Linearkombinationen

Linearkombinationen Übung

• Beschreibe, was man unter einer Linearkombination versteht.

  Tipps

  Vektoraddition: Anschaulich werden die Vektorpfeile einfach wie eine Kette aneinandergesetzt. Das Ergebnis nennen wir einen Summenvektor. Analytisch können wir ihn berechnen, indem wir die Vektorkoordinaten zeilenweise addieren.

  Skalare Multiplikation: Anschaulich wird ein Vektor dabei verlängert (oder auch verkürzt). Der Vektor wird dazu mit einer reellen Zahl multipliziert und somit vervielfacht.

  Beispiel:

  $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1{,}5 \\ 5{,}5 \end{pmatrix}$

  Lösung

  Wir betrachten zunächst uns bekannte Vektoroperationen:

  Vektoraddition: Anschaulich werden die Vektorpfeile einfach wie eine Kette aneinandergesetzt. Das Ergebnis nennen wir einen Summenvektor. Analytisch können wir ihn berechnen, indem wir die Vektorkoordinaten zeilenweise addieren.

  Skalare Multiplikation: Anschaulich wird ein Vektor dabei verlängert (oder auch verkürzt). Der Vektor wird dazu mit einer reellen Zahl multipliziert und somit vervielfacht.

  Bei einer Linearkombination werden diese beiden Rechenoperationen verbunden angewendet: Eine Linearkombination ist eine Summe aus beliebig vielen Vektoren, die mit verschiedenen Skalaren multipliziert werden können.

  Beispiel:

  Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

  Wir addieren nun das Doppelte des ersten Vektors zur Hälfte des zweiten Vektors:

  $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

  Als Ergebnis erhalten wir wieder einen dreizeiligen Vektor. Dabei gehen wir zeilenweise vor:

  • Für die erste Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot 2 = 3$
  • Für die zweite Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 0 + \dfrac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5$
  • Für die dritte Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 3 + \dfrac{1}{2} \cdot (-1) = 5{,}5$

  Wir erhalten also:

  $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1{,}5 \\ 5{,}5 \end{pmatrix}$

  Wir dürfen die Skalare jedoch nicht einfach vertauschen: Addiert man die Hälfte des ersten Vektors mit dem Doppelten des zweiten Vektors, erhält man einen komplett anderen Vektor.

  Da wir für die Skalare alle reellen Zahlen einsetzen dürfen, können wir aus nur zwei Vektoren unendlich viele Linearkombinationen bilden.

• Berechne die Linearkombinationen der Vektoren.

  Tipps

  Führe die Rechnung zeilenweise durch.

  $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

  • Für die erste Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot 2$
  • Für die zweite Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 0 + \dfrac{1}{2} \cdot 3$
  • Für die dritte Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 3 + \dfrac{1}{2} \cdot (-1)$

  Lösung

  Eine Linearkombination ist eine Summe von Vielfachen von Vektoren. Dabei können wir unendlich viele Vektoren addieren und sie außerdem mit allen möglichen reellen Zahlen multiplizieren.

  In unserem Fall handelt es sich um eine Summe aus zwei Vektoren, welche jeweils mit einem Skalar multipliziert werden. Wir rechnen zeilenweise und erhalten:

  $\begin{array}{rcl} 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3 \\ 1{,}5 \\ 5{,}5 \end{pmatrix} \\ \\ \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 6 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} \\ \\ -2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -1{,}6 \\ 0{,}6 \\ -6{,}2 \end{pmatrix} \\ \\ 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix} \end{array}$

• Bestimme das Ergebnis der Linearkombination für die gegebenen Werte von $r$, $s$ und $t$.

  Tipps

  Setze für die Variablen $r$, $s$ und $t$ die jeweils gegebenen Werte ein und berechne die Linearkombination schriftlich. Gehe dabei zeilenweise vor.

  Du darfst die Skalare, also die Faktoren vor den Vektoren, nicht vertauschen!

  Für die erste Koordinate der ersten Linearkombination rechnest du:

  $1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 2$

  Lösung

  Bei einer Linearkombination werden die Vektoraddition und die skalare Multiplikation verbunden angewendet: Es handelt sich um eine Summe aus beliebig vielen Vektoren, die mit verschiedenen Skalaren multipliziert werden können.

  Wir betrachten die gegebene Linearkombination:

  Da wir für die Skalare $r$, $s$ und $t$ alle reellen Zahlen einsetzen dürfen, können wir aus den drei Vektoren unendlich viele Linearkombinationen bilden. Wir berechnen die Linearkombinationen für die gegebenen Werte.

