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Räumliches Koordinatensystem

Wenn du Objekte in der Ebene darstellst, verwendest du ein zweidimensionales, also ein x-y-Koordinatensystem. Für Objekte im Raum benötigst du ein dreidimensionales Koordinatensystem. Es kommt also eine Koordinate, die z-Koordinate, hinzu.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Das zweidimensionale Koordinatensystem

Wenn du zum Beispiel Funktionsgraphen darstellen möchtest, verwendest du ein zweidimensionales (ebenes) Koordinatensystem. Dieses besteht aus zwei Achsen, der xx- und der yy-Achse, welche sich in einem rechten Winkel schneiden. Die xx-Achse wird auch Abzisse und die yy-Achse Ordinate genannt.

1084_Koordinatensystem_Bezeichnungen.jpg

In ein solches Koordinatensystem kannst du Punkte oder, wie bereits erwähnt, Funktionsgraphen eintragen.

Das dreidimensionale Koordinatensystem

Wenn zu der xx- und yy-Koordinate noch eine weitere Koordinate hinzukommt, erhältst du ein dreidimensionales Koordinatensystem. Statt dreidimensional kannst du auch räumlich sagen. Die hinzukommende Koordinate ist die zz-Koordinate.

Aufbau eines dreidimensionalen Koordinatensystems

Ausgehend von dem zweidimensionalen Koordinatensystem kannst du ein dreidimensionales zeichnen. Die xx-Achse wird im dreidimensionalen Koordinatensystem zur yy-Achse und die yy-Achse zur zz-Achse. Die xx-Achse im dreidimensionalen Koordinatensystem ragt in den Raum hinein, zeigt sozusagen auf dich. Wie kannst du einen solchen 3-D-Effekt erreichen?

  • Du zeichnest die xx-Achse in einem Winkel von 135135^\circ zur positiven yy-Achse.
  • Bei der Skalierung der Achsen verwendest du bei der yy- sowie zz-Achse die gleichen Abstände. Bei der in den Raum ragenden xx-Achse werden die Abstände kürzer gewählt.

Hier siehst du ein räumliches Koordinatensystem.

1153_3D-KOS.jpg

Du kannst auch die jeweiligen negativen Achsen einzeichnen. Mit Blick auf die Übersichtlichkeit wurde in dem obigen Bild darauf verzichtet.

Einzeichnen von Punkten im dreidimensionalen Koordinatensystem

Nun siehst du, wie du in das obige dreidimensionale Koordinatensystem Punkte einzeichnen kannst. Dies schauen wir uns an dem Beispiel des Punktes G(342)G(3|4|2) an.

  • Gehe zunächst 33 Einheiten entlang der xx-Achse.
  • Von dort gehst du parallel zur yy-Achse 44 Einheiten.
  • Schließlich gehst du weitere 22 Einheiten parallel zur zz-Achse.

Jede der hier angegebenen Bewegungen ist in dem folgenden Bild in Form eines Pfeiles dargestellt. Achte dabei auf die Perspektive: Wenn du 44 Einheiten parallel zur yy-Achse gehst, landest du nicht senkrecht unter 44 auf der yy-Achse:

1153_Punkt_im_3D_KOD.jpg

Wenn du den Abstand von Punkten im dreidimensionalen Koordinatensystem berechnen möchtest, verwendest du die folgende Formel. Gegeben seien die beiden Punkte P(pxpypz)P\left(p_{x}|p_{y}|p_{z}\right) sowie Q(qxqyqz)Q\left(q_{x}|q_{y}|q_{z}\right). Dann ist der Abstand dieser beiden Punkte wie folgt gegeben:

d(P;Q)=(pxqx)2+(pyqy)2+(pzqz)2d(P;Q)=\sqrt{\left(p_{x}-q_{x}\right)^2+\left(p_{y}-q_{y}\right)^2+\left(p_{z}-q_{z}\right)^2}.

Das schauen wir uns nun an einem Beispiel an: P(311)P(3|1|1) sowie Q(121)Q(-1|2|1).

d(P;Q)=(3(1))2+(12)2+(11)2=42+(1)2+02=17d(P;Q)=\sqrt{\left(3-(-1)\right)^2+\left(1-2\right)^2+\left(1-1\right)^2}=\sqrt{4^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{17}

Objekte im dreidimensionalen Koordinatensystem

Nun weißt du, wie du Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem eintragen kannst. So kannst du auch mit mehreren Punkten ein Schrägbild zum Beispiel eines Quaders erstellen.

1153_Schrägbild.jpg

Nun kannst du zum Beispiel die Länge der Diagonale der rechten Seitenfläche dieses Quaders berechnen. Diese verbindet die Punkte (040)(0|4|0) sowie (342)(3|4|2):

d(P;Q)=(03)2+(44)2+(02)2=(3)2+02+(2)2=13d(P;Q)=\sqrt{\left(0-3\right)^2+\left(4-4\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{(-3)^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{13}.