|0|{-}2)$
  • $B({-}8|0|{-}2)$

  Punkte in der $\boldsymbol{y}$-$\boldsymbol{z}$-Ebene: Die $x$-Koordinate ist null:

  • $D(0|1|2)$
  • $G(0|{-}1|{-}9)$

• Bestimme die Koordinaten des projizierten Punktes.

  Tipps

  Bei der Projektion in die $x$-$z$-Ebene wird die $y$-Koordinate null.

  Allgemein gilt für die Koordinaten eines Punktes bei einer Projektion: Es wird immer genau die Koordinate null, die nicht in der Ebene enthalten ist.

  Lösung

  Bei einer Projektion eines Punktes in eine der drei Ebenen können wir uns vorstellen, der Punkt würde einen (senkrechten) Schatten auf die Ebene werfen.

  Für die Koordinaten eines Punktes bei einer Projektion gilt:

  • Projektion in die $x$-$z$-Ebene: Die $y$-Koordinate wird null.
  • Projektion in die $x$-$y$-Ebene: Die $z$-Koordinate wird null.
  • Projektion in die $y$-$z$-Ebene: Die $x$-Koordinate wird null.

  Allgemein gilt für die Koordinaten eines Punktes bei einer Projektion: Es wird immer genau die Koordinate null, die nicht in der Ebene enthalten ist.

  Wir betrachten nun die beiden gegebenen Punkte:

  Punkt $\boldsymbol{P(3|4|2)}$:

  • Projektion in die $x$-$z$-Ebene: $P'_{xz}(3|0|2)$
  • Projektion in die $x$-$y$-Ebene: $P'_{xy}(3|4|0)$
  • Projektion in die $y$-$z$-Ebene: $P'_{yz}(0|4|2)$

  Punkt $\boldsymbol{Q(1|{-}2|3)}$:

  • Projektion in die $x$-$z$-Ebene: $Q'_{xz}(1|0|3)$
  • Projektion in die $x$-$y$-Ebene: $Q'_{xy}(1|{-}2|0)$
  • Projektion in die $y$-$z$-Ebene: $Q'_{yz}(0|{-}2|3)$

• Entscheide, welche Koordinaten sich ändern.

  Tipps

  Bei einer Projektion eines Punktes in eine der drei Ebenen können wir uns vorstellen, der Punkt würde einen (senkrechten) Schatten auf die Ebene werfen.
  Bei der Spiegelung eines Punktes an einer Ebene durchdringt der Punkt die Ebene, sodass der gespiegelte und der ursprüngliche Punkt den gleichen Abstand zur Ebene haben.

  Es wird immer die Koordinate geändert, die nicht in der Ebene enthalten ist.

  Bei der Spiegelung am Koordinatenursprung kehren alle drei Koordinaten ihr Vorzeichen um.

  Lösung

  Wir betrachten die beiden Operationen Projektion und Spiegelung eines Punktes im dreidimensionalen Koordinatensystem:

  • Bei einer Projektion eines Punktes in eine der drei Ebenen können wir uns vorstellen, der Punkt würde einen (senkrechten) Schatten auf die Ebene werfen. //
  • Bei der Spiegelung eines Punktes an einer Ebene durchdringt der Punkt die Ebene, sodass der gespiegelte und der ursprüngliche Punkt den gleichen Abstand zur Ebene haben.

  
  

  Für die Koordinaten eines Punktes gilt:

  Projektion:

  • Projektion in die $x$-$z$-Ebene: Die $y$-Koordinate wird null.
  • Projektion in die $x$-$y$-Ebene: Die $z$-Koordinate wird null.
  • Projektion in die $y$-$z$-Ebene: Die $x$-Koordinate wird null.

  Spiegelung:

  • Spiegelung in die $x$-$z$-Ebene: Die $y$-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um.
  • Spiegelung in die $x$-$y$-Ebene: Die $z$-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um.
  • Spiegelung in die $y$-$z$-Ebene: Die $x$-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um.
  • Spiegelung am Koordinatenursprung: Alle drei Koordinaten kehren ihr Vorzeichen um.