  Beispiel 1: $~r=1; ~~ s=2; ~~ t=-2$

  $1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 \\ 1 \cdot 0+ 2 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-4) \\ 1 \cdot 0{,}5+ 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \end{pmatrix} = \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}}$

  
  

  Beispiel 2: $~r=0; ~~ s=3; ~~ t=-5$

  $0 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} +3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 + (-5) \cdot 2 \\ 0 \cdot 0+ 3 \cdot (-4) + (-5) \cdot (-4) \\ 0 \cdot 0{,}5+ 3 \cdot 2 + (-5) \cdot 0 \end{pmatrix} = \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} -1 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}}$

  
  

  Beispiel 3: $~r=-2; ~~ s=1; ~~ t=-2$

  $(-2) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 \\ (-2) \cdot 0+ 1 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-4) \\ (-2) \cdot 0{,}5+ 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \end{pmatrix} = \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}}$

• Ermittle die Skalare der Linearkombination.

  Tipps

  Verwende Variablen für die gesuchten Zahlen in den Lücken.

  Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und löse es.

  Das lineare Gleichungssystem lautet:

  $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & 3r &+ & 4s &+ & t = & 8 \\ \text{II} & -2r &+ & (-4)s &+ & 2t = & 0 \\ \text{III} & 0{,}5r & & & & = & -0{,}5 \\ \end{array}$

  Lösung

  Wir benennen zunächst die gesuchten Skalare mit Variablen:

  $r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}$

  Wir können nun ein lineares Gleichungssystem aufstellen:

  $\begin{array}{rrrrrrrl} \text{I} & 3r &+ & 4s &+ & t = & 8 \\ \text{II} & -2r &+ & (-4)s &+ & 2t = & 0 \\ \text{III} & 0{,}5r & & & & = & -0{,}5 \\ \end{array}$

  Es ergibt sich aus Gleichung $\text{III}$:

  $r=-1$

  Wir setzen dies in Gleichung $\text{II}$ ein und erhalten:

  $\begin{array}{rrrrrrrl} -2 \cdot (-1) & + & (-4)s &+ & 2t &= & 0 &\\ 2 & - & 4s & + & 2t &= & 0 & |-2 \\ & - & 4s & + & 2t &= & -2 & |+4s\\ & & & & 2t &= & -2 +4s & |:2\\ & & & & t &= & -1 +2s & \end{array}$

  Wir setzen $r$ und $t$ in Gleichung $\text{I}$ ein:

  $\begin{array}{rrrrrrrl} 3 \cdot (-1) & + & 4s &+ & (-1 +2s ) &= & 8 &\\ -4 & + & 6s & & &= & 8 & |+4 \\ & & 6s & & &= & 12 & |:6 \\ & & s & & &= & 2 & \end{array}$

  Wir können jetzt die berechneten Werte für $r$ und $s$ in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $t$ auflösen:

  $\begin{array}{rrrrl} 3 \cdot (-1) & + & 4 \cdot 2 &+ & t &= & 8 &\\ & & 5 &+ & t &= & 8 & |-5\\ & & & & t &= & 3 & \end{array}$

  Insgesamt gilt also:

  $\color{#99CC00}{-1} \color{black}{~\cdot} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + \color{#99CC00}{2} \color{black}{~\cdot} \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + \color{#99CC00}{3} \color{black}{~\cdot} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}$

• Bestimme das Ergebnis der Vektoraddition oder der skalaren Multiplikation.

  Tipps

  Skalare Multiplikation: Anschaulich wird ein Vektor dabei verlängert (oder auch verkürzt). Der Vektor wird dazu mit einer reellen Zahl multipliziert und somit vervielfacht.

  Lösung

  Bei einer Linearkombination verbinden wir zwei Rechenoperationen:

  
  

  Vektoraddition: Anschaulich werden die Vektorpfeile einfach wie eine Kette aneinandergesetzt. Das Ergebnis nennen wir einen Summenvektor. Analytisch können wir ihn berechnen, indem wir die Vektorkoordinaten zeilenweise addieren:

  $\begin{array}{rclll} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1+5 \\ 3+1 \\ 1+(-1) \end{pmatrix} &=& \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}} \\ \\ \begin{pmatrix} -2 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -2+3 \\ 9+1 \\ 1+(-2) \end{pmatrix} &=& \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ -1 \end{pmatrix}} \end{array}$

  
  

  Skalare Multiplikation: Anschaulich wird ein Vektor dabei verlängert (oder auch verkürzt). Der Vektor wird dazu mit einer reellen Zahl multipliziert und somit vervielfacht.

  $\begin{array}{rclll} 4 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0{,}5 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 4 \cdot 3 \\ 4 \cdot 0{,}5 \\ 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} &=& \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 12 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}} \\ \\ 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3 \end{pmatrix} &=& \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}} \end{array}$

• Überprüfe, ob der Vektor $\vec{c}$ als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden kann.

