Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem

Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem Übung

• Gib die zugehörige Verschiebung mit Hilfe des Funktionsterms an.

  Tipps

  Allgemein gilt für Verschiebungen entlang der y-Achse:

  Wird ein Funktionsgraph um $b$ Einheiten verschoben, so wird $b$ zu dem Funktionswert addiert: $f(x)+b$.

  Wird entlang der x-Achse um $a$ Einheiten verschoben, führt dies zu $f(x-a)$.

  Nimm dir irgendeinen Punkt her und mache dir die Verschiebungen an diesem Punkt klar.

  Lösung

  Wird ein Funktionsgraph um $b$ Einheiten entlang der y-Achse verschoben, so wird $b$ zu dem Funktionswert addiert: $f(x)+b$.

  Bei der Verschiebung entlang der x-Achse muss man ein wenig vorsichtig sein: Eine Verschiebung um $a$ Einheiten führt zu:

  $f(x-a)$.

  Dies kann man sich an dem obigen Beispiel klarmachen:

  • Es wird um $-2$ Einheiten, also nach unten, geschoben: Dies führt zu $f(x)-2$.
  • Dann wird um $1$ Einheit entlang der x-Achse verschoben, also nach rechts: Dies führt zu $f(x-1)$.

  Insgesamt lautet die Funktionsgleichung zu dem blauen Funktionsgraphen

  $g(x)=f(x-1)-2$.

• Schildere die Verschiebung der Parabel.

  Tipps

  Allgemein gilt für Verschiebungen entlang der y-Achse:

  Wird ein Funktionsgraph um $b$ Einheiten verschoben, so wird $b$ zu dem Funktionswert addiert: $f(x)+b$.

  Wird entlang der x-Achse um $a$ Einheiten verschoben, führt dies zu $f(x-a)$.

  Zum Beispiel kommt in der Funktion $g(x)$ der Term $(x+2)^2$ vor.

  Dieser kann mit der ersten binomischen Formel ausmultipliziert werden

  $(x+2)^2=x^2+4x+4$.

  Lösung

  Der Graph der Ausgangsparabel wird zweimal verschoben:

  • um $1$ Einheit nach oben: $f(x)+1$.
  • und dann um $2$ Einheiten nach links: $f(x+2)+1$.

  Also ist $g(x)=f(x+2)+1$ die Funktionsgleichung zu der roten Parabel.

  Nun kann die Definition der Funktion $f(x)=x^2-2x-3$ verwendet werden.

  $g(x)=(x+2)^2-2(x+2)-3+1$.

  Die Klammern werden aufgelöst:

  $g(x)=x^2+4x+4-2x-4-4$.

  Zuletzt werden die gleichartigen Terme zusammengefasst:

  $g(x)=x^2+2x-2$.

• Bestimme jeweils die Funktionsgleichung der verschobenen Normalparabel.

  Tipps

  Bei Verschiebungen entlang der y-Achse wird etwas zu dem Funktionswert addiert (oder von diesem subtrahiert).

  Bei Verschiebungen entlang der x-Achse wird etwas zu dem Argument addiert (oder von diesem subtrahiert).

  Zum Beispiel führt eine Verschiebung um $1$ Einheit nach rechts zu $(x-1)^2=x^2-2x+1$.

  Lösung

  Die folgenden Parallelverschiebungen werden hier betrachtet:

  ... entlang der y-Achse.

  Hier kann man unterscheiden, ob $b$ positiv oder negativ ist:

  • Wenn $b>0$ ist, bedeutet $f(x)+b$, dass um $b$ Einheiten nach oben verschoben wird. Zum Beispiel ist die Parabel zu $f(x)=x^2+3$ eine um $3$ Einheiten nach oben verschobene Parabel.
  • Wenn $b<0$ ist, bedeutet $f(x)+b$, dass um $b$ Einheiten nach unten verschoben wird. Dies kann man sich am Beispiel $f(x)=x^2-2$ klarmachen. Die Parabel wird um $2$ Einheiten nach unten verschoben.

  Es wird also zu dem Funktionswert addiert oder von diesem subtrahiert.

  ... entlang der x-Achse

  Auch hier wird unterschieden, ob der Term, um welchen verschoben wird, positiv oder negativ ist:

  • Wenn $a>0$ ist, bedeutet $f(x+a)$, dass um $a$ Einheiten nach links verschoben wird. Dies sieht man zum Beispiel bei $f(x)=(x+1)^2$. Die zugehörige Parabel ist um $1$ Einheit nach links verschoben.
  • Ist $a<0$, führt $f(x+a)$ zu einer Verschiebung nach rechts: $f(x)=(x-1)^2$ ist eine um $1$ Einheit nach rechts verschobene Normalparabel.

  Dieses Mal wird $a$ zu dem Argument addiert oder von diesem subtrahiert.

