Vektorrechnung

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung um einen festen Betrag in eine bestimmte Richtung beschreibt. In der Physik verwendet man Vektoren auch zur Darstellung von Größen, denen neben einem Betrag auch eine Richtung zugeordnet ist.

Man unterscheidet oft zwischen Ortsvektoren und Richtungsvektoren: Ortsvektoren sind Vektoren, die von einem festen Bezugspunkt (bspw. dem Koordinatenursprung) auf einen gegebenen Punkt zeigen. Richtungsvektoren gehen dagegen nicht von einem festen Bezugspunkt aus, sondern verbinden zwei gegebene Ortsvektoren miteinander.

Vektoren sind Elemente eines Vektorraums.

Koordinatenschreibweise von Vektoren

Auf der eindimensionalen Zahlengeraden der reellen Zahlen sind Zahlen und Vektoren dasselbe: Der Betrag der Zahl gibt den Abstand von der Null an, das Vorzeichen weist eine der beiden möglichen Richtungen (positive und negative) aus. Schon in der $2$-dimensionalen Ebene ($\mathbb{R}^{2}$), aber auch im $3$-dimensionalen Raum ($\mathbb{R}^{3}$), dessen Punkte durch ein räumliches Koordinatensystem bezeichnet werden, gibt es aber unendlich viele mögliche Richtungen. Wenn man eine Parallelverschiebung auf der Ebene oder im Raum beschreiben möchte, geht man daher koordinatenweise vor: Zahlenwerte stehen dann für die einzelnen koordinatenweisen Verschiebungen auf der Ebene in $x$-Richtung und in $y$-Richtung. Im Raum kommt noch eine dritte koordinatenweise Verschiebung dazu, die Verschiebung in $z$-Richtung. Die entstehenden Zahlenkombinationen ergeben dann die aus den koordinatenweisen Verschiebungen zusammengesetzte Gesamtverschiebung. Daher weist ein $2$-dimensionaler Vektor zwei Koordinaten (für die Verschiebungen in $x$- und $y$-Richtung), ein $3$-dimensionaler Vektor drei Koordinaten (für die Verschiebungen in $x$-, $y$- und $z$-Richtung) auf.

Vektoren werden häufig mit Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber geschrieben, zum Beispiel im $2$-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^{2}$:

$\vec v=\begin{pmatrix} v_{x} \\ v_{y} \end{pmatrix}$

Im $3$-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^{3}$ sehen Vektoren entsprechend so aus:

$\vec v=\begin{pmatrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{pmatrix}$

Vektorrechnung

Hier siehst du, wie man mit Vektoren rechnet. Die einzelnen Rechenoperationen finden häufig ihre Entsprechung im Rechnen mit gewöhnlichen Zahlen, den so genannten Skalaren. Speziell für die Vektoren gibt es das Skalar- und das Kreuzprodukt.

Die Addition und Subtraktion zweier Vektoren: Zwei Vektoren werden koordinatenweise addiert oder subtrahiert.

Du kannst einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren: Hierfür multiplizierst du jede Koordinate mit dem Skalar.

Lässt sich ein Vektor $\vec a$ als Linearkombination eines oder mehrerer anderer Vektoren $\vec b_{i}$ (mit $i \in \mathbb{N}$) darstellen, heißen die Vektoren $\vec b_{i}$ und $\vec a$ linear abhängig. Gibt es eine solche Linearkombination nicht, heißen sie linear unabhängig.

Das Skalarprodukt ist eine mathematische Operation, die einem Paar von Vektoren $\vec v$ und $\vec w$ einen Skalar $a$ zuweist:

$\vec v \star \vec w = a$.

Die Länge oder auch der Betrag eines Vektors ist wie folgt definiert: Du quadrierst alle Koordinaten des Vektors, addierst die Quadrate und ziehst schließlich die Wurzel aus dieser Summe:

$\vert \vec v \vert = \sqrt{ v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$.

Das Kreuzprodukt oder auch Vektorprodukt zweier Vektoren $\vec u\times \vec v$ führt zu einem weiteren Vektor $\vec n$. Dieser Vektor steht senkrecht sowohl zu $\vec u$ als auch zu $\vec v$.

Spezielle Vektoren

Zu einem Punkt $P$ im $\mathbb{R}^{3}$ gehört ein Vektor, welcher den Koordinatenursprung $O$ mit diesem Punkt verbindet. Dies ist der Ortsvektor dieses Punktes $\vec{OP}=\vec p$.

Du kannst zwei Punkte $A$ und $B$ mit Hilfe eines Vektors, des Verbindungsvektors $\vec{AB}$, miteinander verbinden. Hierfür subtrahierst du von dem Ortsvektor des Endpunktes den Ortsvektor des Anfangspunktes.

Der Nullvektor $\vec 0$ ist der Vektor, bei dem in jeder Koordinate eine $0$ steht.

Zu jedem Vektor $\vec v$ gibt es einen Gegenvektor $-\vec v$.