  Tipps

  Gehe so vor:

  1. Benennung der gesuchten Skalare mit Variablen: $r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = \vec{c}$
  2. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems
  3. Lösen des linearen Gleichungssystems
  4. Schlussfolgerung

  Überprüfe beim Lösen des linearen Gleichungssystems immer, ob alle drei Gleichungen erfüllt sind.

  Lösung

  Allgemein gehen wir so vor:

  1. Benennung der gesuchten Skalare mit Variablen: $r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = \vec{c}$
  2. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems
  3. Lösen des linearen Gleichungssystems
  4. Schlussfolgerung

  $\,$

  • Erste Kombination:

  Wir benennen zunächst die gesuchten Skalare mit Variablen:

  $r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix}$

  Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf:

  $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & r &+ & 3s & = & 9\\ \text{II} & -2r & + & 4s& = & 2 \\ \text{III} & 4r & + &5s& = & 22 \\ \end{array}$

  Wir lösen das lineare Gleichungssystem:

  Aus Gleichung $\text{I}$ ergibt sich:

  $r=9-3s$

  Durch Einsetzen in Gleichung $\text{II}$ folgt:

  $-2 \cdot (9-3s) + 4s = 2 \quad \Leftrightarrow \quad -18 +10s = 2 \quad \Leftrightarrow \quad s= 2$

  Einsetzen in Gleichung $\text{I}$ ergibt:

  $r=9-3s = 9-6=3$

  Überprüfen in Gleichung $\text{III}$ führt zu:

  $4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 12+10=22 \quad$ Stimmt!

  Wir schlussfolgern:

  Vektor $\vec{c}$ lässt sich eindeutig als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen. Die Skalare $r$ und $s$ sind positiv.

  $\,$

  • Zweite Kombination:

  Wir benennen zuerst die gesuchten Skalare mit Variablen:

  $r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -10 \end{pmatrix}$

  Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf:

  $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & & & 2s & = & -2\\ \text{II} & -r & + & 3s& = & -8 \\ \text{III} & 5r & - &2s& = & -10 \\ \end{array}$

  Wir lösen das lineare Gleichungssystem:

  Aus Gleichung $\text{I}$ folgt:

  $s=-1$

  Einsetzen in Gleichung $\text{II}$ ergibt:

  $-r + 3 \cdot (-1)=-8 \quad \Leftrightarrow \quad -r -3=-8 \quad \Leftrightarrow \quad r=5$

  Überprüfen in Gleichung $\text{III}$ führt zu:

  $5 \cdot 5 - 2 \cdot (-1) = 25+2= 27 \neq -10 \quad$ Stimmt nicht!

  Wir schlussfolgern:

  Das Gleichungssystem ist nicht lösbar. Vektor $\vec{c}$ lässt sich nicht als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen.

  $\,$

  • Dritte Kombination:

  Wir benennen zunächst die gesuchten Skalare mit Variablen:

  $r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\6 \\ -3 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf:

  $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & 3r &+ & 4s & = & -2\\ \text{II} & 6r & + & 8s& = & -4 \\ \text{III} & -3r & - &4s& = & 2 \\ \end{array}$

  Wir lösen das lineare Gleichungssystem:

  Aus Gleichung $\text{I}$ ergibt sich:

  $4s = -2-3r \quad \Leftrightarrow \quad s = -0{,}5 - 0{,}75r$

  Durch Einsetzen in Gleichung $\text{II}$ folgt:

  $6r + 8(-0{,}5 - 0{,}75r) = -4 \quad \Leftrightarrow \quad -4=-4$

  Einsetzen in Gleichung $\text{III}$ ergibt:

  $-3r -4(-0{,}5 - 0{,}75r)=2 \quad \Leftrightarrow \quad 2=2$

  Wir schlussfolgern:

  Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Vektor $\vec{c}$ lässt sich auf unendlich viele Arten als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen.

  $\,$

  • Vierte Kombination:

  Wir benennen zuerst die gesuchten Skalare mit Variablen:

  $r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\-1 \\ 8 \end{pmatrix}$

  Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf:

  $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & 3r & & & = & -6 \\ \text{II} & & & s& = & -1 \\ \text{III} & -5r & + &2s& = & 8 \\ \end{array}$

  Wir lösen das lineare Gleichungssystem:

  Aus Gleichung $\text{I}$ ergibt sich:

  $3r = -6 \quad \Leftrightarrow \quad r=-2$

  Aus Gleichung $\text{II}$ folgt:

  $s=-1$

  Überprüfen in Gleichung $\text{III}$ führt zu:

  $-5 \cdot (-2) + 2 \cdot (-1) = 10 -2 = 8 \quad$ Stimmt!

  Wir schlussfolgern:

  Vektor $\vec{c}$ lässt sich eindeutig als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen. Die Skalare $r$ und $s$ sind negativ.