  
  

  Wir betrachten nun die gegebenen Punkte und Operationen:

  Aufgabe 1:

  • Projektion auf die $x$-$z$-Ebene: $\quad P(4|\color{#FF66FF}{{-}2}$$|2)$
  • $y$-Koordinate wird null: $\quad P'(4|0|2)$

  Aufgabe 2:

  • Spiegelung an der $x$-$y$-Ebene: $\quad Q(-3|5|\color{#FF66FF}{{-}1}$$)$
  • $z$-Koordinate wird in ihre Gegenzahl umgewandelt: $\quad Q'(-3|5|1)$

  Aufgabe 3:

  • Projektion auf die $y$-$z$-Ebene: $\quad R(\color{#FF66FF}{{-}8}$$|0|0)$
  • $x$-Koordinate wird null: $\quad R'(0|0|0)$

  Aufgabe 4:

  • Spiegelung an der $y$-$z$-Ebene: $\quad S(\color{#FF66FF}{{-}6}$$|3|{-}1)$
  • $x$-Koordinate wird in ihre Gegenzahl umgewandelt: $\quad S'(6|3|{-}1)$

  Aufgabe 5:

  • Punktspiegelung am Koordinatenursprung: $\quad T(\color{#FF66FF}{{-}3}$$|\color{#FF66FF}{1}$$|\color{#FF66FF}{{-}4}$$)$
  • alle Koordinaten werden in ihre Gegenzahl umgewandelt: $\quad T'(3|{-}1|4)$

• Bestimme die Koordinaten des gespiegelten Punktes.

  Tipps

  Beispiel:

  $Q(3|{-}3|5)$ wird an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt:
  $Q'(3|3|5)$

  Bei einer Spiegelung am Koordinatenursprung kehren alle drei Koordinaten ihr Vorzeichen um.

  Lösung

  Bei der Spiegelung eines Punktes an einer Ebene im dreidimensionalen Koordinatensystem durchdringt der Punkt die Ebene, sodass der gespiegelte und der ursprüngliche Punkt den gleichen Abstand zur Ebene haben:

  • Spiegelung in die $x$-$z$-Ebene: Die $y$-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um.
  • Spiegelung in die $x$-$y$-Ebene: Die $z$-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um.
  • Spiegelung in die $y$-$z$-Ebene: Die $x$-Koordinate kehrt ihr Vorzeichen um.
  • Spiegelung am Koordinatenursprung: Alle drei Koordinaten kehren ihr Vorzeichen um.

  Somit ergibt sich für die Aufgaben:

  Aufgabe 1:

  Der Punkt $P_1(2|-3|0)$ wird an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt. Wir müssen das Vorzeichen der $y$-Koordinate umkehren:

  $P_1'(2|3|0)$

  Aufgabe 2:

  Der Punkt $P_2(4|-7|10)$ wird an der $y$-$z$-Ebene gespiegelt. Wir müssen das Vorzeichen der $x$-Koordinate umkehren:

  $P_2'(-4|-7|10)$

  Aufgabe 3:

  Der Punkt $P_3(0|4|-1)$ wird am Koordinatenursprung gespiegelt. Wir müssen bei allen Koordinaten das Vorzeichen umkehren:

  $P_3'(0|-4|1)$

  Aufgabe 4:

  Der Punkt $P_4(4|4|4)$ wird an der $x$-$y$-Ebene gespiegelt. Wir müssen das Vorzeichen der $z$-Koordinate umkehren:

  $P_4'(4|4|-4)$

  Aufgabe 5:

  Der Punkt $P_5(0|-1|3)$ wird an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt. Wir müssen das Vorzeichen der $y$-Koordinate umkehren:

  $P_5'(0|1|3)$

• Benenne die Koordinatenebenen.

