Projektion und Spiegelung von Punkten

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Grundlagen zum Thema Projektion und Spiegelung von Punkten
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem zu verorten, in die Achsenebenen zu projizieren und zu spiegeln.
Zunächst lernst du, wie das dreidimensionale Koordinatensystem aufgebaut ist und wie Punkte in diesem mithilfe von Koordinatenzügen oder Lagebeschreibungen verortet werden können. Anschließend siehst du, wie du einen gegebenen Punkt in eine bestimmte Ebene projizieren kannst Abschließend erfährst du, wie du Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem spiegeln kannst.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie dreidimensionales Koordinatensystem, Koordinatenebenen, Projektion, Spiegelung und Bildpunkt.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du grundlegendes Wissen zu Koordinatensystemen und Achsenspiegelungen haben.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum berechnet.
Transkript Projektion und Spiegelung von Punkten
Da haben sich ja einige versammelt. Scheint ein spannendes Thema zu sein. Was die sich wohl anschauen? "Projektion und Spiegelung von Punkten", soso. Na dann mal los! Wie war das denn nochmal im dreidimensionalen Koordinatensystem? Die drei Koordinatenachsen x, y, und z, spannen jeweils zu zweit drei Koordinatenebenen auf. Da haben wir also die x-y-Ebene, die y-z-Ebene, und die x-z-Ebene. Eine andere gebräuchliche Achsenbezeichnung ist x-eins, x-zwei und x-drei. Wir bleiben aber bei x, y und z. Wenn wir Punkte im Koordinatensystem einzeichnen wollen, brauchen wir den entsprechenden Koordinatenzug, den du hier sehen kannst, oder eine genaue Lagebeschreibung. Sonst sind die Koordinaten des Punktes im Schrägbild nicht eindeutig ablesbar. Dieser Punkt hat die Koordinaten "eins, zwei, zwei". Man könnte aber auch denken, er würde direkt auf der x-Achse liegen. Dann wären seine Koordinaten "minus drei, null, null". Eine solche Lagebeschreibung hilft also AUCH dabei, die Lage des Punktes eindeutig zu bestimmen. Allgemein kann man Punkte, die AUF den Koordinatenachsen liegen, besonders leicht bestimmen. Die Koordinate der betreffenden Achse kann man dann direkt ablesen. Die anderen beiden Koordinaten sind dagegen null. Damit sind die Koordinaten der Punkte Q und R "null, minus zwei, null" und "null, null, drei". Wenn die Punkte nicht auf einer Achse, dafür aber in einer KoordinatenEBENE liegen, sind die Koordinaten ebenfalls relativ leicht zu bestimmen. Wenn dieser Punkt A zum Beispiel in der x-y-Ebene liegen würde, wären seine Koordinaten "minus vier, minus eins, null". Läge er dagegen in der y-z-Ebene, dann wären seine Koordinaten "null, eins, zwei". Und in der x-z-Ebene "minus zwei, null, eins". Es ist also jeweils DIEJENIGE Koordinate null, deren Achse beim Aufspannen der Ebene NICHT beteiligt ist. So, nachdem das geklärt ist, schauen wir uns einmal an, was mit der PROJEKTION von Punkten gemeint ist. Dafür betrachten wir diesen Punkt genauer. Der Koordinatenzug verrät, dass seine Koordinaten "drei, vier, zwei" lauten. Bei einer Projektion wird der Punkt in eine der drei Ebenen katapultiert – also projiziert. Wenn wir ihn beispielsweise in die x-z-Ebene projizieren, können wir uns vorstellen, der Punkt würde einen Schatten auf die Ebene werfen. Natürlich genau senkrecht darauf. Dadurch wird seine y-Koordinate null. Schließlich projizieren wir ihn in die x-z-Ebene. Die x- und die z-Koordinate bleiben also gleich. Projizieren wir P dagegen in die x-y-Ebene, so wird seine z-Koordinate null. Und werfen wir seinen Schatten an die y-z-Ebene, so wird die x-Koordinate null. Ein projizierter Punkt behält also DIE beiden Koordinaten, die im Namen der Ebene enthalten sind, während die dritte Koordinate null wird. Dabei ist es übrigens egal, ob die Koordinaten positiv oder negativ sind. Was ist nun aber, wenn ein anderer Punkt P nicht nur AUF die Ebene projiziert wird, sondern durch sie hindurchdringt? Und genau spiegelverkehrt auf der anderen Seite erscheint? P-Strich und P haben dabei den exakt gleichen Abstand von der Ebene. Nur liegt P-Strich eben auf der anderen Seite, also quasi im negativen Bereich. Das heißt, die y-Koordinate von P-Strich ist nun also die GEGENZAHL der y-Koordinate von P. Wenn wir Punkte also an der x-z-Ebene SPIEGELN, bleiben x- und z-Koordinate gleich und bei der y-Koordinate dreht sich das Vorzeichen um. Wenn wir P analog an der x-y-Ebene spiegeln, hat P-Strich die Koordinaten "eins, zwei, eins". Die negative Z-Koordinate wurde in den positiven Bereich gespiegelt. Und spiegeln wir an der y-z-Ebene, ändert sich nur die x-Koordinate. Wir können uns also merken, dass bei der Spiegelung an den Koordinatenebenen jeweils nur eine Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Führen wir stattdessen eine Punktspiegelung am KoordinatenURSPRUNG durch, wechseln ALLE drei Koordinaten ihr Vorzeichen. Na das kann man sich doch gut merken! Fassen wir also zusammen. Wenn wir Punkte in eine Koordinatenebene projizieren, wird DIEJENIGE Koordinate null, die NICHT in der Ebenenbezeichnung genannt wird. Wollen wir dagegen den Punkt an einer Ebene SPIEGELN, wird dieselbe Koordinate in ihre Gegenzahl umgewandelt. Spiegeln wir einen Punkt am KoordinatenURSPRUNG, wechseln ALLE Koordinaten ihr Vorzeichen. In dem Sinne: Viel Spaß bei dem Prozedere!
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