  Damit gehört

  • die rote Parabel zu $g(x)=x^2+1$,
  • die orange Parabel zu $g(x)=x^2-3$,
  • die blaue Parabel zu $g(x)=(x-3)^2=x^2-6x+9$ und
  • die violette Parabel zu $g(x)=(x+2)^2=x^2+4x+4$.

• Leite die Funktionsgleichung sowie den Scheitelpunkt der verschobenen Parabel her.

  Tipps

  Du kannst den Scheitelpunkt der grünen Parabel ablesen $S(-2|-2)$.

  Auch dieser wird um $2$ Einheiten nach unten und $4$ nach rechts verschoben.

  Bei Verschiebungen entlang der y-Achse wird zu dem Funktionswert addiert oder von diesem subtrahiert.

  Bei Verschiebungen entlang der x-Achse wird zu dem Argument addiert oder von diesem subtrahiert.

  Du kannst die Funktionsgleichung mit dem verschobenen Scheitelpunkt und der Scheitelpunktform

  $f(x)=(x-x_S)^2+y_S$

  überprüfen.

  Lösung

  Der Graph der grünen Parabel wird zweimal verschoben:

  • um $2$ Einheiten nach unten, die rot gestrichelte Parabel: $f(x)-2$.
  • um $4$ Einheiten nach rechts: $f(x-4)-2$.

  Also ist $g(x)=f(x-4)-2$ die Funktionsgleichung zu der verschobenen blauen Parabel.

  Da $f(x)=x^2+4x+2$ ist, folgt damit:

  $g(x)=(x-4)^2+4(x-4)+2-2$.

  Auflösen der Klammern und Zusammenfassen der Terme führt zu

  $g(x)=x^2-4x$.

  Der Scheitelpunkt der grünen Parabel ist $S(-2|-2)$. Dieser wird auf den Scheitelpunkt $S'(2|-4)$ verschoben.

• Beschreibe, wie man sich die Verschiebung eines Funktionsgraphen an einzelnen Punkten klarmachen kann.

  Tipps

  Mache dir die Parallelverschiebung für jeden einzelnen Punkt klar.

  Du kannst dir die Parallelverschiebung eines Funktionsgraphen auch so klarmachen: Du markierst den Funktionsgraphen und ziehst ihn komplett nach unten.

  Dabei wird der Funktionsgraph nicht gestreckt oder gestaucht und auch nicht gespiegelt.

  Hier siehst du den (durchgängig gezeichneten) Funktionsgraphen nach der Verschiebung.

  Lösung

  Hier ist die Verschiebung zu sehen. Man kann sich diese Verschiebung an den Nullstellen, den Hoch- und Tiefpunkten sowie den Wendepunkten klarmachen. Jeder dieser Punkte wird um $2$ Einheiten nach unten verschoben.

  Dabei bleiben Tiefpunkte und Hochpunkte als solche erhalten, ebenso Wendepunkte. Diese werden nur verschoben.

  Die Nullpunkte werden auch verschoben, nur sind sie dann keine Nullpunkte mehr, da sie ja nach unten verschoben worden sind, also nicht mehr auf der x-Achse liegen.

• Untersuche, wie die Parabel verschoben worden ist.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt der Normalparabel $f(x)=x^2$ ist $S(0|0)$.

  Die x-Koordinate des Scheitelpunktes von $g(x)$ ist

  $x=-\frac b2$.

  Du erhältst die y-Koordinate des Scheitelpunktes, indem du die x-Koordinate in der Funktionsgleichung einsetzt.

  Die Verschiebung kannst du an Hand der Scheitelpunkte nachvollziehen.

  Lösung

  Der Scheitelpunkt der Normalparabel $f(x)=x^2$ ist $S(0|0)$.

  Der Scheitelpunkt der Funktion $g(x)=x^2+bx+c$ lässt sich mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung ermitteln:

  $g(x)=x^2+bx+\left(\frac b2\right)^2-\left(\frac b2\right)^2+c$.

  Die ersten drei Terme können mit Hilfe einer binomischen Formel zusammengefasst werden zu

  $g(x)=\left(x+\frac b2\right)^2-\left(\frac b2\right)^2+c$.

  Daraus kann der Scheitelpunkt abgelesen werden:

  $S\left(-\frac b2\big\vert -\left(\frac b2\right)^2+c\right)$.

  Das bedeutet, dass der Graph der Normalparabel

  • um $-\left(\frac b2\right)^2+c=\frac{4c-b^2}{4}$ Einheiten entlang der y-Achse und dann
  • um $-\frac b2$ Einheiten entlang der x-Achse verschoben wird.

  Falls $-\left(\frac b2\right)^2+c>0$ ist, wird nach oben, ansonsten nach unten verschoben.

  Falls $-\frac b2>0$ ist, wird nach recht verschoben, ansonsten nach links.