  Tipps

  Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal.

  Die $x$-$z$-Ebene wird von der $x$-Achse und von der $z$-Achse aufgespannt.

  Lösung

  Im dreidimensionalen Koordinatensystem stehen alle drei Achsen senkrecht zueinander. Wir sprechen daher auch von einem kartesischen Koordinatensystem:

  • Die Achse, die nach vorn zeigt, nennt man die $x$-Achse.
  • Die Achse, die nach rechts zeigt, nennt man die $y$-Achse.
  • Die Achse, die nach oben zeigt, nennt man die $z$-Achse.

  
  

  Die Ebenen, die von den Achsen aufgespannt werden, nennen wir Koordinatenebenen:

  • Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal.
  • Die $y$-$z$-Ebene verläuft vertikal.
  • Die $x$-$z$-Ebene verläuft auch vertikal.

  Die Ebenen stehen – wie die Koordinatenachsen – senkrecht aufeinander.

• Leite ab, welche Operationen mit dem Punkt $P$ durchgeführt wurden.

  Tipps

  Schaue zunächst, welche Koordinate null geworden ist. Daraus kannst du schlussfolgern, auf welche Ebene der Punkt projiziert wurde.

  Bei welchen Koordinaten wurde das Vorzeichen umgekehrt? Daraus kannst du schlussfolgern, woran der Punkt gespiegelt wurde.

  Lösung

  Die Operationen Projektion und Spiegelung können auch mehrfach hintereinander ausgeführt werden. Dabei ist die Reihenfolge, in der die Operationen durchgeführt werden, egal.

  Wir können anhand der Koordinaten des nach den Operationen erhaltenen Punktes Rückschlüsse auf die Operationen ziehen:

  Der gegebene Punkt lautet:

  $P(1|2|{-}3)$

  
  

  Wir betrachten $P_1(1|0|3)$ und erkennen:

  • Die $y$-Koordinate ist null. $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ wurde auf die $x$-$z$-Ebene projiziert.
  • Die $z$-Koordinate wurde in ihre Gegenzahl umgekehrt. $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ wurde an der $x$-$y$-Ebene gespiegelt.

  $\Longrightarrow$ Spiegelung an der $x$-$y$-Ebene mit anschließender Projektion auf die $x$-$z$-Ebene

  
  

  Wir betrachten $P_2(0|{-}2|{-}3)$ und erkennen:

  • Die $x$-Koordinate ist null. $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ wurde auf die $y$-$z$-Ebene projiziert.
  • Alle Koordinaten wurden in ihre Gegenzahl umgekehrt. $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ wurde am Koordinatenursprung gespiegelt.

  $\Longrightarrow$ Punktspiegelung am Koordinatenursprung mit anschließender Projektion auf die $y$-$z$-Ebene

  
  

  Wir betrachten $P_3(1|2|0)$ und erkennen:

  • Die $z$-Koordinate ist null. $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ wurde auf die $x$-$y$-Ebene projiziert.
  • Keine weitere Koordinate wurde in ihre Gegenzahl umgekehrt. $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ wurde an der $x$-$y$-Ebene gespiegelt, was ihn jedoch nicht verändert hat, da er nach der Projektion schon in dieser Ebene lag.

  $\Longrightarrow$ Projektion auf die $x$-$y$-Ebene mit anschließender Spiegelung an der $x$-$y$-Ebene

  
  

  Wir betrachten $P_4({-}1|0|{-}3)$ und erkennen:

  • Die $y$-Koordinate ist null. $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ wurde auf die $x$-$z$-Ebene projiziert.
  • Die $x$-Koordinate wurde in ihre Gegenzahl umgekehrt. $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ wurde an der $y$-$z$-Ebene gespiegelt.

  $\Longrightarrow$ Projektion auf die $x$-$z$-Ebene mit anschließender Spiegelung an der $y$-$z$-Ebene